北京市延庆区2020届高三一模考试数学试题(含答案)
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1、 1 / 16 2020 北京延庆区高三一模 数 学 2020.3 本试卷共 5 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上作答无效。考 试结束后,将答题纸交回。 第一部分(选择题,共 40 分) 一、选择题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 1. 已知复数 是正实数,则实数 的值为 A. B. C. D. 2. 已知向量 ( ) ( ) 若 与 方向相同,则 等于 A. B. C. D. 3. 下列函数中最小正周期为 的函数是 A. B. C. D. | | 4. 下列函数中,是奇函数且在其定义域
2、上是增函数的是 A. B. C. D. 5.某四棱锥的三视图所示,已知该四棱锥的体积为 , ,则它的表面 积为 A. 8 B. 12 C. D. 20 6. ( ) 的展开式中, 的系数是 A. 160 B. 80 C. 50 D. 10 7. 在平面直角坐标系 中,将点 ( )绕原点 逆时针旋转 到点 ,设直线 与 轴正半轴所成的最 小正角为 ,则 等于 2 / 16 A. B. C. D. 8. 已知直线 ,平面 , , , ,那么“ ”是“ ”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9.某企业生产 两种型号的产品,每年的产量分别为
3、万支和 万支,为了扩大再生产,决定对两种产 品的生产线进行升级改造,预计改造后的 两种产品的年产量的增长率分别为 和 ,那么至少 经过多少年后, 产品的年产量会超过 产品的年产量(取 ) A. 6 年 B. 7 年 C. 8 年 D. 9 年 10. 已知双曲线 : 的右焦点为 , 过原点 的直线与双曲线 交于 两点, 且 ,则 的面积为 A. B. C. D. 第二部分(非选择题,共 110 分) 二、填空题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11. 已知集合 | ,且 ,则 的取值范围是 12. 经过点 ( )且与圆 相切的直线 的方程是 13. 已知函数 ( ) ,则 ( )
4、14. 某网店统计连续三天出售商品的种类情况:第一天售出 19 种商品,第二天售出 13 种商品,第三天售 出 18 种商品;前两天都售出的商品有 3 种,后两天都售出的商品有 4 种,则该网店第一天售出但第二天 未售出的商品有 种;这三天售出的商品至少有 种. 15. 在 中, , 是 边的中点.若 , ,则 的长等于 ;若 , ,则 的面积等于 . 三、解答题共 6 小题,共 85 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 3 / 16 16.(本小题 14 分) 如图,四棱锥 的底面 是正方形, , , 是 的中点, 平面 , 是 棱 上的一点, 平面 . ()求证: 是 的中点;
5、()求证: 和 所成角等于 17.(本小题 14 分) 已知数列* +是等差数列, 是* +的前 项和, , . ()判断 是否是数列* +中的项,并说明理由; ()求 的最值. 从 , , 中任选一个,补充在上面的问题中并作答. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分。 18. (本小题 14 分) , , 三个班共有 名学生, 为调查他们的上网情况, 通过分层抽样获得了部分学生一周的上网时长, 数据如下表(单位:小时): 4 / 16 班 班 班 ()试估计 班的学生人数; ()从这 120 名学生中任选 1 名学生,估计这名学生一周上网时长超过 15 小时的概率; ()从 A 班
6、抽出的 6 名学生中随机选取 2 人,从 B 班抽出的 7 名学生中随机选取 1 人,求这 3 人中恰有 2 人一周上网时长超过 15 小时的概率. 19. (本小题 14 分) 已知函数 ( ) 其中 ()当 时,求曲线 ( )在原点处的切线方程; ()若函数 ( )在, )上存在最大值和最小值,求 a 的取值范围. 20.(本小题 15 分) 已知椭圆 : ( )的左焦点为 ( ) 且经过点 ( ) 分别是 的右顶点 和上顶点,过原点 的直线 与 交于 两点(点 在第一象限),且与线段 交于点 . 5 / 16 ()求椭圆 的标准方程; ()若| | ,求直线 的方程; ()若 的面积是
7、的面积的 倍,求直线 的方程. 21.(本小题 14 分) 在数列* +中, 若 且 是偶数 是奇数 ( ),则称* +为 “ 数列” 。 设* +为 “ 数 列”,记* +的前 项和为 ()若 ,求 的值; ()若 ,求 的值; ()证明:* +中总有一项为 或 . 6 / 16 2020 北京延庆区高三一模数学 参考答案 一、选择题一、选择题: : (每小题每小题 4 4 分,共分,共 1010 小题,共小题,共 4040 分分. . 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的求的) 1. C 2D 3D 4C 5. B 6B 7A
8、8. C 9. B 10. A 二二、填空填空题题: : (每小题每小题 5 5 分,共分,共 5 5 小题,共小题,共 2525 分分) 11(,3); 12. 3 (2) 3 yx ; 13 13 2 ; 1416,29; 157,42. 10. 10. 考察知识:双曲线的定义和性质(对称性、渐近线、离心率),平行四边形的定义和性质(相邻内角考察知识:双曲线的定义和性质(对称性、渐近线、离心率),平行四边形的定义和性质(相邻内角 互补),三角形的性质(余弦定理、面积公式)互补),三角形的性质(余弦定理、面积公式). . 15. 在ACD中, sin2sin45 ACCD ,在 ABD中,
9、sin1sin3 ABBD , 相除得:相除得: 3 sin3 5 , 所以 7 2 sinsin(453) 10 A , 7 / 16 所以 1 sin42 2 ABC SAB ACA . 三、解答题:(三、解答题:(共共 6 6 小题,共小题,共 8585 分分. . 解答应写出文字说明、演算步骤解答应写出文字说明、演算步骤. .) 16.()联结AC,设AC与BD交于F,联结EF, 1 分 因为 / /PA平面BDE, 平面PAC平面BDE=EF, 所以 /PAEF 4 分 因为 ABCD是正方形, 所以 F是AC的中点 所以 E是PC的中点 6 分 ()(法一)因为 PO平面ABCD,
10、 所以 POBC 7 分 因为 ABCD是正方形, 所以 BCCD 因为 POCDO 所以 BC 平面PDC 10 分 所以 BCPD 因为 PDPC 因为 BCPCC 所以 PD 平面PBC 13 分 因为 BE 平面PBC 所以 PDBE 所以 PD与BE成90角. 14 分 (法二)连接OF, 因为 PO平面ABCD, 所以 POCD, POOF. 7 分 因为 ABCD是正方形, 所以 OFCD. 所以 ,OF OC OP两两垂直. 8 / 16 以,OF OC OP分别为x、y、z建立空间直角坐标系Oxyz.8 分 则(0,0,2)P,(0, 2,0)D,(4,2,0)B,(0,1,
11、1)E, 9 分 (0, 2, 2)PD ,( 3, 1,1)BE , 10 分 0 ( 3)( 2) ( 1)( 2) 1PD BE (1 分) 0 13 分 所以所以 PD与BE成90角. 14 分 17. 解:选 ()因为 108 16,10aa, 所以3d 2 分 所以 18 7102111aad 4 分 所以 1 (1)11 (1) 3 n aandn 314n 6 分 令 3142024n,则32038n 此方程无正整数解 所以2024不是数列 n a中的项. 8 分 不能只看结果; 某一步骤出错,即使后面步骤都对,给分不能超过全部分数的一半; 只有结果,正确给 1 分. ()(法
12、一)令0 n a , 即 3140n,解得: 142 4 33 n 当5n 时,0, n a 当4n时,0, n a 11 分 当4n 时, n S的最小值为 4 11 85226S .13 分 n S无最大值 14 分 只给出最小值-26,未说明 n=4 扣 1 分. n S无最大值 1 分 ()(法二) 2 1 ()325 222 n n n aa Snn , 251 4 266 b a 11 分 9 / 16 当4n 时, n S的最小值为 4 325 16426 22 S .13 分 n S无最大值 14 分 选 () 108 16,8aa, 4d 2 分 18 782820aad 4
13、 分 1 (1)20(1)4 n aandn 424n 6 分 令 4242024n,则42048n 解得512n 2024是数列 n a中的第 512 项. 8 分 ()令0 n a , 即 4240n,解得:6n 当6n 时,0, n a 当6n时,0, n a 当6n时,0, n a 11 分 当5n 或6n 时, n S的最小值为 56 20 16 12 8 460SS . 13 分 n S无最大值 14 分 选 () 108 16,20aa, 2d 2 分 18 720 1434aad 4 分 1 (1)34(1)( 2) n aandn 236n 6 分 令 2362024n,则9
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