北京四中九年级下册数学锐角三角函数—知识讲解

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1、第 1 页 共 6 页 锐角三角函数锐角三角函数知识讲解知识讲解 【学习目标】【学习目标】 1结合图形理解记忆锐角三角函数定义； 2会推算 30、45、60角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值； 3理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”. 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、要点一、锐角三角函数的概念锐角三角函数的概念 如图所示，在 RtABC 中，C90，A 所对的边 BC 记为 a，叫做A 的对边，也叫做B 的邻 边，B 所对的边 AC 记为 b，叫做B 的对边，也是A 的邻边，直角 C 所对的边 AB 记为 c，叫做斜边 锐角 A 的对边与

2、斜边的比叫做A 的正弦，记作 sinA，即sin Aa A c 的对边 斜边 ； 锐角 A 的邻边与斜边的比叫做A 的余弦，记作 cosA，即cos Ab A c 的邻边 斜边 ； 锐角 A 的对边与邻边的比叫做A 的正切，记作 tanA，即tan Aa A Ab 的对边 的邻边 . . 同理sin Bb B c 的对边 斜边 ；cos Ba B c 的邻边 斜边 ；tan Bb B Ba 的对边 的邻边 要点诠释：要点诠释： (1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线 段的比值角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化 (2)si

3、nA，cosA，tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成， ，不能理解成 sin 与A，cos 与A，tan 与A 的乘积书写时习惯上省略A 的角的 记号“”，但对三个大写字母表示成的角(如AEF)，其正切应写成“tanAEF”，不能写成 “tanAEF”；另外，、常写成、 (3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在 (4)由锐角三角函数的定义知： 当角度在 0A90间变化时，tanA0 要点二、要点二、特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值 A B C a b c 第 2 页 共 6 页 利用三角函数的定义，可求出 30、45、60角的各三角

4、函数值，归纳如下： 锐角 30 45 1 60 要点诠释：要点诠释： (1)通过该表可以方便地知道 30、45、60角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知 道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角 (2)仔细研究表中数值的规律会发现： 、的值依次为、，而、的值的 顺序正好相反，、的值依次增大，其变化规律可以总结为： 正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)； 余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大) 要点三、要点三、锐角三角函数之间的关系锐角三角函数之间的关系 如图所示，在 RtABC 中，C=90 (1)互余关系：，； (2)平方关系：

5、； (3)倒数关系：或； (4)商数关系： 要点诠释：要点诠释： 锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算 时巧用这些关系式可使运算简便 【典型典型例题】例题】 类型一、类型一、锐角三角函数值的求解策略锐角三角函数值的求解策略 第 3 页 共 6 页 1如图所示，在 RtABC 中，C90，AB13，BC5，求A，B 的正弦、余弦、正切值 【答案与解析】 在 RtABC 中，C90 AB13，BC5 2222 13512ACABBC 5 sin 13 BC A AB ， 12 cos 13 AC A AB ， 5 tan 12 BC A AC ；

6、12 sin 13 AC B AB ， 5 cos 13 BC B AB ， 12 tan 5 AC B BC 【总结升华】先运用勾股定理求出另一条直角边，再运用锐角三角函数的定义求值 举一反三：举一反三： 【变式】变式】在RtRt ABCABC中， C=90C=90 ，若a=3a=3，b=4b=4，则c =c = ， sinA =sinA = ， cosA =cosA = ，sinB=sinB= ， cosB=cosB= 【答案】c =c = 5 ，sinA =sinA = 3 5 ， cosA =cosA = 4 5 ，sinB=sinB= 4 5 ， cosB=cosB= 3 5 类型二

7、、类型二、特殊角的三角函数值的计算特殊角的三角函数值的计算 2求下列各式的值： (1)sin30-2cos60+tan45； (2) tan30sin30 tan45tan60 ； (3) 1 0 1 (13)|1 sin30 | 2 【答案与解析】 (1)原式 111 21 222 ； A B C a b c 第 4 页 共 6 页 (2)原式 31 1 32 613 ； (3)原式 115 11212 222 【总结升华】 熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值， 先代入特殊角的三角函数值， 再进行化简 举一反三：举一反三： 【变式】变式】在RtRt ABCABC中， C=9

8、0C=90 ，若A=45，则 B =B = ， sinA =sinA = ， cosA =cosA = ，sinB=sinB= ， cosB=cosB= 【答案】 B =B =4545，sinA =sinA = 2 2 ， cosA =cosA = 2 2 ，sinB=sinB= 2 2 ， cosB=cosB= 2 2 类型三、类型三、锐角三角函数之间的关系锐角三角函数之间的关系 3(1)求锐角； (2)已知求锐角 【答案与解析】 (1)先将已知方程变形后再求解 锐角=30 (2)先将已知方程因式分解变形 锐角=45 【总结升华】要求等式中的锐角，只需求得这个角的三角函数值，运用换元的方法，

9、把角的三角函数看 第 5 页 共 6 页 作未知数，解方程求得它的解(值)，然后再求这个锐角 类型四、类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用锐角三角函数的拓展探究与应用 4如图所示，AB 是O 的直径，且 AB10，CD 是O 的弦，AD 与 BC 相交于点 P， 若弦 CD6，试求 cosAPC 的值 【答案与解析】 连结 AC， AB 是O 的直径， ACP90， 又 BD，PABPCD， PCDPAB， PCCD PAAB 又 CD6，AB10， 在 RtPAC 中， 63 cos 105 PCCD APC PAAB 【总结升华】直角三角形中，锐角的三角函数等于两边的比值，当这个比值无法直

10、接求解，可结合相似 三角形的性质，利用对应线段成比例转换，间接地求出这个比值 锐角的三角函数是针对直角三角形而言的，故可连结 AC，由 AB 是O 的直径得ACB90， cos PC APC PA ，PC、PA 均为未知，而已知 CD6，AB10，可考虑利用PCDPAB 得 PCCD PAAB 5通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确 定，因此边长与角的大小之间可以相互转化类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系我们 定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)如图 1，在ABC 中，ABAC，顶角 A 的正 对记作 sadA，这时sa

11、dA BC AB 底边 腰 容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定 的根据上述角的正对定义，解下列问题： (1)sad60_ (2)对于 0A180，A 的正对值 sadA 的取值范围是_ (3)如图 1，已知 sinA 3 5 ，其中A 为锐角，试求 sadA 的值 第 6 页 共 6 页 【答案与解析】 (1)1； (2)0sadA2； (3)如图 2 所示，延长 AC 到 D，使 ADAB，连接 BD 设 ADAB5a，由 3 sin 5 BC A AB 得 BC3a， 22 (5 )(3 )4ACaaa， CD5a-4aa， 22 (3 )10BDaaa， 10 sadA 5 BD AD 【总结升华】(1)将 60角放在等腰三角形中，底边和腰相等，故 sadA1；(2)在图中设想 ABAC 的长固定，并固定 AB 让 AC 绕点 A 旋转，当A 接近 0时，BC 接近 0，则 sadA 接近 0 但永远 不会等于 0，故 sadA0，当A 接近 180时，BC 接近 2AB，则 sadA 接近 2 但小于 2，故 sadA 2；(3)将A 放到等腰三角形中，如图 2 所示，根据定义可求解