北京四中九年级下册数学解直角三角形及其应用--知识讲解

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1、第 1 页 共 7 页 解直角三角形及其应用解直角三角形及其应用知识讲解知识讲解 【学习目标】【学习目标】 1了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解 直角三角形； 2会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、要点一、解直角三角形解直角三角形 在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 在直角三角形中，除直角外，一共有 5 个元素，即三条边和两个锐角. 设在 RtABC 中，C=90，A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，则有： 三边之间的关系：a 2+b2

2、=c2(勾股定理). 锐角之间的关系：A+B=90. 边角之间的关系： ， ，. ，h 为斜边上的高. 要点诠释：要点诠释： (1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为 90)，是已知值. (2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系). (3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解. 要点二、要点二、解直角三角形的常见类型及解法解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 RtABC 两 边 两直角边(a，b) 由求A， B=90A， 斜边，一直角边(如 c，a) 由求A， B=90A， 一 边 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如A，b

3、) B=90A， 第 2 页 共 7 页 一 角 ， 锐角、对边 (如A，a) B=90A， ， 斜边、锐角(如 c，A) B=90A， ， 要点诠释：要点诠释： 1在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元 素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算. 2若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件 为边. 要点三、要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的应用 解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数 量关系化归为直角三角形中的边

4、角关系是解决实际应用问题的关键. 解这类问题的一般过程是： (1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出 几何图形，建立数学模型. (2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的 问题. (3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 拓展：拓展： 在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： (1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 坡度(坡比)： 坡面的铅直高度 h

5、 和水平距离 的比叫做坡度， 用字母 表示， 则， 如图， 坡度通常写成 = 的形式. (2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做 俯角，如图. 第 3 页 共 7 页 (3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图中，目标方 向 PA，PB，PC 的方位角分别为是 40，135，245. (4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90的水平角，叫做方向角，如图中的 目标方向线 OA，OB，OC，OD 的方向角分别表示北偏东 30，南偏东 45，南偏西 80，北偏西 60. 特别如：东南方向指的是南偏东 4

6、5，东北方向指的是北偏东 45，西南方向指的是南偏西 45，西 北方向指的是北偏西 45. 要点诠释：要点诠释： 1解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最 好画出它的示意图. 2非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形 来解. 3解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意 图，进而根据条件选择合适的方法求解. 第 4 页 共 7 页 【典型典型例题】例题】 类型一、解直角三角形类型一、解直角三角形 1在 RtABC 中，C90，a、b、c 分别是A、B、C 的对边，根

7、据下列条件，解这个直 角三角形 (1)B=60，a4； (2)a1，3b 【答案与解析】 (1)A90B906030 由tan b B a 知，tan4 tan604 3baB 由cos a B c 知， 4 8 coscos60 a c B (2)由tan3 b B a 得B60， A90-6030 222 abc， 22 42cab 【总结升华】解直角三角形的两种类型是：(1)已知两边；(2)已知一锐角和一边解题关键是正确选择 边角关系常用口诀：有弦(斜边)用弦(正弦、余弦)，无弦(斜边)用切(正切) (1)首先用两锐角互余求锐角A，再利用B 的正切、余弦求 b、c 的值； (2)首先用正

8、切求出B 的值，再求A 的值，然后由正弦或余弦或勾股定理求 c 的值 举一反三：举一反三： 【变式】变式】 （1）已知C=90，a=23，b=2 ，求A、B 和 c； （2）已知 sinA= 2 3 , c=6 ，求 a 和 b； 【答案】 （1）c=4；A=60、B=30； （2）a=4；b=2 5 2如图所示，在 RtABC 中，C90，B30，b20，解这个直角三角形 【答案与解析】 由C90知，A+B90，而B30， A90-3060 又 sin30 b c ， 120 2c c40 由勾股定理知 222 acb 第 5 页 共 7 页 222 4020a ，20 3a 【总结升华】解

9、这个直角三角形就是根据已知C90，B30，b20，求A、a、c 的过程 类型二、解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用类型二、解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用 3如图所示，BC 是半圆O 的直径，D 是AC的中点，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 E， (1)求证：ABEDBC； (2)已知 BC 5 2 ，CD 5 2 ，求 sinAEB 的值； (3)在(2)的条件下，求弦 AB 的长 【答案与解析】 (1) ADCD， 12， 又 BC 是O 的直径， BACBDC90 ABEDBC (2)由ABEDBC， AEBDCB 在 RtBDC 中，BC 5 2 ，C

10、D 5 2 ， BD 22 5BCCD， sinAEBsinDCB 52 5 5 5 2 BD BC (3)在 RtBDC 中，BD5，又123，ADEBDA， AEDBAD ADDE DBAD ， 2 ADDE DB 又 5 2 CDAD， CD 2(BDBE)BD， 即 2 5 ( 5)5 2 BE ， 3 5 4 BE 在 RtABE 中，ABBEsinAEB 323 55 452 第 6 页 共 7 页 【总结升华】本题综合了三角函数、相似三角形、勾股定理、圆等方面知识，尤其涉及三角函数问题， 都是通过找出或构造直角三角形来解决问题 (1)根据圆周角定理易证ABEDBC(2)利 用(1

11、)的结论，将AEB 转化为 RtBCD 中的DCB(3)在 RtABE 中求 AB 举一反三：举一反三： 【变式】变式】如图，在ABC 中，AC=12cm，AB=16cm，sinA= 1 3 （1）求 AB 边上的高 CD； （2）求ABC 的面积 S； （3）求 tanB 【答案】 （1）CD=4cm； （2）S=32 cm 2； （3）tanB= + +22 4 . 类型三、解直角三角形在解决实际生活、生产问题中的应用类型三、解直角三角形在解决实际生活、生产问题中的应用 4某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面 CD 的坡度为1: 3i （i1:3是指 铅直高度 DE 与水平宽度

12、 CE 的比)，CD 的长为 10 m，天桥另一斜面 AB 的坡角ABC45 (1)写出过街天桥斜面 AB 的坡度； (2)求 DE 的长； (3)若决定对该过街天桥进行改建，使 AB 斜面的坡度变缓，将其 45坡角改为 30，方便过路群 众，改建后斜面为 AF，试计算此改建需占路面的宽度 FB 的长(结果精确到.0.01 m) 【答案与解析】 (1)作 AGBC 于 G，DEBC 于 E， 在 RtAGB 中，ABG45，AGBG AB 的坡度1 AG i BG (2)在 RtDEC 中， 3 tan 3 DE C EC ， C30 又 CD10 m 1 5m 2 DECD (3)由(1)知

13、 AGBG5 m，在 RtAFG 中，AFG30， 第 7 页 共 7 页 tan AG AFG FG ，即 35 35FB ，解得5 353.66(m)FB 答：改建后需占路面的宽度 FB 的长约为 3.66 m 【总结升华】 （1）解梯形问题常作出它的两条高，构造直角三角形求解 （2）坡度是坡面的铅直高度与 水平宽度的比，它等于坡角的正切值 5腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点 C， 利用三角板测得雕塑顶端 A 点的仰角为 30，底部 B 点的俯角为 45，小华在五楼找到一点 D，利用三 角板测得 A 点的俯角为 60(如图所示)若已知 CD 为

14、 10 米，请求出雕塑 AB 的高度(结果精确到 0.1 米，参考数据31.73) 【答案与解析】 过点 C 作 CEAB 于 E D906030，ACD903060， CAD180306090 CD10， AC 1 2 CD5 在 RtACE 中， AEACsinACE5sin 30 5 2 ， CEACcos ACE5cos 30 5 3 2 ， 在 RtBCE 中， BCE45， 555 3( 31) 222 ABAEBE6.8(米) 雕塑 AB 的高度约为 6.8 米 【总结升华】此题将实际问题抽象成数学问题是解题关键，从实际操作（用三角形板测得仰角、俯角） 过程中，提供作辅助线的方法，同时对仰角、俯角等概念不能模糊