北京四中数学中考总复习：特殊三角形--知识讲解（基础）

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1、第 1 页 共 7 页 中考总复习中考总复习：特殊特殊三角形三角形知识讲解知识讲解（基础）（基础） 【考纲要求】【考纲要求】 1.了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角 形、直角三角形的性质和判定； 2.能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题； 3.会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题 【知识网络】【知识网络】 【考点梳理】【考点梳理】 考考点一、点一、等腰三角形等腰三角形 1 1. .等腰三角形等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 2 2. .性质：性质： (1)具有三角形的一切性质.

2、 (2)两底角相等(等边对等角) (3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一) (4)等边三角形的各角都相等，且都等于 60. 3 3. .判定：判定： (1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形； (3)有一个角为 60的等腰三角形是等边三角形. 要点诠释：要点诠释： (1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念； (2)等边三角形是特殊的等腰三角形. 考考点二、点二、直角三角形直角三角形 1.1.直角三角形：直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形. 2 2 性质：性质： (1)直角三角形中

3、两锐角互余. (2)直角三角形中，30锐角所对的直角边等于斜边的一半. (3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于 30. (4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方. (5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a 2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. (6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半. 3 3判定：判定： (1)有两内角互余的三角形是直角三角形. 第 2 页 共 7 页 (2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形. (3)如果三角形两边的平方和等于第三边

4、的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边. 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、等腰等腰三角形三角形 1如图，等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于( ) A.顶角的 2 倍 B.顶角的一半 C.顶角 D.底角的一半 【思路点拨】等角的余角相等. 【答案】B. 【解析】如图，ABC 中，AB=AC，BDAC 于 D，所以ABC=C，BDC=90，所以DBC=90-C= 90-(180-A)= A， 【总结升华】本题适用于任何一种等腰三角形,可以试着证明在钝角三角形中结论一样成立；总结规律， 等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于顶角的一半. 举一反三：举一反三： 【变式变式】如图，

5、在ABC 中，ABAC，A36，BD、CE 分别是ABC、BCD 的角平分线，则图中的 等腰三角形有（ ）A5 个 B4 个 C3 个 D2 个 【答案】A 2 （2015 秋南通校级月考）如图，在ABC 中，AB=AC，D、E 是ABC 内两点，AD 平分BAC， EBC=E=60，若 BE=30cm，DE=2cm，则 BC= cm 【思路点拨】作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出 BE=30，DE=2，进而得出 BEM 为等边三角形， EFD 为等边三角形，从而得出 BN 的长，进而求出答案 【答案】32; 【解析】 第 3 页 共 7 页 解：延长 ED 交 BC 于 M，延长 AD 交

6、 BC 于 N，作 DFBC， AB=AC，AD 平分BAC， ANBC，BN=CN， EBC=E=60， BEM 为等边三角形， EFD 为等边三角形， BE=30，DE=2， DM=28， BEM 为等边三角形， EMB=60， ANBC， DNM=90， NDM=30， NM=14， BN=16， BC=2BN=32， 故答案为 32 【总结升华】本题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出 MN 的长是解决问题的关 键 类型二、直角三角形类型二、直角三角形 3将一张矩形纸片如图所示折叠，使顶点落在点.已知，则 折痕的长为( ) A. B. C. D. 【思路点拨】直角三角形

7、是常见的几何图形，在习题中比较多的利用数形结合解决相应的问题.常用的 是两锐角互余，三边满足勾股定理和直角三角形中，30角所对的边等于斜边的一半. 【答案】C. 【解析】由折叠可知，CED=CED =30，因为在矩形 ABCD 中，C 等于 90，CD=AB=2， 所以在 RtDCE 中，DE=2CD=4.故选 C. 【总结升华】折叠题型一定要注意对应的边相等，对应的角相等. 第 4 页 共 7 页 【变式变式】 如图，一张直角三角形纸片，两直角边 AC=4cm，BC=8cm，将ABC 折叠，点 B 与点 A 重合， 折痕为 DE，则 DE 的长为( ) A. B. C. D.5 【答案】B.

8、 解析：由折叠可知，AD=BD，DEAB， BE= AB 设 BD 为 x，则 CD=8-x C=90，AC=4，BC=8，AC 2+BC2=AB2 AB 2=42+82=80，AB= ，BE= 在 RtACD 中，AC 2+CD2=AD2 ，42+(8-x)2=x2，解得 x=5 在 RtBDE 中，BE 2+DE2=BD2，即( ) 2+DE2=52，DE= ， 故选 B. 4已知：在直角ABC 中，C=90，BD 平分ABC 且交 AC 于 D. (1)若BAC=30，求证: AD=BD； (2)若 AP 平分BAC 且交 BD 于 P，求BPA 的度数. 图 1 图 2 【思路点拨】(

9、1)利用直角三角形两锐角互余，求得ABD=A=30，得出 AD=BD. (2)利用三角形内角和及角平分线定义或利用三角形外角性质. 【答案与解析】 (1)证明：BAC=30，C=90，ABC=60 又 BD 平分ABC， ABD=30， BAC =ABD，BD=AD； (2)解法一： C=90，BAC+ABC=90 =45 BD 平分ABC，AP 平分BAC 第 5 页 共 7 页 BAP=，ABP= 即BAP+ABP=45 APB=180-45=135 解法二： C=90，BAC+ABC=90 =45 BD 平分ABC，AP 平分BAC DBC=，PAC= DBC+PAD=45 APB=PD

10、A+PAD =DBC+C+PAD=DBC+PAD+C=45+90=135. 【总结升华】本题利用了：1、直角三角形的性质，两锐角互余，2、角的平分线的性质，3、三角形的 外角与内角的关系 类型三、综合运用类型三、综合运用 5 . 已知 ABC 的两边 AB、AC 的长是关于 x 的一元二次方程 x 2-(2k+3)x+k2+3k+2=0 的两个实数根，第三 边 BC 的长为 5. （1）k 为何值时，ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形？ （2）k 为何值时，ABC 是等腰三角形？并求出ABC 的周长。 【思路点拨】ABC 的两边的长是关于 x 的一元二次方程的两个实数根，应该想到一元二次方

11、程中根与 系数的关系. 【答案与解析】(1)AB、ACAB、AC 的长是关于 x 的一元二次方程 x 2-(2k+3)x+k2+3k+2=0 的两个实数根, AB+AC=2k+3,ABAC= k 2+3k+2 又ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形，BC=5 222 ABACBC 2 ()225ABACAB AC 即 22 (23)2(32)25kkk 12 52kk 或 当 k=-5 时，方程为 2+7 120xx 解得 12 3,4xx （不合题意，舍去） 当 k=2 时，方程为 2 7120xx 解得 12 3,4xx 当 k=2 时，ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形. (2)当

12、ABC 是等腰三角形时，则有AB=AC,AB=BC,AB=BC 三种情况： = 22 (23)4(32)kkk=10 第 6 页 共 7 页 ABAC,故第一种情况不成立； 当 AB=BC 或 AC=BC 时，5 是方程 x 2-(2k+3)x+k2+3k+2=0 的根 12 34kk或 当 k=3 时， 2 9200xx， 12 5,4xx 等腰三角形的边长分别是 5,5,4.周长为 14； 当 k=4 时， 2 11300xx， 12 5,6xx 所以等腰三角形的边长是 5,5,6，周长是 16. 【总结升华】当三角形是等腰三角形并且未明确哪两边为腰时,要注意分类讨论. 【变式变式】已知等

13、腰三角形三边的长为 a、b、c 且 a=c，若关于 x 的一元二次方程 ax 2- 2bx+c=0 的两根之差 为2，则等腰三角形的一个底角是（ ）. A. 15 0 B. 300 C. 450 D. 600 【答案】B. 6 （2015 春威海期末）如图，ABC 中，BAC=90，AB=AC，ADBC，垂足是 D，AE 平分BAD， 交 BC 于点 E，EHAB，垂足是 H在 AB 上取一点 M，使 BM=2DE，连接 ME求证：MEBC 【思路点拨】根据 EHAB 于 H，得到 BEH 是等腰直角三角形，然后求出 HE=BH，再根据角平分线 上的点到角的两边距离相等可得 DE=HE，然后求

14、出 HE=HM，从而得到 HEM 是等腰直角三角形，再 根据等腰直角三角形的性质求解即可 【答案与解析】解：BAC=90 ，AB=AC， B=C=45， EHAB 于 H， BEH 是等腰直角三角形， HE=BH，BEH=45， AE 平分BAD，ADBC， DE=HE， DE=BH=HE， BM=2DE， HE=HM， HEM 是等腰直角三角形， 第 7 页 共 7 页 M E D C B A MEH=45， BEM=45+45=90， MEBC 【总结升华】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟 记性质并证明出等腰直角三角形是解题的关键 【变式变式】如图，在ABC 中，AC=BC，ACB=90，AE 平分BAC 交 BC 于 E，BDAE 于 D，DMAC 交 AC 的延长线于 M， 连接 CD， 给出四个结论： ADC=45； BD= 2 1 AE； AC+CE=AB； AB-BC=2MC； 其中正确的结论有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【答案】D.