北京四中数学中考总复习：多边形与平行四边形--知识讲解（提高）

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1、第 1 页 共 12 页 中考总复习：中考总复习：多边形与平行四边形多边形与平行四边形-知识讲解（知识讲解（提高提高） 【考纲要求】考纲要求】 1. 多边形 A：了解多边形及正多边形的概念；了解多边形的内角和与外角和公式；知道用任意一个正三角形、 正方形或正六边形可以镶嵌平面；了解四边形的不稳定性；了解特殊四边形之间的关系 B：会用多边形的内角和与外角和公式解决计算问题； 能用正三角形、正方形、正六边形进行简单 的镶嵌设计；能依据条件分解与拼接简单图形 (2)平行四边形 A：会识别平行四边形 B：掌握平行四边形的概念、判定和性质，会用平行四边形的性质和判定解决简单问题 C：会运用平行四边形的知

2、识解决有关问题 【知识网络】【知识网络】 【考点梳理】【考点梳理】 考考点一、点一、多边形多边形 1.1. 多边形：多边形： 在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形 多边形的对角线是连接多边形不相邻的两个顶点的线段. 2.2.多边形的对角线：多边形的对角线： 从 n 边形的一个顶点出发可以引出(n3)条对角线，共有 n(n-3)/2 条对角线，把多边形分成了(n 2)个三角形 3 3多边形的角：多边形的角： n 边形的内角和是(n2)180，外角和是 360. 【要点诠释】【要点诠释】 （1）多边形包括三角形、四边形、五边形，等边三角形是边数最少的正多边

3、形. （2）多边形中最多有 3 个内角是锐角（如锐角三角形）,也可以没有锐角（如矩形）. （3）解决 n 边形的有关问题时，往往连接其对角线转化成三角形的相关知识，研究 n 边形的外角问题 时，也往往转化为 n 边形的内角问题. 考考点二、点二、平面图形的镶嵌平面图形的镶嵌 1 1镶嵌的定义镶嵌的定义 用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片， 这就是平面图形的镶嵌 第 2 页 共 12 页 2 2平面图形的镶嵌平面图形的镶嵌 (1)一个多边形镶嵌的图形有：三角形，四边形和正六边形； (2)两个多边形镶嵌的图形有：正三角形和正方形，正三角形和正六边形

4、，正方形和正八边形，正三角 形和正十二边形； (3)三个多边形镶嵌的图形一般有：正三角形、正方形和正六边形，正方形、正六边形和正十二边形， 正三角形、正方形和正十二边形. 【要点诠释】【要点诠释】能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于 360, 并使相等的边互相重合. 考考点三、点三、三角形中位线定理三角形中位线定理 1连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 考考点四点四、平行四边形的定义、性质与判定平行四边形的定义、性质与判定 1 1定义：定义： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2

5、2性质：性质： (1)平行四边形的对边平行且相等； (2)平行四边形的对角相等，邻角互补； (3)平行四边形的对角线互相平分； (4)平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心 3 3判定判定： (1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形； (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形； (3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； (4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形； (5)对角线互相平分的四边形是平行四边形 【要点诠释】【要点诠释】 在平行四边形的学习中，学习它的性质定理和判定方法时，主要从三个不同角度加以分析：边、角与对 角线: 1.对于边，从位置（比如平行、垂直等）和

6、大小（比如相等或倍半关系等）两方面探讨邻边或对边的关 系特征； 2.对于角，以邻角和对角两方面为主，探讨其大小关系（比如相等、互补等）或具体度数； 3.对于对角线，则探讨两条对角线之间的位置和大小关系，以及它们与边、角之间的关系. 考考点五点五：平行线间的距离：平行线间的距离 1 1两条平行线间的距离：两条平行线间的距离： 两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离. 【要点诠释】【要点诠释】 1.距离是指垂线段的长度，是正值. 2.平行线间的距离处处相等.任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最 短的线段的长度. 3.两条平行线间的

7、任何两条平行线段都是相等的. 2 2平行四边形的面积平行四边形的面积： 平行四边形的面积=底高(等底等高的平行四边形面积相等). 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、多边形多边形与平面图形的镶嵌与平面图形的镶嵌 第 3 页 共 12 页 1.如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张ABC 纸片，点 D，E 分别是边 AB、AC 上，将ABC 沿着 DE 重叠压平，A 与 A重合，若A=70，则1+2=_. 【思路点拨】首先根据四边形的内角和公式可以求出四边形 ADAE 的内角和，由折叠可知AED=A ED，ADE=ADE，A=A，又A=70，由此可以求出AED+AED+ADE+ADE，再利

8、用 邻补角的关系即可求出1+2 【答案与解析】四边形 ADAE 的内角和为（4-2） 180=360， 而由折叠可知AED=AED，ADE=ADE，A=A， AED+AED+ADE+ADE=360-A-A=360-270=220， 1+2=1802-（AED+AED+ADE+ADE）=140 【总结升华】本题考查根据多边形的内角和计算公式求和多边形相关的角的度数，解答时要会根据公 式进行正确运算、变形和数据处理 举一反三：举一反三： 【变式变式】 一个多边形截取一个角后， 形成另一个多边形的内角和是 1620， 则原来多边形的边数是 （ ） A.10 B.11 C.12 D.以上都有可能 【答

9、案】D. 2 （2015 春邗江区校级期末）已知在四边形 ABCD 中，A=x，C=y， （0x180，0y 180） （1）ABC+ADC= （用含 x、y 的代数式表示） ； （2）如图 1，若 x=y=90，DE 平分ADC，BF 平分与ABC 相邻的外角，请写出 DE 与 BF 的位置 关系，并说明理由 （3）如图 2，DFB 为四边形 ABCD 的ABC、ADC 相邻的外角平分线所在直线构成的锐角， 当 xy 时，若 x+y=140，DFB=30试求 x、y 小明在作图时，发现DFB 不一定存在，请直接指出 x、y 满足什么条件时，DFB 不存在 【思路点拨】 （1）利用四边形内角和

10、定理得出答案即可； 第 4 页 共 12 页 （2）利用角平分线的性质结合三角形外角的性质得出即可； （3）利用角平分线的性质以及三角形内角和定理，得出DFB= y x=30，进而得出 x，y 的值； 当 x=y 时，DCBF，即DFB=0，进而得出答案 【答案与解析】解： （1）ABC+ADC=360xy； 故答案为：360xy； （2）如图 1，延长 DE 交 BF 于 G DE 平分ADC，BF 平分MBC， CDE= ADC，CBF= CBM， 又CBM=180ABC=180（180ADC）=ADC， CDE=CBF， 又BED=CDE+C=CBF+BGE， BGE=C=90， DGB

11、F（即 DEBF） ； （3）由（1）得：CDN+CBM=x+y， BF、DF 分别平分CBM、CDN， CDF+CBF= （x+y） ， 如图 2，连接 DB，则CBD+CDB=180y， 得FBD+FDB=180y+ （x+y）=180 y+ x， DFB= y x=30， 解方程组：， 解得：； 当 x=y 时，DCBF，此时DFB=0，故 x、y 满足 x=y 时，DFB 不存在 第 5 页 共 12 页 【总结升华】此题主要考查了多边形的内角和角平分线的性质以及三角形内角和定理等知识，正确应用 角平分线的性质是解题关键 类型二、类型二、平行四边形平行四边形及其他知识的综合运用及其他知

12、识的综合运用 3 （2012阜新）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，BE 平分ABC，CF 平分BCD，BE、CF 交于点 G若使 EF= 1 4 AD，那么平行四边形 ABCD 应满足的条件是（ ） AABC=60 BAB：BC=1：4 CAB：BC=5：2 DAB：BC=5：8 【思路点拨】根据四边形 ABCD 是平行四边形，利用平行四边形的性质得到对边平行且相等，然后根据 两直线平行内错角相等，得到AEB=EBC，再由 BE 平分ABC 得到ABE=EBC，等量代换后根据等角 对等边得到 AB=AE，同理可得 DC=DF，再由 AB=DC 得到 AE=DF，根据等式的基本性质在等式两

13、边都减去 EF 得到 AF=DE， 当 EF= 1 4 AD 时， 设 EF=x， 则 AD=BC=4x， 然后根据设出的量再表示出 AF， 进而根据 AB=AF+EF 用含 x 的式子表示出 AB 即可得到 AB 与 BC 的比值 【答案与解析】 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，AB=CD，AD=BC， AEB=EBC， 又 BE 平分ABC， ABE=EBC， ABE=AEB， AB=AE， 同理可得：DC=DF， AE=DF， AE-EF=DE-EF， 即 AF=DE， 当 EF= 1 4 AD 时，设 EF=x，则 AD=BC=4x， AF=DE= 1 2 （AD-EF）=

14、1.5x， 第 6 页 共 12 页 AE=AB=AF+EF=2.5x， AB：BC=2.5：4=5：8 故选 D 【总结升华】此题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，角平分性的定义以及等式的基本性质， 利用了等量代换的数学思想，要求学生把所学的知识融汇贯穿，灵活运用 举一反三：举一反三： 【变式变式】已知：如图，M 为 AB 上一点，使 AM=BC，N 为 BC 上一点， CN=BM，连 结 AN、MC 交于 P.求：的度数 【答案】过 M 点，作 第 7 页 共 12 页 4.（2015泰安样卷）已知，点 P 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上一动点（不与 A，B 重合） ，分别过

15、 A， B 向直线 CP 作垂线，垂足分别为 E、F （1）当点 P 为 AB 的中点时，如图 1，连接 AF、BE证明：四边形 AEBF 是平行四边形； （2）当点 P 不是 AB 的中点，如图 2，Q 是 AB 的中点证明：QEF 为等腰三角形 【思路点拨】 （1）首先证明BFQAEQ 可得 QE=QF，再由 AQ=BQ 可利用对角线互相平分的四边形是平 行四边形判定四边形 AEBF 是平行四边形； （2）首先证明FBQDAQ 可得 QF=QD，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得 QE=QF=QD， 进而可得结论 【答案与解析】 证明： （1）如图 1，Q 为 AB 中点， AQ=

16、BQ， BFCP，AECP， BFAE，BFQ=AEQ， 在BFQ 和AEQ 中： BFQAEQ（AAS） ， QE=QF， 四边形 AEBF 是平行四边形； （2）QE=QF， 如图 2，延长 FQ 交 AE 于 D， AEBF， QAD=FBQ， 在FBQ 和DAQ 中， FBQDAQ（ASA） ， 第 8 页 共 12 页 QF=QD， AECP， EQ 是直角三角形 DEF 斜边上的中线， QE=QF=QD，即 QE=QF， QEF 是等腰三角形 【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，关键 是掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形 5如图

17、，ABC 是等边三角形，点 D 是边 BC 上的一点，以 AD 为边作等边ADE，过点 C 作 CFDE 交 AB 于点 F （1）若点 D 是 BC 边的中点（如图） ，求证：EF=CD； （2）在（1）的条件下直接写出AEF 和ABC 的面积比； （3）若点 D 是 BC 边上的任意一点（除 B、C 外如图） ，那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立， 请给出证明；若不成立，请说明理由 【思路点拨】 （1）根据ABC 和AED 是等边三角形，D 是 BC 的中点，EDCF，求证ABDCAF，进 第 9 页 共 12 页 而求证四边形 EDCF 是平行四边形即可； （2）在（1）的条件下可直

18、接写出AEF 和ABC 的面积比； （3）根据 EDFC，结合ACB=60，得出ACF=BAD，求证ABDCAF，得出 ED=CF，进而求证四 边形 EDCF 是平行四边形，即可证明 EF=DC 【答案与解析】 （1）证明：ABC 是等边三角形，D 是 BC 的中点， ADBC，且BAD= 1 2 BAC=30， AED 是等边三角形， AD=AE，ADE=60， EDB=90-ADE=90-60=30， EDCF， FCB=EDB=30， ACB=60， ACF=ACB-FCB=30， ACF=BAD=30， 在ABD 和CAF 中， BAD=ACF AB=CA FAC=B， ABDCAF（

19、ASA） ， AD=CF， AD=ED， ED=CF， 又EDCF， 四边形 EDCF 是平行四边形， EF=CD （2）解：AEF 和ABC 的面积比为：1：4； （3）成立 第 10 页 共 12 页 理由如下：EDFC， EDB=FCB， AFC=B+BCF=60+BCF，BDA=ADE+EDB=60+EDB AFC=BDA， 在ABD 和CAF 中， BDA=AFC B=FAC AB=CA ABDCAF（AAS） ， AD=FC， AD=ED， ED=CF， 又EDCF， 四边形 EDCF 是平行四边形， EF=DC 【总结升华】此题主要考查学生对平行四边形的判定和性质、全等三角形的判

20、定和性质、等边三角形的 性质的理解和掌握此题涉及到的知识点较多，综合性较强，难度较大 6 .（2011 北京）在口ABCD 中，BAD 的平分线交直线 BC 于点 E，交直线 DC 于点 F （1）在图 1 中证明 CE=CF； （2）若ABC=90，G 是 EF 的中点（如图 2） ，直接写出BDG 的度数； （3）若ABC=120，FGCE，FG=CE，分别连接 DB、DG（如图 3） ，求BDG 的度数 【思路点拨】 （1）根据 AF 平分BAD，可得BAF=DAF，利用四边形 ABCD 是平行四边形，求证CEF=F 即可 （2）根据ABC=90，G 是 EF 的中点可直接求得 （3）分

21、别连接 GB、GC，求证四边形 CEGF 是平行四边形，再求证ECG 是等边三角形由 ADBC 及 AF 平分BAD 可得BAE=AEB，求证BEGDCG，然后即可求得答案. 【答案与解析】 （1）证明：如图 1， AF 平分BAD， 第 11 页 共 12 页 BAF=DAF， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ABCD， DAF=CEF，BAF=F， CEF=F CE=CF （2）解：连接 GC、BG， 四边形 ABCD 为平行四边形，ABC=90， 四边形 ABCD 为矩形， AF 平分BAD， DAF=BAF=45， DCB=90，DFAB， DFA=45，ECF=90 EC

22、F 为等腰直角三角形， G 为 EF 中点， EG=CG=FG，CGEF， ABE 为等腰直角三角形，AB=DC， BE=DC， CEF=GCF=45， BEG=DCG=135 在BEG 与DCG 中， EG=CG BEG=DCG BE=DC， BEGDCG， BG=DG， CGEF， DGC+DGA=90， 又DGC=BGA， BGE+DGE=90， DGB 为等腰直角三角形， BDG=45， （3）解：延长 AB、FG 交于 H，连接 HD ADGF，ABDF， 四边形 AHFD 为平行四边形 ABC=120，AF 平分BAD DAF=30，ADC=120，DFA=30 DAF 为等腰三角

23、形 AD=DF 平行四边形 AHFD 为菱形 ADH，DHF 为全等的等边三角形 DH=DF，BHD=GFD=60 FG=CE，CE=CF，CF=BH BH=GF 第 12 页 共 12 页 在BHD 与GFD 中， DH=DF BHD=GFD BH=GF， BHDGFD， BDH=GDF BDG=BDH+HDG=GDF+HDG=60 【总结升华】此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性 质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵 活地选择方法 举一反三：举一反三： 【变式变式】如图，有八个全等的直角三角形拼成一个大四边形 ABCD 和中间一个小四边形 MNPQ，连接 EF、 GH 得到四边形 EFGH，设 S四边形 ABCD=S1，S四边形 EFGH=S2，S四边形 MNPQ=S3，若 S1+S2+S3= 60 3 ，则 S2=_ 【答案】 20 3 .