北京四中数学中考总复习：实数--知识讲解（基础）

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1、第 1 页 共 8 页 中考总复习中考总复习：实数实数知识讲解知识讲解 （基础（基础） 【考纲要求】【考纲要求】 1.了解有理数、无理数、实数的概念；借助数轴理解相反数、绝对值的概念及意义，会比较实数的大小； 2.知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数，会求近似数和有效数字；了解乘方与 开方、平方根、算术平方根、立方根的概念，并理解这两种运算之间的关系，了解整数指数幂的意义 和基本性质； 3.掌握实数的运算法则，并能灵活运用. 【知识网络】【知识网络】 【考点梳理】【考点梳理】 考点考点一、一、实数的分类实数的分类 1.1.按定义分类：按定义分类： 正整数 自然数 整数 零 有

2、理数有限小数或无限循环小数负整数 实数正分数 分数 负分数 正无理数 无理数无限不循环小数 负无理数 2.2.按性质符号分类：按性质符号分类： 第 2 页 共 8 页 正整数 正有理数 正实数正分数 正无理数 实数 零 负整数 负有理数 负实数负分数 负无理数 有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如 n m （m，n 是整数 n0）”的数叫有理数 无理数：无限不循环小数叫无理数 实数：有理数和无理数统称为实数 要点诠释：要点诠释： 常见的无理数有以下几种形式： （1）字母型：如是无理数， 24 、等都是无理数，而不是分数； （2）构造型：如 2.10100100010000（每两个 1 之间

3、依次多一个 0）就是一个无限不循环的小数； （3）根式型： 3 256、 、 ，都是一些开方开不尽的数； （4）三角函数型：sin35、tan27、cos29等. 考点考点二二、实数的相关概念实数的相关概念 1.1.相反数相反数 （1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数0 的相反数是 0； （2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数； （3)互为相反数的两个数之和等于 0.a、b 互为相反数a+b=0. 2.2.绝对值绝对值 （1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0 可用式子表示为： )

4、0( )0(0 )0( aa a aa a （2)几何意义：一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离距离是一个非负数，所 以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数 用式子表示：若 a 是实数，则|a|0 要点诠释：要点诠释： 若,aa则0a ；- ,aa则0a ；-a b表示的几何意义就是在数轴上表示数 a 与数 b 的点之间的 距离. 3.3.倒数倒数 （1)实数(0)a a 的倒数是 a 1 ；0 没有倒数； （2)乘积是 1 的两个数互为倒数a、b 互为倒数1a b. 第 3 页 共 8 页 4.4.平方根平方根 （1)如果一个数的平方等于 a，

5、 这个数就叫做 a 的平方根 一个正数有两个平方根， 它们互为相反数； 0 有一个平方根，它是 0 本身；负数没有平方根a（a0）的平方根记作a （2)一个正数 a 的正的平方根，叫做 a 的算术平方根a（a0）的算术平方根记作a 5.5.立方根立方根 如果 x 3=a，那么 x 叫做 a 的立方根 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0 的立方根仍是 0 考点考点三三、实数与数轴实数与数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数 要点诠释：要点诠释： （1）数轴的三要素：

6、原点、正方向和单位长度. （2）实数和数轴上的点是一一对应的. 考点考点四四、实数大小的比较实数大小的比较 1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大. 2.正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于一切负数；两个负数；绝对值大的反而小. 3.对于实数 a、b， 若 a-b0ab；a-b=0a=b；a-bc，则 ac. 5.无理数的比较大小： 利用平方转化为有理数：如果 ab0， a 2b2 abba ； 或利用倒数转化：如比较417 与154. 要点诠释：要点诠释： 实数大小的比较方法： （1）直接比较法：正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于一切负数；两个负 数，绝对值大的反而小

7、.（2）数轴法：在数轴上，右边的数总比左边的数大. 考点考点五五、实数的运算实数的运算 1.1.加法加法 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的 加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得 0；一个数同 0 相加， 仍得这个数 满足运算律：加法的交换律 a+b=b+a，加法的结合律(a+b)+c=a+(b+c) 2.2.减减法法 减去一个数等于加上这个数的相反数 3.3.乘乘法法 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇 数个

8、时，积为负几个数相乘，有一个因数为 0，积就为 0 乘法运算的运算律： （1）乘法交换律 ab=ba； （2）乘法结合律(ab)c=a(bc)； （3）乘法对加法的分配 律 a(b+c)=ab+ac 4.4.除除法法 （1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数 第 4 页 共 8 页 （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除0 除以任何一个不等于 0 的数都得 0 5.5.乘方与开方乘方与开方 （1)求 n 个相同因数的积的运算叫做乘方，a n 所表示的意义是 n 个 a 相乘. 正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数 （2)正数和 0 可以开平方，负数不能开平方

9、；正数、负数和 0 都可以开立方 （3)零指数与负指数 0 1 1(0)(0). p p aaaa a ， 要点诠释：要点诠释： 加和减是一级运算， 乘和除是二级运算， 乘方和开方是三级运算 这三级运算的顺序是三、 二、 一 如 果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算 考点考点六六、有效数字和科学记数法有效数字和科学记数法 一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位一个近似数，从左边第一个不是 0 的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字精确度的形式有两种： （1）精确到哪一位； （2）保留几个有效数字. 把一个数用a10

10、n（其中 110，n 为整数）的形式记数的方法叫科学记数法 要点诠释：要点诠释： （1）当要表示的数的绝对值大于 1 时，用科学记数法写成 a10 n ，其中 1a10，n 为正整数， 其值等于原数中整数部分的数位减去 1； （2）当要表示的数的绝对值小于 1 时，用科学记数法写成 a10 n ，其中 1a10，n 为负整数， 其值等于原数中第一个非零数字前面所用零的个数的相反数（包括小数点前面的零）. 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、实数的有关概念实数的有关概念 1 （1）a 的相反数是 1 5 ，则 a 的倒数是_ （2）实数 a、b 在数轴上对应点的位置如图所示: 则化简 2

11、()ab=_ 0ab （3）（泉州市） 去年泉州市林业用地面积约为 10200000 亩， 用科学记数法表示为约_ 【答案】 （1）5 ； （2）-a-b； （3）1.0210 7亩. 【解析】 （1）注意相反数和倒数概念的区别，互为相反数的两个数只有性质符号不同，互为倒数的两个 数要改变分子分母的位置；或者利用互为相反数的两个数之和等于 0，互为倒数的两个数乘积等 于 1 来计算. （2）此题考查绝对值的几何意义，绝对值和二次根式的化简.注意要去掉绝对值符号，要判别绝 对值内的数的性质符号. 由图知： 2 0 0 | | | 0 ()|().ababababababab ， （3）考查科学记

12、数法的概念. 【点评】本大题旨在通过几个简单的填空，让学生加强对实数有关概念的理解 举一反三：举一反三： 第 5 页 共 8 页 【变式变式】据市旅游局统计，今年“五一”小长假期间，我市旅游市场走势良好，假期旅游总收入达到 8.55 亿元，用科学记数法可以表示为（ ） A8.55106 B8.55107 C8.55108 D8.55109 【答案】C. 类型类型二二、实数的分类与计算实数的分类与计算 2下列实数 22 7 、sin60、 3 、 0 2、3.14159、-9、 2 7 、8中无理数有（ ）个 A1 B2 C3 D4 【答案】C. 【解析】无理数有 sin60、 3 、8. 【点

13、评】对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断 举一反三：举一反三： 【变式变式】 在,30cos, 2 ,)23( ,4,8,14. 3 0 ,45tan , 7 12 ,1010010001. 0,5 1 13 . 0%,3 中， 哪些是有理数? 哪些是无理数? 【答案】 0 3.14,4, ( 32) ,45tan , 7 12 ,5 1 13 . 0%,3 都是有理数； 8,cos30 , 2 0.1010010001,都是无理数. 3计算：计算：|2|)3() 2 1 () 1( 022001 【答案与解析】 200120 1 ( 1)( )( 3)|2| 2 14

14、12 1 【点评】该题是实数的混合运算，包括绝对值，0 指数幂、负整数指数幂，正整数指数幂只要准确把 握各自的意义，就能正确的进行运算 举一反三：举一反三： 【变式变式 1 1】计算：.45sin8)14. 3()3(2 022 【答案】 17 4 ； 第 6 页 共 8 页 【变式变式 2 2】计算：12004200320022001 【答案】 设 n=2001，则原式=1)3)(2)(1(nnnn 1)23)(3( 22 nnnn（把 n 2+3n 看作一个整体） =1)3(2)3( 222 nnnn =n 2+3n+1 =n(n+3)+1 =20012004+1 =4010005. 类型

15、类型三三、实数大小的比较实数大小的比较 4比较下列每组数的大小： （1）417 与154 （2）a 与 a 1 （a0） 【答案与解析】 （1） 1 1740 174 ， 1 4150 415 ， 而174与415可以很容易进行比较得到： 1744150， 所以174415； （2）当 a a 1 ； 当 a=1时，a= a 1 . 【点评】 （1）有时无理数比较大小，通过平方转化以后也无法进行比较，那么我们可以利用倒数关系比 较； （2）这道题实际上是互为倒数的两个数之间的比较大小，我们可以利用数轴进行比较，我们知 道，0 没有倒数，1 的倒数等于它本身，这样数轴就被这 3 个数分成了 4

16、部分，下面就可 以分类讨论每种情况.我们还可以利用函数图象来解决这个问题， 把 a 1 的值看成是关于 a 的 反比例函数，把 a 的值看成是关于 a 的正比例函数，在坐标系中画出它们的图象，可以很 直观的比较出它们的大小. 第 7 页 共 8 页 举一反三：举一反三： 【变式变式】比较下列每组数的大小： （1） 8 17 和 5 11 （2）52 和23 【答案】 （1）将其通分，转化成同分母分数比较大小， 1785 840 ，11 88 540 ， 1711 85 ， 所以 1711 85 . （2） 2 2572 10740， 2 3274 3748， 因为4048， 所以2532. 类

17、型类型四四、平方根的应平方根的应用用 5已知：x ，y 是实数， 2 34690xyy，若 axy-3x=y，则实数 a 的值是_. 【答案】 1 4 . 【解析】 2 34690xyy，即 2 34(3)0xy 两个非负数相加和为 0，则这两个非负数必定同时为 0， 340x ，(y-3) 2=0， x= 4 3 ， y=3 又axy-3x=y， a= 4 3()3 31 3 44 3 3 xy xy . 【点评】此题考查的是非负数的性质. 类型类型五五、实数运算中的规律探索实数运算中的规律探索 6细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题 第 8 页 共 8 页 2 1 2 2 2 3 1

18、112, 2 2 213, 2 3 314, 2 S S S S1 S2 S3 S4 S5 O A1 A2 A3 A4 A5 A6 1 1 1 1 1 （1）请用含有 n（n 是正整数）的等式表示上述变化规律； （2）推算出 OA10的长； （3）求出 S1 2+ S 2 2+ S 3 2+ S 10 2的值. 【答案与解析】 （1）由题意可知，图形满足勾股定理， 2 , 11 2n Snn n （2）因为 OA1=1，OA2=2，OA3=3， 所以 OA10=10 （3）S1 2+ S 2 2+ S 3 2+ S 10 2 = 2222 ) 2 10 () 2 3 () 2 2 () 2 1 ( =)10321 ( 4 1 = 4 55 . 【点评】近几年各地的中考题中越来越多的出现了一类探究问题规律的题目，这些问题素材的选择、文 字的表述、题型的设计不仅考察了数学的基础知识，基本技能，更重点考察了创新意识和能力， 还考察了认真观察、分析、归纳、由特殊到一般，由具体到抽象的能力. 举一反三：举一反三： 【变式变式】 图中是一幅 “苹果图” ， 第一行有 1 个苹果， 第二行有 2 个， 第三行有 4 个， 第四行有 8 个， 你是否发现苹果的排列规律？猜猜看，第十行有_个苹果 【答案】2 9 （512）.