北京四中数学中考冲刺：阅读理解型问题--知识讲解（基础）

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1、第 1 页 共 14 页 中考中考冲刺冲刺：阅读理解型问题阅读理解型问题知识讲解（基础知识讲解（基础） 【中考展望中考展望】 阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”，应该特别引起我们的重视. 它由两部分 组成：一是阅读材料；二是考查内容它要求学生根据阅读获取的信息回答问题提供的阅读材料主要 包括：一个新的数学概念的形成和应用过程，或一个新的数学公式的推导与应用，或提供新闻背景材料 等考查内容既有考查基础的，又有考查自学能力和探索能力等综合素质的这类问题一般文字叙述较 长，信息量较大，内容丰富，超越常规，源于课本，又高于课本，各种关系错综复杂，不仅能考查同学 们阅读题中文字获取信息的

2、能力，还能考查同学们获取信息后的抽象概括能力、建模能力、决策判断能 力等.同时，更能够综合考查同学们的数学意识和数学综合应用能力. 【方法点拨方法点拨】 题型特点：先给出一段材料，让学生理解，再设立新的数学概念，新概念的解答可以借鉴前面材料 的结论或思想方法 解题策略：从给的材料入手，通过理解分析本材料的内容，捕捉已知材料的信息，灵活应用这些信 息解决新材料的问题 解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、 结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后依题意进行分析、比较、综合、抽象 和概括，或用归纳、演绎、类比等进行计算或推理论证，并

3、能准确地运用数学语言阐述自己的思想、方 法、观点展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题. 阅读理解题一般可分为如下几种类型： (1)方法模拟型通过阅读理解，模拟提供材料中所述的过程方法，去解决类似的相关问题； (2)判断推理型通过阅读理解，对提供的材料进行归纳概括；按照对材料本质的理解进行推理， 作出解答； (3)迁移发展型从提供的材料中，通过阅读，理解其采用的思想方法，将其概括抽象成数学模 型去解决类同或更高层次的另一个相关命题 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、阅读试题提供新定义、新定理，解决新问题阅读试题提供新定义、新定理，解决新问题 1

4、阅读材料： 例：说明代数式 22 1(3)4xx 的几何意义，并求它的最小值 解： 22 1(3)4xx = 222 (0)1(3)2xx ， 如图，建立平面直角坐标系，点 P（x，0）是 x 轴上一点， 第 2 页 共 14 页 则 2 (0)1x可以看成点 P 与点 A（0，1）的距离， 22 (3)2x可以看成点 P 与点 B（3，2）的距 离，所以原代数式的值可以看成线段 PA 与 PB 长度之和，它的最小值就是 PA+PB 的最小值 设点 A 关于 x 轴的对称点为 A，则 PA=PA，因此，求 PA+PB 的最小值，只需求 PA+PB 的最小值， 而点 A、 B 间的直线段距离最短

5、， 所以 PA+PB 的最小值为线段 AB 的长度 为此， 构造直角ACB， 因为 AC=3，CB=3，所以 AB=32，即原式的最小值为 32 根据以上阅读材料，解答下列问题： （1）代数式 22 (1)1(2)9xx 的值可以看成平面直角坐标系中点 P（x，0）与点 A（1，1） 、 点 B 的距离之和 （填写点 B 的坐标） （2）代数式 22 491237xxx的最小值为 【思路点拨】 （1）先把原式化为 222 (1)1(2)3xx 的形式，再根据题中所给的例子即可得出结论； （2）先把原式化为 222 (0)7(6)1xx的形式，故得出所求代数式的值可以看成平面直角坐 标系中点 P

6、（x，0）与点 A（0，7） 、点 B（6，1）的距离之和，然后在坐标系内描出各点，利用勾股定 理得出结论即可 【答案与解析】 解： （1）原式化为 222 (1)1(2)3xx 的形式， 代数式 222 (1)1(2)3xx 的值可以看成平面直角坐标系中点 P（x，0）与点 A（1，1） 、点 B（2，3）的距离之和， 故答案为（2，3） ； （2）原式化为 222 (0)7(6)1xx的形式， 所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点 P（x，0）与点 A（0，7） 、点 B（6，1）的距离之和， 如图所示：设点 A 关于 x 轴的对称点为 A，则 PA=PA， PA+PB 的最小值，只需

7、求 PA+PB 的最小值，而点 A、B 间的直线段距离最短， PA+PB 的最小值为线段 AB 的长度， A（0，7） ，B（6，1） A（0，-7） ，AC=6，BC=8， AB= 2222 68ACBC=10， 第 3 页 共 14 页 故答案为：10 【总结升华】 本题考查的是轴对称最短路线问题，解答此题的关键是根据题中所给给的材料画出图形，再利 用数形结合求解 类型类型二二、阅读试题信息，归纳总结提炼数学思想方法阅读试题信息，归纳总结提炼数学思想方法 2阅读材料： （1）对于任意两个数 a、b 的大小比较，有下面的方法： 当 a-b0 时，一定有 ab； 当 a-b=0 时，一定有 a

8、=b； 当 a-b0 时，一定有 ab 反过来也成立因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法” （2）对于比较两个正数 a、b 的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较： a 2-b2=（a+b） （a-b） ，a+b0， （a 2-b2）与（a-b）的符号相同. 当 a 2-b20 时，a-b0，得 ab； 当 a 2-b2=0 时，a-b=0，得 a=b； 当 a 2-b20 时，a-b0，得 ab. 解决下列实际问题： （1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了 3 张 A4 纸，7 张 B5 纸；李明同学用了 2 张 A4 纸，8 张 B5 纸设每张 A4 纸的面积

9、为 x，每张 B5 纸的面积为 y，且 xy，张丽同学的用纸总面积为 W1，李明同学的用纸总面积为 W2回答下列问题： W1= （用 x、y 的式子表示） ； W2= （用 x、y 的式子表示） ； 请你分析谁用的纸面积更大 （2）如图 1 所示，要在燃气管道 l 上修建一个泵站，分别向 A、B 两镇供气，已知 A、B 到 l 的距离分 别是 3km、4km（即 AC=3km，BE=4km） ，AB=xkm，现设计两种方案： 方案一：如图 2 所示，APl 于点 P，泵站修建在点 P 处，该方案中管道长度 a1=AB+AP 方案二：如图 3 所示，点 A与点 A 关于 l 对称，AB 与 l

10、相交于点 P，泵站修建在点 P 处，该方案中 管道长度 a2=AP+BP 在方案一中，a1= km（用含 x 的式子表示） ； 在方案二中，a2= km（用含 x 的式子表示） ； 请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二 【思路点拨】 第 4 页 共 14 页 （1）根据题意得出 3x+7y 和 2x+8y，即得出答案；求出 W1-W2=x-y，根据 x 和 y 的大小比较即可； （2）把 AB 和 AP 的值代入即可；过 B 作 BMAC 于 M，求出 AM，根据勾股定理求出 BM再根据勾股 定理求出 BA，即可得出答案； 求出 a1 2-a 2 2=6x-39，分别求出 6

11、x-390，6x-39=0，6x-390，即可得出答案 【答案与解析】 （1）解：W1=3x+7y，W2=2x+8y， 故答案为：3x+7y，2x+8y 解：W1-W2=（3x+7y）-（2x+8y）=x-y， xy， x-y0， W1-W20， 得 W1W2， 所以张丽同学用纸的总面积更大 （2）解：a1=AB+AP=x+3， 故答案为：x+3 解：过 B 作 BMAC 于 M， 则 AM=4-3=1， 在ABM 中，由勾股定理得：BM 2=AB2-12=x2-1， 在AMB 中，由勾股定理得：AP+BP=AB= 222 48AMBMx， 故答案为： 2 48x 解：a1 2-a 2 2=（

12、x+3）2-（2 48x ） 2=x2+6x+9-（x2+48）=6x-39， 当 a1 2-a 2 20（即 a 1-a20，a1a2）时，6x-390，解得 x6.5， 当 a1 2-a 2 2=0（即 a 1-a2=0，a1=a2）时，6x-39=0，解得 x=6.5， 当 a1 2-a 2 20（即 a 1-a20，a1a2）时，6x-390，解得 x6.5， 综上所述， 当 x6.5 时，选择方案二，输气管道较短， 当 x=6.5 时，两种方案一样， 当 0x6.5 时，选择方案一，输气管道较短 【总结升华】 第 5 页 共 14 页 本题考查了勾股定理，轴对称最短路线问题，整式的运

13、算等知识点的应用，通过做此题培养了 学生的计算能力和阅读能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目 举一反三：举一反三： 【变式变式】 如图所示， 正方形 ABCD 和正方形 EFGH 的边长分别为2 2和2， 对角线 BD、 FH 都在直线l上， O1、O2分别是正方形的中心，线段 O1O2的长叫做两个正方形的中心距当中心 O 在直线 l上平移时，正 方形 EFGH 也随之平移，在平移时正方形 EFGH 的形状、大小没有改变 （1）计算：O1D=_，O2F=_； （2）当中心 O2在直线 l上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距 O1 O2 =_. （3）随着中心 O2在直线 l上的

14、平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化？并求出相对应的中心 距的值或取值范围 （不必写出计算过程） 【答案】 （1）O1D=2，O2F=1； （2）O1 O2 =3； （3）当 O1 O23 或 0O1 O21 时，两个正方形无公共点； 当 O1 O2=1 时，两个正方形有无数个公共点； 当 1O1 O23 时，两个正方形有 2 个公共点 类型类型三三、阅读相关信息，通过归纳探索，发现规律，得出结论阅读相关信息，通过归纳探索，发现规律，得出结论 3在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题 如图（1） ，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向 A、B 两镇供气泵站修在管道的什么地方，

15、可使所 用的输气管线最短？ 你可以在 l 上找几个点试一试，能发现什么规律？ 第 6 页 共 14 页 聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法.他把管道l看成一条直线（图（2） ） ， 问题就转化为，要在直线 l 上找一点 P，使 AP 与 BP 的和最小.他的做法是这样的： 作点 B 关于直线l的对称点 B 连接 AB交直线l于点 P，则点 P 为所求 请你参考小华的做法解决下列问题如图在ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 边的中点，BC=6，BC 边上的高为 4，请你在 BC 边上确定一点 P，使PDE 的周长最小 （1）在图中作出点 P（保留作图痕迹，不写作法）

16、 （2）请直接写出PDE 周长的最小值： 【思路点拨】 （1）根据提供材料 DE 不变，只要求出 DP+PE 的最小值即可，作 D 点关于 BC 的对称点 D，连接 DE， 与 BC 交于点 P，P 点即为所求； （2）利用中位线性质以及勾股定理得出 DE 的值，即可得出答案 【答案与解析】 解： （1）如图，作 D 点关于 BC 的对称点 D，连接 DE，与 BC 交于点 P， P 点即为所求； （2）点 D、E 分别是 AB、AC 边的中点， DE 为ABC 中位线， BC=6，BC 边上的高为 4， 第 7 页 共 14 页 DE=3，DD=4， DE= 2222 34DE DD =5，

17、 PDE 周长的最小值为：DE+DE=3+5=8， 故答案为：8 【总结升华】 此题主要考查了利用轴对称求最短路径以及三角形中位线的知识，根据已知得出要求PDE 周长的 最小值，求出 DP+PE 的最小值是解题关键 举一反三：举一反三： 【变式变式】阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题： 1+2+3+100？经过研究，这个问题的一般性结论是 1+2+3+ 1 2 1 nnn ，其中是正整数.现在 我们来研究一个类似的问题：12+23+ 1nn ？ 观察下面三个特殊的等式： 210321 3 1 21 321432 3 1 32 432543 3 1 43 将这三个等式的两边

18、相加，可以得到 12+23+34 20543 3 1 读完这段材料，请你思考后回答： 1011003221_； 1 22 3(1)n n _； 21432321nnn_. （只需写出结果，不必写中间的过程） 【答案】 343400(或 102101100 3 1 ) 21 3 1 nnn 321 4 1 nnnn 每相邻两个自然数相乘再求和时可以发现结果总是 21 3 1 nnn ，但当每相邻三个自然数相乘再求和 时就成为 321 4 1 nnnn 了. 第 8 页 共 14 页 类型类型四四、阅读试题信息，借助已有数学思想方法解决新问题阅读试题信息，借助已有数学思想方法解决新问题 4已知：如

19、图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，B=90，AD=2，BC=6，AB=3E 为 BC 边上一点， 以 BE 为边作正方形 BEFG，使正方形 BEFG 和梯形 ABCD 在 BC 的同侧 （1）当正方形的顶点 F 恰好落在对角线 AC 上时，求 BE 的长； （2）将（1）问中的正方形 BEFG 沿 BC 向右平移，记平移中的正方形 BEFC 为正方形 BEFG，当点 E 与 点 C 重合时停止平移设平移的距离为 t，正方形 BEFG 的边 EF 与 AC 交于点 M，连接 BD，BM，DM， 是否存在这样的 t，使BDM 是直角三角形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由； （

20、3）在（2）问的平移过程中，设正方形 BEFG 与ADC 重叠部分的面积为 S，请直接写出 S 与 t 之间 的函数关系式以及自变量 t 的取值范围 【思路点拨】 （1）首先设正方形 BEFG 的边长为 x，易得AGFABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得 BE 的长； （2）首先利用MECABC 与勾股定理，求得 BM，DM 与 BD 的平方，然后分别从若DBM=90， 则 DM 2=BM2+BD2，若DBM=90， 则 DM2=BM2+BD2，若BDM=90， 则 BM2=BD2+DM2去分析， 即可得到方程，解方程即可求得答案； （3）分别从当 0t 4 3 时，当 4 3 t2

21、 时，当 2t10 3 时，当10 3 t4 时去分析求解即可求得答 案 【答案与解析】 解： （1）如图， 设正方形 BEFG 的边长为 x， 则 BE=FG=BG=x， AB=3，BC=6， AG=AB-BG=3-x， GFBE， 第 9 页 共 14 页 AGFABC， AGGF ABBC ， 即 3 36 xx ， 解得：x=2， 即 BE=2. （2）存在满足条件的 t， 理由：如图，过点 D 作 DHBC 于 H， 则 BH=AD=2，DH=AB=3， 由题意得：BB=HE=t，HB=|t-2|，EC=4-t， EFAB， MECABC， MEEC ABBC ，即 4 36 MEt

22、 ， ME=2- 1 2 t， 在 RtBME 中，BM 2=ME2+BE2=22+（2-1 2 t） 2=1 4 t 2-2t+8， 在 RtDHB中，BD 2=DH2+BH2=32+（t-2）2=t2-4t+13， 过点 M 作 MNDH 于 N， 则 MN=HE=t，NH=ME=2- 1 2 t， DN=DH-NH=3-（2- 1 2 t）= 1 2 t+1， 在 RtDMN 中，DM 2=DN2+MN2=5 4 t 2+t+1， （）若DBM=90，则 DM 2=BM2+BD2， 即 5 4 t 2+t+1=（1 4 t 2-2t+8）+（t2-4t+13） ， 解得：t= 20 7

23、， （）若BMD=90，则 BD 2=BM2+DM2， 即 t 2-4t+13=（1 4 t 2-2t+8）+（5 4 t 2+t+1） ， 解得：t1=-3+17，t2=-3-17（舍去） ， t=-3+17； （）若BDM=90，则 BM 2=BD2+DM2， 即： 1 4 t 2-2t+8=（t2-4t+13）+（5 4 t 2+t+1） ， 此方程无解， 第 10 页 共 14 页 综上所述，当 t= 20 7 或-3+17时，BDM 是直角三角形； （3）如图，当 F 在 CD 上时，EF：DH=CE：CH， 即 2：3=CE：4， CE= 8 3 ， t=BB=BC-BE-EC=6

24、-2- 8 3 = 4 3 ， ME=2- 1 2 t， FM= 1 2 t， 当 0t 4 3 时，S=SFMN= 1 2 t 1 2 t= 1 4 t 2， 如图，当 G 在 AC 上时，t=2， EK=ECtanDCB=EC DH CH = 3 4 （4-t）=3- 3 4 t， FK=2-EK= 3 4 t-1， NL= 2 3 AD= 4 3 ， FL=t- 4 3 ， 当 4 3 t2 时，S=SFMN-SFKL= 1 4 t 2-1 2 （t- 4 3 ） （ 3 4 t-1）=- 1 8 t 2+t-2 3 ； 如图，当 G 在 CD 上时，BC：CH=BG：DH， 即 BC：

25、4=2：3， 解得：BC= 8 3 ， EC=4-t=BC-2= 2 3 ， t=10 3 ， BN= 1 2 BC= 1 2 （6-t）=3- 1 2 t， 第 11 页 共 14 页 GN=GB-BN= 1 2 t-1， 当 2t10 3 时，S=S梯形 GNMF-SFKL= 1 2 2（ 1 2 t-1+ 1 2 t）- 1 2 （t- 4 3 ） （ 3 4 t-1）=- 3 8 t 2+2t-5 3 ， 如图，当10 3 t4 时， BL= 3 4 BC= 3 4 （6-t） ，EK= 3 4 EC= 3 4 （4-t） ，BN= 1 2 BC= 1 2 （6-t）EM= 1 2 E

26、C= 1 2 （4-t） ， S=S梯形 MNLK=S梯形 BEKL-S梯形 BEMN=- 1 2 t+ 5 2 综上所述： 当 0t 4 3 时，S= 1 4 t 2， 当 4 3 t2 时，S=- 1 8 t 2+t-2 3 ； 当 2t10 3 时，S=- 3 8 t 2+2t-5 3 ， 当 10 3 t4 时，S=- 1 2 t+ 5 2 【总结升华】 此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、直角梯形的性质以及勾股定理等知识此题 难度较大，注意数形结合思想、方程思想与分类讨论思想的应用，注意辅助线的作法 5阅读理解 如图 1，ABC 中，沿BAC 的平分线 AB1折叠，剪掉重

27、复部分；将余下部分沿B1A1C 的平分线 A1B2折叠， 剪掉重复部分；将余下部分沿BnAnC 的平分线 AnBn+1折叠，点 Bn与点 C 重合，无论折叠多少次，只 要最后一次恰好重合，BAC 是ABC 的好角 小丽展示了确定BAC 是ABC 的好角的两种情形情形一：如图 2，沿等腰三角形 ABC 顶角BAC 的平 分线 AB1折叠，点 B 与点 C 重合；情形二：如图 3，沿BAC 的平分线 AB1折叠，剪掉重复部分；将余下 部分沿B1A1C 的平分线 A1B2折叠，此时点 B1与点 C 重合 探究发现: （1）ABC 中，B=2C，经过两次折叠，BAC 是不是ABC 的好角？ （填“是”

28、或“不 是”） （2）小丽经过三次折叠发现了BAC 是ABC 的好角，请探究B 与C（不妨设BC）之间的等量 关系根据以上内容猜想：若经过 n 次折叠BAC 是ABC 的好角，则B 与C（不妨设BC）之 间的等量关系为 第 12 页 共 14 页 应用提升 （3）小丽找到一个三角形，三个角分别为 15、60、105，发现 60和 105的两个角都是此三角 形的好角 请你完成，如果一个三角形的最小角是 4，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个 角均是此三角形的好角 【思路点拨】 （1）在小丽展示的情形二中，如图 3，根据三角形的外角定理、折叠的性质推知B=2C； （2）根据折叠的性质、

29、根据三角形的外角定理知A1A2B2=C+A2B2C=2C；根据四边形的外角定理知 BAC+2B-2C=180，根据三角形 ABC 的内角和定理知BAC+B+C=180，由可以求得 B=3C；利用数学归纳法，根据小丽展示的三种情形得出结论：B=nC； （3） 利用 （2） 的结论知B=nC， BAC 是ABC 的好角， C=nA， ABC 是ABC 的好角， A=nB， BCA 是ABC 的好角；然后三角形内角和定理可以求得另外两个角的度数可以是 88、88 【答案与解析】 解： （1）ABC 中，B=2C，经过两次折叠，BAC 是ABC 的好角； 理由如下：小丽展示的情形二中，如图 3， 沿B

30、AC 的平分线 AB1折叠， B=AA1B1； 又将余下部分沿B1A1C 的平分线 A1B2折叠，此时点 B1与点 C 重合， A1B1C=C； AA1B1=C+A1B1C（外角定理） ， B=2C； 故答案是：是； （2） B=3C； 如图所示， 在ABC 中， 沿BAC 的平分线 AB1折叠， 剪掉重复部分； 将余下部分沿B1A1C 的平分线 A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿B2A2C 的平分线 A2B3折叠，点 B2与点 C 重合，则BAC 是ABC 的好角 证明如下：根据折叠的性质知，B=AA1B1，C=A2B2C，A1 B1C=A1A2B2， 根据三角形的外角定理知，A1A2

31、B2=C+A2B2C=2C； 根据四边形的外角定理知，BAC+B+AA1B1-A1 B1C=BAC+2B-2C=180， 根据三角形 ABC 的内角和定理知，BAC+B+C=180， B=3C； 由小丽展示的情形一知，当B=C 时，BAC 是ABC 的好角； 由小丽展示的情形二知，当B=2C 时，BAC 是ABC 的好角； 第 13 页 共 14 页 由小丽展示的情形三知，当B=3C 时，BAC 是ABC 的好角； 故若经过 n 次折叠BAC 是ABC 的好角，则B 与C（不妨设BC）之间的等量关系为B=nC； （3）由（2）知，B=nC，BAC 是ABC 的好角， C=nA，ABC 是ABC

32、 的好角，A=nB，BCA 是ABC 的好角， 如果一个三角形的最小角是 4， 三角形另外两个角的度数是 4、172；8、168；16、160；44、132；88、88 【总结升华】 本题考查了翻折变换（折叠问题） 解答此题时，充分利用了三角形内角和定理、三角形外角定理 以及折叠的性质,难度较大 举一反三：举一反三： 【变式变式】阅读以下短文，然后解决下列问题： 如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶 点在矩形这边的对边上， 则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”. 如图 8所示， 矩形 ABEF 即为ABC 的“友好矩形”. 显然，当ABC 是钝

33、角三角形时，其“友好矩形”只有一个. (1) 仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形” ； (2) 如图，若ABC 为直角三角形，且C=90，在图中画出ABC 的所有“友好矩形” ，并比 较这些矩形面积的大小； (3) 若ABC 是锐角三角形，且 BCACAB，在图中画出ABC 的所有“友好矩形” ，指出其中周 长最小的矩形并加以证明. 【答案】 (1) 如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形 这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”. (2) 此时共有 2 个友好矩形，如图中的矩形 BC

34、AD、ABEF.易知， 矩形 BCAD、ABEF 的面积都等于ABC 面积的 2 倍，ABC 的“友好矩形”的面积相等. (3) 此时共有 3 个友好矩形，如图的矩形 BCDE、CAFG 及 ABHK，其中矩形 ABHK 的周长最小 . 第 14 页 共 14 页 证明如下： 易知，这三个矩形的面积相等，令其为 S. 设矩形 BCDE、CAFG 及 ABHK 的周长分别为 L1，L2，L3， ABC 的边长 BC=a，CA=b，AB=c， 则 L1= 2S a +2a，L2= 2S b +2b，L3= 2S c +2c . L1-L2=( 2S a +2a)-( 2S b +2b)=2(a-b) abS ab ， 而 abS，ab， L1-L20，即 L1L2 . 同理可得，L2L3 . L3最小，即矩形 ABHK 的周长最小.