北京四中九年级下册数学实际问题与二次函数—知识讲解（基础）

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1、第 1 页 共 6 页 实际问题与二次函数实际问题与二次函数知识讲解（基础）知识讲解（基础） 【学习目标】【学习目标】 1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题； 2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模 型； 3.培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、要点一、列二次函数解应用题列二次函数解应用题 列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数 后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式对于应用题要注意以下步骤： (1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量

2、有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出 等量关系(即函数关系) (2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确 (3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函 数 (4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题. (5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案 (6)写出答案 要点诠释：要点诠释： 常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物 线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数 关系式. 要点二、要点二、

3、建立二次函数模型求解实际问题建立二次函数模型求解实际问题 一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数 关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题 要点诠释：要点诠释： (1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中 存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究 实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. (2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题： 首先必须了解二次函数的基本性质； 学会从实际问题中建立二

4、次函数的模型； 借助二次函数的性质来解决实际问题. 【典型典型例题】例题】 类型一、类型一、何时获得最大利润何时获得最大利润 1某商场以每件 30 元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量 m(件)与每件的销 售价 x(元)满足一次函数：m162-3x (1)写出商场卖出这种商品每天的销售利润 y 与每件的销售价 x 之间的函数关系； (2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适?最大销售利润为多 少? 【思路点拨】 (1)根据总利润售出件数(每件商品售价-进价)列函数关系式； 第 2 页 共 6 页 (2)利用配方法求售价及最大销售利润. 【答案与解析】

5、 (1)每件商品利润为(x-30)元 销售 m 件商品利润为 m(x-30)元， 又m162-3x， 每天利润 y(162-3x)(x-30) 即 y-3x 2+252x-4860 (2)y-3x 2+252x-4860-3(x-42)2+432， 又a-30，当 x42 时，y最大值432(元) 答：(1)函数关系式为 y-3x 2+252x-4860；(2)每件商品售价 42 元时，可获得最大利润，每天最大 利润是 432 元 【总结升华】 （1）读懂题意，弄清各个数量之间的关系是解决本题的关键； （2）在实际问题中遇到最大 (小)值问题时，往往先建立函数关系式，然后通过配方化为顶点式求解

6、 举一反三：举一反三： 【变式】变式】某商场试销一种成本为每件 60 元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不 超过 45%，经试销发现，销售量 y（件）与销售单价 x（元）符合一次函数bkxy，且65x 时，55y；75x时，45y （1）若该商场获利为 w 元，试写出利润 w 与销售单价 x 之间的关系式，售价定为多少元时，商 场可以获利最大，最大利润为多少元？ （2）若该商场获利不低于 500 元，试确定销售单价 x 的范围 【答案】 （1）据题意列 bk bk 7545 6555 ，解得 120 1 b k 120xy ， W =)60)(120(xx=7200180 2

7、 xx=900)90( 2 x 又60x60（1+45%） ，即 60x87，则 x=87 时获利最多， 将 x=87 代入，得 W =（87-90） 2+900=891 元 . （2）5007200180 2 xx ，即 07700180 2 xx 0)110)(70(xx 11070 0110 070 x x x 或 70 110 0110 070 x x x x （舍） 则11070 x，但8760 x 8770 x 答：销售单价 x 的范围是8770 x . 第 3 页 共 6 页 类型二、利用二次函数解决抛物线形建筑问题类型二、利用二次函数解决抛物线形建筑问题 2如图所示，某公路隧道

8、横截面为抛物线，其最大高度为 6 米，底部宽度 OM 为 12 米现以 O 点 为原点，OM 所在直线为 x 轴建立直角坐标系 (1)直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标； (2)求这条抛物线的解析式； (3)若要搭建一个矩形支撑架 ADCB，使 C、D 点在抛物线上，A、B 点在地面 OM 上，则这个“支撑架” 总长的最大值是多少? 【答案与解析】 (1)M(12，0)，P(6，6) (2)设抛物线解析式为： 2 (6)6ya x 抛物线 2 (6)6ya x经过点(0，0)， 2 0(06)6a，即 1 6 a 抛物线解析式为： 2 1 (6)6 6 yx ，即 2 1 2 6 yxx

9、 (3)设 A(m，0)，则 B(12-m，0)，C 2 1 12,2 6 mmm ，D 2 1 ,2 6 mmm 支撑架总长 22 11 2(122 )2 66 ADDCCBmmmmm 2 1 212 3 mm 2 1 (3)15 3 m 此二次函数的图象开口向下 当 m3 时，.AD+DC+CB 有最大值为 15 米 【总结升华】根据题意设抛物线解析式为顶点式，又抛物线经过原点，不难求出其解析式，设 A(m，0)， 用含 m 的式子表示支撑架总长 AD+DC+CB，根据函数性质求解 举一反三：举一反三： 【变式】变式】如图是抛物线形拱桥，拱顶离水面 2m，水面宽度 4m，水面下降 1m，水

10、面宽度增加多少？ 第 4 页 共 6 页 【答案】解：以抛物线的顶点作为原点，水平线作为 x 轴，建立如图直角坐标系，设抛物线的解析式 为 2 axy ， 过（2，-2）点， 2 1 a，抛物线的解析式为 2 2 1 xy， 当3y时，6x， 宽度增加（462）m. 类型三、利用二次函数求跳水、投篮等实际问题类型三、利用二次函数求跳水、投篮等实际问题 3某跳水运动员进行 10 m 跳台跳水训练时，身体(看作一点)在空中的运动路线是如图所示坐标系 下经过原点 O 的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件)在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动 员在空中最高处距水面 2 10 3 m，入水处距池边的

11、距离为 4 m，同时，运动员在距离水面高度为 5m 以前， 必须完成规定的翻腾动作，并调整好人水姿势，否则就会出现失误 (1)求这条抛物线的关系式； (2)在某次试跳中测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线，且运动员在空中调整好人水姿势 时，距池边的水平距离为 3 3 5 m，问此次跳水会不会失误?并通过计算说明理由 第 5 页 共 6 页 【答案与解析】 (1)在给定的直角坐标系下，设最高点为 A，入水点为 B，抛物线的关系式为 2 yaxbxc 由题意知，O、B 两点的坐标依次为(0，0)，(2，-10)，且顶点的纵坐标为 2 3 2 0, 42 , 43 4210. c acb a

12、 abc 解得 25 , 6 10 , 3 0. a b c 或 3 , 2 2, 0. a b c 抛物线对称轴在 y 轴右侧，0 2 b a ， 又抛物线开口向下， a0，b0， 25 6 a ， 10 3 b ，c0 抛物线关系式为 2 2510 63 yxx (2)当运动员在空中距池边的水平距离为 3 3 5 m 时，即 38 32 55 x 时， 2 25810816 65353 y 此时运动员距水面的高为 1614 105 33 (m) 因此，此次跳水会出现失误 【总结升华】(1)由图中所示直角坐标系，可知抛物线经过 O、A、B 三点，O、B 两点的坐标由分析可知 O(0，0)、B

13、(2，-10)，且点 A 的纵坐标为 2 3 ，故可设抛物线 2 yaxbxc，求得 a、b、c 的值(2)会不会产生失误即运动员完成动作时到水面的距离是否小于 5 米，换句话说就是完 成动作时所对应的抛物线上的点的纵坐标绝对值是否小于 5 米 举一反三：举一反三： 第 6 页 共 6 页 【变式变式】一位运动员在距篮下水平距离 4 米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离 为 2.5 米时，达到最大高度 3.5 米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为 3.05 米. 若该运动员身高 1.8 米，球在头顶上方 0.25 米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高 度是多少？

14、 【答案】如图建立直角坐标系. 点(2.5，3.5)是这段抛物线的顶点 设解析式为：5 . 3)5 . 2( 2 xay(a0)（0x4） ，带入点（4,3.05） ，可求得：a=-0.2 5 . 3)5 . 2(2 . 0 2 xy（0x4） ， 即25. 22 . 0 2 xxy, 当 x=0 时，y=2.25，距地面高度是 2.25-1.8-0.25=0.2 米. 类型四、类型四、最大面积是多少最大面积是多少 4在一边靠墙的空地上，用砖墙围成三格矩形场地，如图所示已知砖墙在地面上占地总长度 160 m，问分隔墙在地面上的长度 x 为多少时所围场地总面积最大?并求最大面积? 【思路点拨】 利用矩形的面积公式建立所围场地总面积与分隔墙在地面上的长度 x 的函数关系式，写成顶点 式即可求出面积的最大值 【答案与解析】 设所围场地总面积是 y m 2，根据题意得 2 (1604 )4160yxxxx 2 4(20)1600x 所以分隔墙在地面上的长度 x 为 20m 时所围场地总面积最大，这个最大面积是 1600 m 2 【总结升华】此类问题一般是先运用几何图形的面积公式写出图形的面积 y 与边长 x 之间的二次函数关 系，再求出这个函数关系式的顶点坐标，即为最大面积.