北京四中数学中考总复习:平面直角坐标系与一次函数、反比例函数--知识讲解(基础)
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1、第 1 页 共 14 页 中考总复习中考总复习:平面直角坐标系与一次函数、反比例函数平面直角坐标系与一次函数、反比例函数 -知识讲解(基础)知识讲解(基础) 【考纲要求】【考纲要求】 结合实例,了解常量、变量和函数的概念,体会“变化与对应”的思想; 会确定函数自变量的取值范围,即能用三种方法表示函数,又能恰当地选择图象去描述两个 变量之间的关系; 理解正比例函数、反比例函数和一次函数的概念,会画他们的图象,能结合图象讨论这些函 数的基本性质,能利用这些函数分析和解决有关的实际问题. 【知识网络】【知识网络】 【考点梳理】【考点梳理】 考考点一、点一、平面直角坐标系平面直角坐标系 1 1. .平
2、面直角坐标系平面直角坐标系 平面内两条有公共原点且互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系,坐标平面内一点对应的有序实 数对叫做这点的坐标.在平面内建立了直角坐标系,就可以把“形” (平面内的点)和“数” (有序实数 对)紧密结合起来. 2 2各象限内点的坐标的特点、坐标轴上点的坐标的特点各象限内点的坐标的特点、坐标轴上点的坐标的特点 点 P(x,y)在第一象限0, 0yx; 第 2 页 共 14 页 点 P(x,y)在第二象限0, 0yx; 点 P(x,y)在第三象限0, 0yx; 点 P(x,y)在第四象限0, 0yx; 点 P(x,y)在 x 轴上0 y,x 为任意实数; 点 P(x,y)在
3、y 轴上0 x,y 为任意实数; 点 P(x,y)既在 x 轴上,又在 y 轴上x,y 同时为零,即点 P 坐标为(0,0). 3 3. .两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点 P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x 与 y 相等; 点 P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x 与 y 互为相反数. 4 4. .和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同; 位于平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同. 5 5. .关于关于 x x 轴、轴、y y 轴或原点对称的点的坐标的特征轴或
4、原点对称的点的坐标的特征 点 P 与点 p关于 x 轴对称横坐标相等,纵坐标互为相反数; 点 P 与点 p关于 y 轴对称纵坐标相等,横坐标互为相反数; 点 P 与点 p关于原点对称横、纵坐标均互为相反数. 6 6. .点点 P(x,y)P(x,y)到坐标到坐标轴及原点的距离轴及原点的距离 (1)点 P(x,y)到 x 轴的距离等于y; (2)点 P(x,y)到 y 轴的距离等于x; (3)点 P(x,y)到原点的距离等于 22 yx . 要点诠释:要点诠释: (1)注意:x 轴和 y 轴上的点,不属于任何象限; (2)平面内点的坐标是有序实数对,当ba 时, (a,b)和(b,a)是两个不同
5、点的坐标. 考考点二、函数点二、函数 1 1. .函数的概念函数的概念 设在某个变化过程中有两个变量 x、y,如果对于 x 在某一范围内的每一个确定的值,y 都有唯一确 定的值与它相对应,那么就说 y 是 x 的函数,x 叫做自变量. 2 2. .自变量的取值范围自变量的取值范围 对于实际问题, 自变量取值必须使实际问题有意义.对于纯数学问题, 自变量取值应保证数学式子有 意义. 3 3表示方法表示方法 解析法;列表法;图象法. 4 4画函数图象画函数图象 (1)列表:列表给出自变量与函数的一些对应值; (2)描点:以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点; (3)连线:按照自变量由小
6、到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来. 要点诠释:要点诠释: (1)在某一变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量,数值保持不变的量叫做常量; (2)确定自变量取值范围的原则:使代数式有意义;使实际问题有意义. 考考点点三三、几种基本函数几种基本函数(定义图象性质)(定义图象性质) 1.1.正比例函数及其图象性质正比例函数及其图象性质 第 3 页 共 14 页 (1)正比例函数:如果 y=kx(k 是常数,k0),那么 y 叫做 x 的正比例函数 (2)正比例函数 y=kx( k0)的图象: 过(0,0) , (1,K)两点的一条直线 (3)正比例函数 y=kx(k0)的性质 当 k0 时
7、,图象经过第一、三象限,y 随 x 的增大而增大; 当 k0 时,图象经过第二、四象限,y 随 x 的增大而减小 . 2.2.一次函数及其图象性质一次函数及其图象性质 (1)一次函数:如果 y=kx+b(k,b 是常数,k0),那么 y 叫做 x 的一次函数 (2)一次函数 y=kx+b(k0)的图象 (3)一次函数 y=kx+b(k0)的图象的性质 一次函数ykxb的图象是经过(0,b)点和)0 ,( k b 点的一条直线 当 k0 时,y 随 x 的增大而增大; 当 k0 k0 时,函数图像的两个分支分别 在第一、三象限.在每个象限内,y 随 x 的增大而减小. x 的取值范围是 x0,
8、y 的取值范围是 y0; 当 k0 时,函数图像的两个分支分别 在第二、四象限.在每个象限内,y 随 x 的增大而增大. (5)反比例函数解析式的确定: 利用待定系数法(只需一对对应值或图象上一个点的坐标即可求出k) (6) “反比例关系”与“反比例函数” : 成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数 x k y 中的两个变量必成反比例关系. 要点诠释:要点诠释: (1)用待定系数法求解析式(列方程组求解) ; (2)利用一次(正比例)函数、反比例函数的图象求不等式的解集. 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、坐标平面有关坐标平面有关的的计算计算 1 已知点 A(a,-5),B
9、(8,b),根据下列要求确定 a,b 的值. (1)A,B 两点关于 y 轴对称; (2)A,B 两点关于原点对称; (3)ABx 轴; (4)A,B 两点都在一、三象限的角平分线上 【思路点拨】 (1)关于 y 轴对称,y 不变,x 变为相反数; (2)关于原点对称,x 变为相反数,y 变为相反数; (3)ABx 轴,即两点的纵坐标不变即可; (4)在一、三象限两坐标轴夹角的平分线上的点的横纵坐标相等,即可得出 a,b 【答案与解析】 (1)点 A(a,-5),B(8,b)两点关于 y 轴对称,则 a-8 且 b-5 (2)点 A(a,-5),B(8,b)两点关于原点对称,则 a-8 且 b
10、5 (3)ABx 轴,则 a8 且 b-5 (4)A,B 两点都在一、三象限的角平分线上,则 a-5 且 b8 【总结升华】 运用对称点的坐标之间的关系是解答本题的关键在一、三象限角平分线上的点的横纵 坐标相等,在二、四象限角平分线上的点的横纵坐标互为相反数 举一反三:举一反三: 【变式变式】已知点 A 的坐标为(-2,-1) (1)如果 B 为 x 轴上一点,且10AB ,求 B 点的坐标; (2)如果 C 为 y 轴上的一点,并且 C 到原点的距离为 3,求线段 AC 的长; (3)如果 D 为函数 y2x-1 图象上一点,5AD ,求 D 点的坐标 【答案】 第 6 页 共 14 页 (
11、1)设 B(x,0),由勾股定理得 22 (2)(0 1)10ABx解得 x1-5,x21 经检验 x1-5,x21 均为原方程的解 B 点的坐标为(-5,0)或(1,0) (2)设 C(0,y), OC3, C 点的坐标为(0,3)或(0,-3) 由勾股定理得 22 ( 2)(3 1)2 5AC ;或2 2AC (3)设 D(x, 2x-1), AD5, 由勾股定理得 22 (2)(21 1)5xx 解得 1 1 5 x , 2 1x 经检验, 1 1 5 x , 2 1x 均为原方程的解 D 点的坐标为( 1 5 , 3 5 )或(-1,-3) 2已知某一函数图象如图所示 (1)求自变量
12、x 的取值范围和函数 y 的取值范围; (2)求当 x0 时,y 的对应值; (3)求当 y0 时,x 的对应值; (4)当 x 为何值时,函数值最大; (5)当 x 为何值时,函数值最小; (6)当 y 随 x 的增大而增大时,求 x 的取值范围; (7)当 y 随 x 的增大而减小时,求 x 的取值范围 【思路点拨】 本题主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用要能根据函数图象的性质和图 象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件,结合实际意义得到正确的结论. 【答案与解析】 (1)x 的取值范围是-4x4,y 的取值范围是-2y4; (2)当 x0 时,y3; (3)当 y
13、0 时,x-3 或-1 或 4; (4)当 x1 时,y 的最大值为 4; (5)当 x-2 时,y 的最小值为-2; (6)当-2x1 时,y 随 x 的增大而增大; (7)当-4x-2 或 1x4 时,y 随 x 的增大而减小 【总结升华】本题主要是培养学生的识图能力 举一反三:举一反三: 【变式变式 1 1】下图是韩老师早晨出门散步时,离家的距离 y 与时间 x 的函数图象若用黑点表示韩老师家 第 7 页 共 14 页 的位置,则韩老师散步行走的路线可能是( ) 【答案】理解题意,读图获取信息是关键,由图可知某段时间内韩老师离家距离是常数,联想到韩老师 是在家为圆心的弧上散步,分析四个选
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