北京四中数学中考总复习：特殊三角形--巩固练习（提高）

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1、第 1 页 共 10 页 中考总复习：中考总复习：全等三角形全等三角形巩固练习巩固练习（提高）（提高） 【巩固练习巩固练习】 一、选择题一、选择题 1 已知等边ABC 的边长为 a，则它的面积是（ ） Aa2 Ba2 Ca2 Da2 2在四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 E，若 AC 平分DAB，AB=AE，AC=AD那么在下列四个 结论中： （1）ACBD； （2）BC=DE； （3）DBC= 1 2 DAB； （4）ABE 是正三角形，其中正确的是（ ） A （1）和（2） B （2）和（3） C （3）和（4） D （1）和（4） 3.如图，等腰三角形 ABC 中，

2、BAC=90，在底边 BC 上截取 BD=AB，过 D 作 DEBC 交 AC 于 E，连接 AD， 则图中等腰三角形的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 4.如图，三角形纸片 ABC 中，B=2C，把三角形纸片沿直线 AD 折叠，点 B 落在 AC 边上的 E 处，那么 下列等式成立的是（ ）AAC=AD+BD BAC=AB+BD CAC=AD+CD DAC=AB+ CD 5 （2012镇江）边长为 a 的等边三角形，记为第 1 个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得 到一个正六边形，记为第 1 个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边 三角形，记为第 2

3、个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第 2 个正 六边形（如图） ，按此方式依次操作，则第 6 个正六边形的边长为（ ） A. 5 11 ( ) 32 a B 5 11 ( ) 23 a C 6 11 ( ) 32 a D. 6 11 ( ) 23 a 6.（2014本溪校级二模）如图，过边长为 1 的等边ABC 的边 AB 上一点 P，作 PEAC 于 E，Q 为 BC 延长线上一点，当 PA=CQ 时，连 PQ 交 AC 边于 D，则 DE 的长为（ ） A B C D不能确定 二、填空题二、填空题 7如图，C 为线段 AE 上一动点(不与点 A，E 重合)，

4、在 AE 同侧分别作正三角形 ABC 和 正三角形 CDE，AD 与 BE 交于点 O，AD 与 BC 交于点 P，BE 与 CD 交于点 Q，连结 PQ. 第 2 页 共 10 页 以下五个结论： AD=BE； PQAE； AP=BQ； DE=DP； AOB=60. 恒成立的有_(把你认为正确的序号都填上). 8 （2015鄂尔多斯）如图，ABC 中，C=90，CA=CB，点 M 在线段 AB 上，GMB= A，BGMG，垂 足为 G，MG 与 BC 相交于点 H若 MH=8cm，则 BG= cm 9. 若直角三角形两直角边的和为 3，斜边上的高为 2 5 5 ，则斜边的长为 . 10.如图

5、，已知正方形 ABCD 的边长为 2，BPC 是等边三角形，则CDP 的面积是_；BPD 的面积是_. 11如图，P 是正三角形 ABC 内的一点，且 PA=6，PB=8，PC=10.若将PAC 绕点 A 逆时针旋转后， 得到PAB ，则点 P 与点 P 之间的距离为_，APB=_. 12 .以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第 2个等腰直角三角形ABA1， 再以等腰直角三角形ABA1 的斜边为直角边向外作第 3 个等腰直角三角形 A1BB1，如此作下去，若 OA=OB=1，则第 n 个等 腰直角三角形的面积 Sn=_. 三、解答题三、解答题 13. 已知：在ABC 中，ABC=90，点

6、E 在直线 AB 上，ED 与直线 AC 垂直，垂足为 D，且点 M 为 EC 中 点，连接 BM，DM （1）如图 1，若点 E 在线段 AB 上，探究线段 BM 与 DM 及BMD 与BCD 所满足的数量关系，并直接写 第 3 页 共 10 页 出你得到的结论； （2）如图 2，若点 E 在 BA 延长线上，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证 明； （3）若点 E 在 AB 延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段 BM 与 DM 及BMD 与 BCD 所满足的数量关系 14. (1) 如图 1,在正方形 ABCD 中,点 E,F 分别在边 BC,CD 上

7、,AE,BF 交于点 O,AOF90. 求证：BECF. 图 1 (2) 如图 2,在正方形 ABCD 中,点 E,H,F,G 分别在边 AB,BC,CD,DA 上,EF,GH 交于点 O,FOH90, EF4.求 GH 的长. 图 2 (3) 已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于点O,FOH90,EF4. 直 接写出下列两题的答案： 如图 3,矩形 ABCD 由 2 个全等的正方形组成,求 GH 的长； 如图 4,矩形 ABCD 由 n 个全等的正方形组成,求 GH 的长(用 n 的代数式表示). 图 3 图 4 15如图 1，在正方形 ABCD

8、 中，M 是 BC 边（不含端点 B、C）上任意一点,P 是 BC 延长线上一点， 第 4 页 共 10 页 N 是DCP 的平分线上一点若AMN=90，求证：AM=MN 下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明 证明：在边 AB 上截取 AE=MC，连 ME正方形 ABCD 中，B=BCD=90， AB=BCNMC=180AMNAMB=180BAMB=MAB=MAE （下面请你完成余下的证明过程） 若将中的“正方形 ABCD”改为“正三角形 ABC” （如图 2）,N 是ACP 的平分线上一点，则 当AMN=60时，结论 AM=MN 是否还成立？请说明理由 若将

9、中的“正方形 ABCD”改为“正边形 ABCDX” ，请你做出猜想： 当AMN=_时，结论 AM=MN 仍然成立 （直接写出答案，不需要证明） 16. （2015 秋江阴市期中） 如图， ABC 中， C=Rt， AB=5cm， BC=3cm， 若动点 P 从点 C 开始， 按 CABC 的路径运动，且速度为每秒 1cm，设出发的时间为 t 秒 （1）出发 2 秒后，求ABP 的周长 （2）问 t 为何值时，BCP 为等腰三角形？ （3）另有一点 Q，从点 C 开始，按 CBAC 的路径运动，且速度为每秒 2cm，若 P、Q 两点同时出发， 当 P、Q 中有一点到达终点时，另一点也停止运动当

10、t 为何值时，直线 PQ 把ABC 的周长分成相等的 两部分？ 第 5 页 共 10 页 【答案与解析答案与解析】 一、选择题一、选择题 1.【答案】D. 2.【答案】B. 【解析】此题采取排除法做 （1） AB=AE， 所以ABE 是等腰的， 等腰三角形底角AEB 不可能 90， 所以 ACBD 不成立 排 除 A，D； （2）AC 平分DAB，AB=AE，AC=ADDAECAB，BC=DE 成立，排除 C 3.【答案】D 【解析】三角形 ABC 是等腰三角形，且BAC=90，所以B=C=45，又 DEBC，所以DEC=C= 45，所以EDC 是等腰三角形，BD=AB，所以ABD 是等腰三角

11、形，BAD=BDA，而EAD= 90-BAD，EDA=90-BDA，所以EAD=EDA，所以EAD 是等腰三角形，因此图中等 腰三角形共 4 个 4.【答案】B. 【解析】根据题意证得 AB=AE，BD=DE，DE=EC据此可以对以下选项进行一一判定选 B. 5.【答案】A. 6. .【答案】B. 【解析】过 P 作 PFBC 交 AC 于 F PFBC，ABC 是等边三角形， PFD=QCD，APF 是等边三角形， AP=PF=AF， PEAC， AE=EF， AP=PF，AP=CQ， PF=CQ 在PFD 和QCD 中， ， PFDQCD（AAS） ， FD=CD， AE=EF， EF+F

12、D=AE+CD， AE+CD=DE= AC， AC=1， DE= 故选：B 第 6 页 共 10 页 二、填空题二、填空题 7 【答案】. 【解析】提示：证ACDBCE, ACPBCQ. 8 【答案】4. 【解析】如图，作 MDBC 于 D，延长 DE 交 BG 的延长线于 E， ABC 中，C=90，CA=CB， ABC=A=45， GMB= A， GMB= A=22.5， BGMG， BGM=90， GBM=9022.5=67.5， GBH=EBMABC=22.5 MDAC， BMD=A=45， BDM 为等腰直角三角形 BD=DM， 而GBH=22.5， GM 平分BMD， 而 BGMG

13、， BG=EG，即 BG= BE， MHD+HMD=E+HMD=90， MHD=E， GBD=90E，HMD=90E， GBD=HMD， 在BED 和MHD 中， ， BEDMHD（AAS） ， BE=MH， BG= MH=4 故答案是：4 第 7 页 共 10 页 9 【答案】5. 【解析】设直角边为 a,b,斜边为 c，则a+b=3， 222 abc， 11 22 abc 2 5 5 ，代入即可. 10 【答案】1， . 【解析】 BPC 是等边三角形，PCD=30 做 PECD,得 PE=1，即CDP 的面积是= 1 2 21=1； 根据即可推得 BCDBPDBPCPCD SSSS. 1

14、1 【答案】6 ，150. 12 【答案】. 三、解答题三、解答题 13.【答案与解析】 （1）结论：BM=DM，BMD=2BCD 理由：BM、DM 分别是 RtDEC、RtEBC 的斜边上的中线， BM=DM= 1 2 CE； 又BM=MC，MCB=MBC，即BME=2BCM； 同理可得DME=2DCM； BME+DME=2（BCM+DCM） ，即BMD=2BCD （2）在（1）中得到的结论仍然成立即 BM=DM，BMD=2BCD 证法一：点 M 是 RtBEC 的斜边 EC 的中点， BM= 1 2 EC=MC，又点 M 是 RtBEC 的斜边 EC 的中点， DM= 1 2 EC=MC，

15、 BM=DM； BM=MC，DM=MC， 第 8 页 共 10 页 CBM=BCM，DCM=CDM， BMD=EMB+EMD=2BCM+2DCM=2（BCM+DCM）=2BCD， 即BMD=2BCD 证法二：点 M 是 RtBEC 的斜边 EC 的中点， BM= 1 2 EC=ME； 又点 M 是 RtDEC 的斜边 EC 的中点， DM= 1 2 EC=MC， BM=DM； BM=ME，DM=MC， BEC=EBM，MCD=MDC， BEM+MCD=BAC=90-BCD， BMD=180-（BMC+DME） ，=180-2（BEM+MCD）=180-2（90-BCD）=2BCD， 即BMD=

16、2BCD （3）所画图形如图所示： 图 1 中有 BM=DM，BMD=2BCD； 图 2 中BCD 不存在，有 BM=DM； 图 3 中有 BM=DM，BMD=360-2BCD 解法同（2） 14.【答案与解析】(1) 证明： 如图 1， 四边形 ABCD 为正方形， AB=BC,ABC=BCD=90， EAB+AEB=90. EOB=AOF90, FBC+AEB=90， EAB=FBC， ABEBCF ， BE=CF (2) 解：如图 2,过点 A 作 AM/GH 交 BC 于 M， 过点 B 作 BN/EF 交 CD 于 N,AM 与 BN 交于点 O/， 则四边形 AMHG 和四边形 B

17、NFE 均为平行四边形， EF=BN,GH=AM， FOH90, AM/GH，EF/BN, NO/A=90, 故由(1)得, ABMBCN， AM=BN， GH=EF=4 (3) 8 4n 15.【答案与解析】 （1）AE=MC,BE=BM, BEM=EMB=45, AEM=1355, 第 9 页 共 10 页 CN 平分DCP，PCN=45，AEM=MCN=135 在AEM 和MCN 中：AEMMCN，AM=MN （2）仍然成立 在边 AB 上截取 AE=MC，连接 ME ABC 是等边三角形， AB=BC，B=ACB=60， ACP=120 AE=MC，BE=BM BEM=EMB=60 A

18、EM=120 CN 平分ACP，PCN=60， AEM=MCN=120 CMN=180AMNAMB=180BAMB=BAM AEMMCN，AM=MN （3） 16.【答案与解析】解： （1）如图 1，由C=90，AB=5cm，BC=3cm， AC=4，动点 P 从点 C 开始，按 CABC 的路径运动，且速度为每秒 1cm， 出发 2 秒后，则 CP=2， C=90， PB=， ABP 的周长为：AP+PB+AB=2+5+=7 （2）如图 2，若 P 在边 AC 上时，BC=CP=3cm， 此时用的时间为 3s， BCP 为等腰三角形； 若 P 在 AB 边上时，有三种情况： i）如图 3，若

19、使 BP=CB=3cm，此时 AP=2cm，P 运动的路程为 2+4=6cm， 第 10 页 共 10 页 所以用的时间为 6s， BCP 为等腰三角形； ii）如图 4，若 CP=BC=3cm，过 C 作斜边 AB 的高，根据面积法求得高为 2.4cm， 作 CDAB 于点 D， 在 Rt PCD 中，PD=1.8， 所以 BP=2PD=3.6cm， 所以 P 运动的路程为 93.6=5.4cm， 则用的时间为 5.4s， BCP 为等腰三角形； ）如图 5，若 BP=CP，此时 P 应该为斜边 AB 的中点，P 运动的路程为 4+2.5=6.5cm 则所用的时间为 6.5s， BCP 为等腰三角形； 综上所述，当 t 为 3s、5.4s、6s、6.5s 时， BCP 为等腰三角形 （3）如图 6，当 P 点在 AC 上，Q 在 AB 上，则 PC=t，BQ=2t3， 直线 PQ 把 ABC 的周长分成相等的两部分， t+2t3=3， t=2； 如图 7，当 P 点在 AB 上，Q 在 AC 上，则 AP=t4，AQ=2t8， 直线 PQ 把 ABC 的周长分成相等的两部分， t4+2t8=6， t=6， 当 t 为 2 或 6 秒时，直线 PQ 把 ABC 的周长分成相等的两部分