北京四中数学中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用--知识讲解（基础）

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1、第 1 页 共 8 页 中考总复习中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用一元二次方程、分式方程的解法及应用知识讲解（基础知识讲解（基础） 【考纲要求】【考纲要求】 1.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程； 2. 会解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从 而渗透数学的转化思想 【知识网络】【知识网络】 【考点梳理】【考点梳理】 考考点一、点一、一元二次方程一元二次方程 1.1.一元二次方程的定义一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫做一元二次方程 它的一般形式

2、为 2 0axbxc(a0) 2.2.一元二次方程的解法一元二次方程的解法 （1）直接开平方法：把方程变成 2 xm的形式，当 m0 时，方程的解为xm ；当 m0 时， 方程的解 1,2 0x；当 m0 时，方程没有实数解 第 2 页 共 8 页 （2）配方法：通过配方把一元二次方程 2 0axbxc变形为 2 2 2 4 24 bbac x aa 的形式，再利 用直接开平方法求得方程的解 （3） 公式法： 对于一元二次方程 2 0axbxc， 当 2 40bac时， 它的解为 2 4 2 bbac x a （4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式

3、等于 零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解 要点诠释：要点诠释： 直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般 方法 3 3一元二次方一元二次方程根的判别式程根的判别式 一元二次方程根的判别式为 ac4b2 0方程有两个不相等的实数根； 0方程有两个相等的实数根； 0，所以方程有两个不相等的实数根 （2）解：因为方程的两根互为相反数，所以0 21 xx， 根据方程的根与系数的关系得02m，解得2m， 所以原方程可化为05 2 x，解得5 1 x，5 2 x. 类型类型二二、分式方程分式方程 第 6 页 共 8 页 3解方程：

4、 x xx 1 2 1 1 【思路点拨】先去分母将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，再进行检验. 【答案与解析】 方程两边都乘以()()xx11，得 22 (1)2(1)(1)(1) 21 2 3 3 x xxxx xxxx x x ， 即， 经检验：是原方程的根. 【总结升华】 首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根. 举一反三：举一反三： 【变式变式 1 1】解分式方程： 21 2 33 x xx 【答案】方程两边同乘以3x ，得 22(3)1xx 2261xx 5x 经检验：5x 是原方程的解， 所以原方程的解是5x 【变式变式 2 2

5、】方程2 2 1 2 3 xx x 的解是x= 【答案】0x . 4若解分式方程 211 1(1) xmx xx xx 产生增根，则 m 的值是（ ） A. 12或 B. 12或 C. 12或 D. 12或 【思路点拨】先把原方程化为整式方程，再把可能的增根分别代入整式方程即可求出 m 的值. 【答案】D； 【解析】由题意得增根是：xx 01或， 化简原方程为：211 22 xmx()() ，把xx 01或代入解得2m 或1， 故选择 D. 【总结升华】分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值. 举一反三：举一反三： 第 7 页 共 8 页 【变式变式】若关于x的方程2 33 2 x m

6、x x 无解，则m的值是 【答案】1. 类型类型三三、一元二次方程、分式方程的应用一元二次方程、分式方程的应用 5轮船在一次航行中顺流航行 80 千米，逆流航行 42 千米，共用了 7 小时；在另一次航行中，用相 同的时间，顺流航行 40 千米，逆流航行 70 千米.求这艘轮船在静水中的速度和水流速度. 【思路点拨】 在航行问题中的等量关系是 “顺流速度静水速度水流速度； 逆流速度静水速度水流速度” ， 两次航行提供了两个等量关系. 【答案与解析】 设船在静水中的速度为 x 千米/小时，水流速度为 y 千米/小时 由题意，得 8042 7 4070 7 xyxy xyxy 解得： 经检验：是原

7、方程的根 x y x y 17 3 17 3 答：水流速度为 3 千米/小时，船在静水中的速度为 17 千米/小时. 【总结升华】 流水问题公式：顺流速度静水速度水流速度； 逆流速度静水速度水流速度； 静水速度(顺流速度逆流速度)2；水流速度(顺流速度逆流速度)2. 举一反三：举一反三： 【变式变式】甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种 2 棵树，甲班种 60 棵所用 的时间与乙班种 66 棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？ 【答案】设甲班每小时种 x 棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树， 由题意得： 6066 2xx 6012066 20 20 22

8、2 xx x x x 经检验：是原方程的根 答：甲班每小时种树 20 棵，乙班每小时种树 22 棵. 第 8 页 共 8 页 6某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是 500 元，销售价为 625 元，经市场预测，该产品销 售价第一个月将降低 20%，第二个月比第一个月提高 6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该 产品的成本价平均每月应降低百分之几？ 【思路点拨】 设该产品的成本价平均每月降低率为 x，那么两个月后的销售价格为 625（1-20%） （1+6%） ，两个月 后的成本价为 500（1-x） 2，然后根据已知条件即可列出方程，解方程即可求出结果 【答案与解析】 设该产品的成本价平均每月应降低的百分数为 x 625（1-20%） （1+6%）-500（1-x） 2=625-500 整理，得 500（1-x） 2=405， （1-x）2=0.81 1-x=0.9，x=10.9， x1=1.9（舍去） ，x2=0.1=10% 答：该产品的成本价平均每月应降低 10% 【总结升华】 题目中该产品的成本价在不断变化，销售价也在不断变化，要求变化后的销售利润不变，即利润 仍要达到 125 元，关键在于计算和表达变动后的销售价和成本价