北京四中数学中考总复习：特殊的四边形--知识讲解（提高）

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1、 第 1 页 共 10 页 中考总复习：中考总复习：特殊的特殊的四边形四边形知识讲解知识讲解（提高提高） 【考纲要求】考纲要求】 1. 会识别矩形、菱形、正方形以及梯形； 2.掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质，会用矩形、菱形、正方形的性质和判定解决问题 3.掌握梯形的概念以及了解等腰梯形、直角梯形的性质和判定，会用性质和判定解决实际问题 【知识网络】【知识网络】 【考点梳理】【考点梳理】 考考点一、点一、几种特殊四边形性质、判定几种特殊四边形性质、判定 四边形 性 质 判 定 边 角 对角线 矩形 对边平行 且相等 四个角是直 角 相等且互相平分 有一组邻边相等的平行四边形是菱 形；

2、四条边都相等的四边形是菱形； 对角线互相垂直的平行四边形是菱 形 . 中 心、 轴对 称图 形 菱形 四条边相 等 对角相等， 邻角互补 垂直且互相平 分，每一条对角 线平分一组对角 有一个角是直角的平行四边形是矩 形； 有三个角是直角的四边形是矩形； 对角线相等的平行四边形是矩形 中心 对称 图形 正方形 四条边相 等 四个角是直 角 相等、垂直、平 分，并且每一条 对角线平分一组 对角 1、邻边相等的矩形是正方形 2、对角线垂直的矩形是正方形 3、有一个角是直角的菱形是正方形 4、对角线相等的菱形是正方形 中 心、 轴对 称 等腰梯形 两底平 行，两腰 相等 同一底上的 两个角相等 相等

3、1、两腰相等的梯形是等腰梯形； 2、 在同一底上的两个角相等的梯形是 等腰梯形； 3、对角线相等的梯形是等腰梯形. 轴对 称图 形 【要点诠释】【要点诠释】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们具有平行四边形的一切性质. 第 2 页 共 10 页 考点二考点二、中点四边形相关问题中点四边形相关问题 1.1. 中点四边形的概念：中点四边形的概念：把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形 2.2. 若中点四边形为矩形，则原四边形满足条件对角线互相垂直； 若中点四边形为菱形，则原四边形满足条件对角线相等； 若中点四边形为正方形，则原四边形满足条件对角线互相垂直且相等 【要点诠

4、释】【要点诠释】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定 考点三、考点三、重心重心 1.线段的中点是线段的重心； 三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心；三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中 点的距离的 2 倍. 平行四边形对角线的交点是平行四边形的重心。 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、特殊的平行四边形特殊的平行四边形的应用的应用 1. （2012湛江） 如图， 设四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形， 以对角线 AC 为边作第二个正方形 ACEF、 再以对角线 AE 为边作笫三个正方形 AEGH，如此下去若正方形 ABCD 的边长记为 a1，按上述

5、方法所作 的正方形的边长依次为 a2，a3，a4，an，则 an=_ 【思路点拨】求 a2的长即 AC 的长，根据直角ABC 中 AB 2+BC2=AC2可以计算，同理计算 a 3、a4由求出的 a2=2a1，a3=2a2，an=2an-1=（2） n-1，可以找出规律，得到第 n 个正方形边长的表达式 【答案】 （2） n-1. 【解析】a2=AC，且在直角ABC 中，AB 2+BC2=AC2， a2=2a1=2，同理 a3=2a2=2，, a4=2a3=22， 由此可知：an=2an-1=（2） n-1 故答案为： （2） n-1. 【总结升华】考查了正方形的性质，以及勾股定理在直角三角形

6、中的运用，考查了学生找规律的能力， 本题中找到 an的规律是解题的关键 举一反三：举一反三： 【变式变式】(2011 德州)长为 1，宽为 a 的矩形纸片（1 2 1 a） ，如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形 宽度的正方形（称为第一次操作） ；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽 第 3 页 共 10 页 度的正方形（称为第二次操作） ；如此反复操作下去若在第 n 此操作后，剩下的矩形为正方形，则 操作终止当 n=3 时，a 的值为_ 【答案】 3 5 或 3 4 . 2 （2015 秋宝安区校级期中）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AC=

7、6，BD=8， 点 P 是 AC 延长线上的一个动点，过点 P 作 PEAD，垂足为 E，作 CD 延长线的垂线，垂足为 E，则|PE PF|= 【思路点拨】延长 BC 交 PE 于 G，由菱形的性质得出 ADBC，OA=OC= AC=3，OB=OD= BD=4， ACBD，ACB=ACD，由勾股定理求出 AD，由对顶角相等得出PCF=PCG，由菱形的面积的 两种计算方法求出 EG，由角平分线的性质定理得出 PG=PF，得出 PEPF=PEPG=EG 即可 【答案】4.8 【解析】解：延长 BC 交 PE 于 G，如图所示： 四边形 ABCD 是菱形， ADBC，OA=OC= AC=3，OB=

8、OD= BD=4，ACBD，ACB=ACD， AD=5，PCF=PCG， 菱形的面积=ADEG= ACBD= 68=24， EG=4.8， PEAD， PEBG， PFDF， PG=PF， PEPF=PEPG=EG=4.8 故答案为：4.8 第一次操作 第二次操作 第 4 页 共 10 页 【总结升华】本题考查了菱形的性质、勾股定理、角平分线的性质定理、菱形面积的计算等知识；本题 综合性强，有一定难度，通过作辅助线证出 PG=PF 是解决问题的关键 类型类型二二、梯形的应用梯形的应用 3 （2011资阳）如图，在梯形 ABCD 中，已知 ADBC，B=90，AB=7，AD=9，BC=12，在线

9、段 BC 上任取一点 E，连接 DE，作 EFDE，交直线 AB 于点 F （1）若点 F 与 B 重合，求 CE 的长； （2）若点 F 在线段 AB 上，且 AF=CE，求 CE 的长； （3）设 CE=x，BF=y，写出 y 关于 x 的函数关系式（直接写出结果可） 【思路点拨】 （1）先证明四边形 ABED 为矩形，CE=BC-AD，继而即可求出答案； （2）设 AF=CE=x，则 HE=x-3，BF=7-x，再通过证明BEFHDE，根据对应边成比例，然后代入求解 即可； （3）综合（1） （2）两种情况，然后代入求出解析式即可 【答案与解析】 （1）F 与 B 重合，且 EFDE，D

10、EBC， ADBC，B=90，A=B=90， 四边形 ABED 为矩形， BE=AD=9， CE=12-9=3 （2）作 DHBC 于 H，则 DH=AB=7，CH=3 设 AF=CE=x， F 在线段 AB 上， 点 E 在线段 BH 上，CH=3，CE=x， HE=x-3，BF=7-x， BEF+90+HED=180，HDE+90+HED=180， BEF=HDE， 第 5 页 共 10 页 又B=DHE=90， BEFHDE BF HE = BE DH ， 7 3 x x =127 x ， 整理得 x 2-22x+85=0， （x-5） （x-17）=0， x=5 或 17， 经检验，它

11、们都是原方程的解，但 x=17 不合题意，舍去 x=CE=5 （3）作 DHBC 于 H， ADBC，B=90，AB=7，AD=9，BC=12， CE=x，BF=y， 则 HE=x-3，BF=y， 当 3x12 时， 易证BEFHDE， 12 y x = 3 7 x ， y=- 1 7 x 2+15 7 x- 36 7 ， 当 0x3， 易证BEFHDE， 则 HE=3-x，BF=y， 12 y x = 3 7 x ， y= 1 7 x 215 7 x 36 7 【总结升华】本题考查直角梯形的知识，同时考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，是 一道小的综合题，注意对这些知识的熟练掌握

12、并灵活应用 举一反三：举一反三： 【变式变式】 （2011台湾）如图为菱形 ABCD 与正方形 EFGH 的重迭情形，其中 E 在 CD 上，AD 与 GH 相交于 I 点，且 ADHE若A=60，且 AB=7，DE=4，HE=5，则梯形 HEDI 的面积为（ ）. 6 3 8 3 10-2 3 10+2 3 【答案】B. 第 6 页 共 10 页 类型类型三三、特殊四边形与其他知识结合的综合运用特殊四边形与其他知识结合的综合运用 4.（2014 秋莒南县期末）正方形 ABCD 边长为 2，点 E 在对角线 AC 上，连接 DE，将线段 DE 绕 点 D 顺时针旋转 90至 DF 的位置，连接

13、 AF，EF （1）证明：ACAF； （2）设 AD 2=AEAC，求证：四边形 AEDF 是正方形； （3）当 E 点运动到什么位置时，四边形 AEDF 的周长有最小值，最小值是多少？ 【思路点拨】 （1）由已知条件及正方形的性质易证CDEADF，所以可得ECD=DAF=45，CE=AF， 进而可得CAF=90，即 ACAF； （2）若 AD 2=AEAC，再由条件CAD=EAD=45，易证EADDAC，所以AED=ADC=90，即有 AED=EDF=EAF=90，又 DE=DF，继而证明四边形 AEDF 为正方形； （3）当 E 点运动到 AC 中点位置时，四边形 AEDF 的周长有最小值

14、，由（2）得 CE=AF，则有 AE+AF=AC=2， 又 DE=DF，所以四边形 AEDF 的周长 l=AE+AF+DE+DF=4+2DE，则 DE 最小四边形的周长最小，问题得解 【答案与解析】 解： （1）四边形 ABCD 是正方形， CDA=90，CD=AD，ED=FD，CAD=45， 将线段 DE 绕点 D 顺时针旋转 90至 DF 的位置， EDF=90， CDE=ADF， 在CDE 和ADF 中， ， CDEADF， ECD=DAF=45，CE=AF， CAF=90， 即 ACAF； （2）AD 2=AEAC， CAD=EAD=45， EADDAC， AED=ADC=90，即有A

15、ED=EDF=EAF=90，又 DE=DF， 四边形 AEDF 为正方形 （3）当 E 点运动到 AC 中点位置时，四边形 AEDF 的周长有最小值， 理由如下： 由（2）得 CE=AF，则有 AE+AF=AC=2， 又 DE=DF，则当 DE 最小时，四边形 AEDF 的周长 l=AE+AF+DE+DF=4+2DE 最小， 第 7 页 共 10 页 当 DEAC 时，E 点运动到 AC 中点位置时，此时 DE=2 四边形 AEDF 的周长最小值为 8 【总结升华】本题用到的知识点有正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质 以及四边形周长最小值的问题、动点问题，题目的综合性

16、较强，难度中等，是一道不错的中考题压轴题 5 （2012自贡）如图所示，在菱形 ABCD 中，AB=4，BAD=120，AEF 为正三角形，点 E、F 分 别在菱形的边 BC、CD 上滑动，且 E、F 不与 B、C、D 重合 （1）证明不论 E、F 在 BC、CD 上如何滑动，总有 BE=CF； （2）当点 E、F 在 BC、CD 上滑动时，分别探讨四边形 AECF 和CEF 的面积是否发生变化？如果不变， 求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值 【思路点拨】 （1）先求证 AB=AC，进而求证ABC、ACD 为等边三角形，得4=60，AC=AB 进而求证 ABEACF，即可求得 BE=

17、CF； （2） 根据ABEACF可得 ABES = ACFS ,故根据S四边形 AECF = AECS + ACFS = AECS + ABES = ABCS 即可解题；当正三角形 AEF 的边 AE 与 BC 垂直时，边 AE 最短AEF 的面积会随着 AE 的变化而变化， 且当 AE 最短时，正三角形 AEF 的面积会最小，又根据 CEFS =S四边形 AECF- AEFS ，则CEF 的面积就会最 大 【答案与解析】 （1）证明：连接 AC，如下图所示， 四边形 ABCD 为菱形，BAD=120，1+EAC=60，3+EAC=60， 1=3， BAD=120， ABC=60， ABC 和

18、ACD 为等边三角形， 4=60，AC=AB， 在ABE 和ACF 中， 13 4 ABAC ABC ， ABEACF（ASA） BE=CF； 第 8 页 共 10 页 （2）解：四边形 AECF 的面积不变，CEF 的面积发生变化 理由：由（1）得ABEACF， 则 SABE=SACF， 故 S四边形 AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC，是定值， 作 AHBC 于 H 点，则 BH=2， S四边形 AECF=SABC= 1 2 BCAH= 1 2 BC 22 ABBH=4 3， 由“垂线段最短”可知：当正三角形 AEF 的边 AE 与 BC 垂直时，边 AE 最短 故

19、AEF 的面积会随着 AE 的变化而变化，且当 AE 最短时，正三角形 AEF 的面积会最小， 又 SCEF=S四边形 AECF-SAEF，则此时CEF 的面积就会最大 SCEF=S四边形 AECF-SAEF=4 3- 1 2 2 3 22 (2 3)( 3)=3 【总结升华】考查了菱形的性质、全等三角形判定与性质及三角形面积的计算，求证ABEACF 是解 题的关键，有一定难度 6.（2012苏州）如图，正方形 ABCD 的边 AD 与矩形 EFGH 的边 FG 重合，将正方形 ABCD 以 1cm/s 的速度沿 FG 方向移动，移动开始前点 A 与点 F 重合，在移动过程中，边 AD 始终与

20、边 FG 重合，连接 CG，过点 A 作 CG 的平行线交线段 GH 于点 P，连接 PD已知正方形 ABCD 的边长为 1cm，矩形 EFGH 的边 FG，GH 的长分别为 4cm，3cm，设正方形移动时间为 x（s） ，线段 GP 的长为 y（cm） ，其中 0x 2.5 （1）试求出 y 关于 x 的函数关系式，并求当 y=3 时相应 x 的值； （2）记DGP 的面积为 S1，CDG 的面积为 S2试说明 S1-S2是常数； （3）当线段 PD 所在直线与正方形 ABCD 的对角线 AC 垂直时，求线段 PD 的长 【思路点拨】 （1）根据题意表示出 AG、GD 的长度，再由GCDAP

21、G，利用对应边成比例可解出 x 的 值 （2）利用（1）得出的 y 与 x 的关系式表示出 S1、S2，然后作差即可 （3）延长 PD 交 AC 于点 Q，然后判断DGP 是等腰直角三角形，从而结合 x 的范围得出 x 的值，在 Rt DGP 中，解直角三角形可得出 PD 的长度 【答案与解析】 （1）CGAP，GCDAPG， CD GD = PG GA ， GF=4，CD=DA=1，AF=x， 第 9 页 共 10 页 GD=3-x，AG=4-x， 1 3x = 4 y x ，即 y= 4 3 x x ， y 关于 x 的函数关系式为 y= 4 3 x x ， 当 y=3 时， 4 3 x

22、x =3，解得 x=2.5， 经检验的 x=2.5 是分式方程的根故 x 的值为 2.5； （2）S1= 1 2 GPGD= 1 2 4 3 x x （3-x）= 4 2 x ， S2= 1 2 GDCD= 1 2 （3-x）1= 3 2 x ， S1-S2= 4 2 x - 3 2 x = 1 2 即为常数； （3）延长 PD 交 AC 于点 Q 正方形 ABCD 中，AC 为对角线， CAD=45， PQAC， ADQ=45， GDP=ADQ=45 DGP 是等腰直角三角形，则 GD=GP， 3-x= 4 3 x x ， 化简得：x 2-5x+5=0 解得：x= 55 2 ， 0x2.5，

23、 x= 55 2 ， 第 10 页 共 10 页 在 RtDGP 中，PD= o cos45 GD =2（3-x）= 2+ 10 2 【总结升华】此题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质及解直角三角形的知识，解答本题的关键是 用移动的时间表示出有关线段的长度，然后运用所学知识进行求解 举一反三：举一反三： 【变式变式】如图，E 是矩形 ABCD 边 BC 的中点，P 是 AD 边上一动点，PFAE，PHDE，垂足分别为 F，H （1）当矩形 ABCD 的长与宽满足什么条件时，四边形 PHEF 是矩形？请予以证明； （2）在（1）中，动点 P 运动到什么位置时，矩形 PHEF 变为正方形？为什么？ 【答案】 （1）AD=2AB 证明：四边形 ABCD 是矩形， AD=BC，AB=CD； E 是 BC 的中点， AB=BE=EC=CD； 则ABE、DCE 是等腰 Rt； AEB=DEC=45； AED=90； 四边形 PFEH 中，PFE=FEH=EHP=90，故四边形 PFEH 是矩形； （2）点 P 是 AD 的中点时，矩形 PHEF 变为正方形；理由如下： 由（1）可得BAE=CDE=45； FAP=HDP=45； 又AFP=PHD=90，AP=PD， RtAFPRtDHP； PF=PH； 在矩形 PFEH 中，PF=PH，故 PFEH 是正方形.