北京四中数学中考总复习：多边形与平行四边形--知识讲解（基础）

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1、第 1 页 共 9 页 中考总复习：中考总复习：多边形与平行四边形多边形与平行四边形-知识讲解知识讲解（基础）（基础） 【考纲要求】考纲要求】 1. 多边形 A：了解多边形及正多边形的概念；了解多边形的内角和与外角和公式；知道用任意一个正三角形、 正方形或正六边形可以镶嵌平面；了解四边形的不稳定性；了解特殊四边形之间的关系 B：会用多边形的内角和与外角和公式解决计算问题； 能用正三角形、正方形、正六边形进行简单 的镶嵌设计；能依据条件分解与拼接简单图形 (2)平行四边形 A：会识别平行四边形 B：掌握平行四边形的概念、判定和性质，会用平行四边形的性质和判定解决简单问题 C：会运用平行四边形的知

2、识解决有关问题 【知识网络】【知识网络】 【考点梳理】【考点梳理】 考考点一、多边形点一、多边形 1.1. 多边形：多边形： 在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形 多边形的对角线是连接多边形不相邻的两个顶点的线段 2.2.多边形的对角线：多边形的对角线： 从 n 边形的一个顶点出发可以引出(n3)条对角线，共有 n(n-3)/2 条对角线，把多边形分成了(n 2)个三角形 3 3多边形的角：多边形的角： n 边形的内角和是(n2)180，外角和是 360. 【要点诠释】【要点诠释】 （1）多边形包括三角形、四边形、五边形，等边三角形是边数最少的正多边形

3、. （2）多边形中最多有 3 个内角是锐角（如锐角三角形）,也可以没有锐角（如矩形）. （3）解决 n 边形的有关问题时，往往连接其对角线转化成三角形的相关知识，研究 n 边形的外角问题 时，也往往转化为 n 边形的内角问题. 考考点二、点二、平面图形的平面图形的镶嵌镶嵌 1 1镶嵌镶嵌的定义的定义 用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片， 这就是平面图形的镶嵌 第 2 页 共 9 页 2 2平面图形的平面图形的镶嵌镶嵌 (1)一个多边形镶嵌的图形有：三角形，四边形和正六边形； (2)两个多边形镶嵌的图形有：正三角形和正方形，正三角形和正六边形，正

4、方形和正八边形，正三角 形和正十二边形； (3)三个多边形镶嵌的图形一般有：正三角形、正方形和正六边形，正方形、正六边形和正十二边形， 正三角形、正方形和正十二边形. 【要点诠释】【要点诠释】能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于 360, 并使相等的边互相重合. 考考点三、点三、三角形中位线定理三角形中位线定理 1连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 考考点四点四、平行四边形的定义、性质与判定平行四边形的定义、性质与判定 1 1定义：定义： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2 2性

5、质：性质： (1)平行四边形的对边平行且相等； (2)平行四边形的对角相等，邻角互补； (3)平行四边形的对角线互相平分； (4)平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心 3 3判定判定： (1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形； (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形； (3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； (4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形； (5)对角线互相平分的四边形是平行四边形 4 4两条平行线间的距离：两条平行线间的距离： 定义：夹在两条平行线间最短的线段的长度叫做两条平行线间的距离 性质：夹在两条平行线间的平行线段相等 【要点诠释】【要点诠释

6、】 1.平行四边形的面积=底高； 2.同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、多边形多边形与平面图形的镶嵌与平面图形的镶嵌 1 （2015葫芦岛）如图，在五边形 ABCDE 中，A+B+E=300，DP、CP 分别平分EDC、BCD， 则P 的度数是（ ） A60 B65 C55 D50 第 3 页 共 9 页 【思路点拨】根据五边形的内角和等于 540，由A+B+E=300，可求BCD+CDE 的度数，再根 据角平分线的定义可得PDC 与PCD 的角度和，进一步求得P 的度数 【答案】A 【解析】 解：五边形的内角和等于 540，A+B+E=3

7、00， BCD+CDE=540300=240， BCD、CDE 的平分线在五边形内相交于点 O， PDC+PCD= （BCD+CDE）=120， P=180120=60 故选：A 【总结升华】本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键注意整 体思想的运用 举一反三：举一反三： 【变式变式】如图，小林从 P 点向西直走 12 米后，向左转，转动的角度为，再走 12 米，如此重复，小林 共走了 108 米回到点 P，则=_. 【答案】40. 2 (2011十堰)现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若干张，下列拼法中不能镶嵌 成一个平面图案的是( ) A正方形和正

8、六边形 B正三角形和正方形 C正三角形和正六边形 D正三角形、正方形和正六边形 【思路点拨】注意各正多边形的内角度数. 【答案】A. 【解析】正方形和正六边形的每个内角分别为 90和 120，要镶嵌则需要满足 90m120n 360，但是 m、n 没有正整数解，故选 A. 【总结升华】能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于 360, 并使相等的边互相重合. 举一反三：举一反三： 【变式变式】现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边 长都相等同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有( ) A2 种 B3 种 C4 种

9、D5 种 【答案】B. 类型二：平行四边形类型二：平行四边形及其他知识的综合运用及其他知识的综合运用 3 （2014 春章丘市校级月考）如图，已知在ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AEBD，BM AC、DNAC，CFBD 垂足分别是 E、M、N、F，求证：ENMF 第 4 页 共 9 页 【思路点拨】连接 ME，FN，由四边形 ABCD 为平行四边形，得到对角线互相平分，利用 AAS 得到三角形 AOE 与三角形 COF 全等，利用全等三角形对应边相等得到 OE=OF，同理得到三角形 BOM 与三角形 DON 全 等，得到 OM=ON，进而确定出四边形 MEFN 为平行四边形，

10、利用平行四边形的对边平行即可得证 【答案与解析】 证明：连接 ME，FN， 四边形 ABCD 为平行四边形， OA=OC，OB=OD， AEBD，CFBD， 在AOE 和COF 中， ， AOECOF（AAS） ， OE=OF， 同理BOMDON，得到 OM=ON， 四边形 EMFN 为平行四边形， ENMF 【总结升华】 此题考查了平行四边形的判定与性质， 熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键 4. 如图所示，ABC 中，BAC=90，延长 BA 到 D，使，点 E、F 分别为边 BC、AC 的中点. （1）求证：DF=BE； （2）过点 A 作 AGBC，交 DF 于 G，求证：A

11、G=DG. 【思路点拨】 （1）E、F 分别为 BC、AC 中点，则 EF 为ABC 的中位线，所以 EFAB，.而 第 5 页 共 9 页 .则 EF=AD.从而易证DAFEFC, 则 DF=CE=BE.(2) AG 与 DG 在同一个三角形中,只需证 D=DAG 即可. 【答案与解析】 （1）点 E、F 分别为 BC、AC 的中点， EF 是ABC 的中位线. EFAB，. 又 ， EF=AD. EFAB，EFC=BAC=90，BAC=90，DAF=90. 又 F 是 AC 的中点，AF=CF，DAFEFC.DF=EC=BE. （2）由(1)知DAFEFC，D=FEC. 又 EFAB，B=

12、FEC. 又 AGBC，DAG=B， DAG=FEC D=DAG. AG=DG. 【总结升华】三角形中位线定理的作用：位置关系可以证明两条直线平行；数量关系可以证明 线段的相等或倍分.此外应注意三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形. 举一反三：举一反三： 【变式变式】如图，已知 P、R 分别是长方形 ABCD 的边 BC、CD 上的点，E、F 分别是 PA、PR 的中点，点 P 在 BC 上从 B 向 C 移动，点 R 不动，那么下列结论成立的是（ ） A线段 EF 的长逐渐增大 B线段 EF 的长逐渐变小 C线段 EF 的长不变 D无法确定 【答案】C. 5如图：六边形 A

13、BCDEF 中，AB 平行且等于 ED，AF 平行且等于 CD，BC 平行且等于 FE，对角线 FD BD已知 FD=4cm，BD=3cm则六边形 ABCDEF 的面积是_cm 2 第 6 页 共 9 页 【思路点拨】连接 AC 交 BD 于 G，AE 交 DF 于 H根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得平 行四边形 AEDB 和 AFDC易得 AC=FD，EH=BG计算该六边形的面积可以分成 3 部分计算，即平行四边形 AFDC 的面积+三角形 ABC 的面积+三角形 EFD 的面积 【答案与解析】 连接 AC 交 BD 于 G，AE 交 DF 于 H AB 平行且等于 ED，AF

14、 平行且等于 CD， 四边形 AEDB 是平行四边形，四边形 AFDC 是平行四边形， AE=BD，AC=FD， FDBD， GDH=90， 四边形 AHDG 是矩形， AH=DG EH=AE-AH，BG=BD-DG EH=BG 六边形 ABCDEF 的面积=平行四边形 AFDC 的面积+三角形 ABC 的面积+三角形 EFD 的面积=FDBD=3 4=12cm 2 故答案为：12. 【总结升华】注意求不规则图形的面积可以分割成规则图形，根据面积公式进行计算 6 .（2012厦门）已知平行四边形 ABCD，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，点 P 在边 AD 上，过点 P 作 PEAC，P

15、FBD，垂足分别为 E、F，PE=PF （1）如图，若 PE=3，EO=1，求EPF 的度数； （2）若点 P 是 AD 的中点，点 F 是 DO 的中点，BF=BC+32-4，求 BC 的长 【思路点拨】 （1）连接 PO，利用解直角三角形求出EPO=30，再利用“HL”证明PEO 和PFO 全等， 第 7 页 共 9 页 根据全等三角形对应角相等可得FPO=EPO，从而得解； （2）根据三角形中位线定理可得 PFAO，且 PF= 1 2 AO，然后根据两直线平行，同位角相等可得 AOD=PFD=90，再根据同位角相等，两直线平行可得 PEOD，所以 PE 也是AOD 的中位线，然后 证明四

16、边形 ABCD 是正方形，根据正方形的对角线与边长的关系列式计算即可得解 【答案与解析】 （1）如图，连接 PO，PEAC，PE=3 ，EO=1， tanEPO= 3 3 EO PE ， EPO=30， PEAC，PFBD， PEO=PFO=90， 在 RtPEO 和 RtPFO 中， POPO PEPF ， RtPEORtPFO（HL） ， FPO=EPO=30， EPF=FPO+EPO=30+30=60； （2）如图，点 P 是 AD 的中点，点 F 是 DO 的中点， PFAO，且 PF= 1 2 AO， PFBD， PFD=90， AOD=PFD=90， 又PEAC， AEP=90，

17、AOD=AEP， PEOD， 点 P 是 AD 的中点， PE 是AOD 的中位线， PE= 1 2 OD， PE=PF， AO=OD，且 AOOD， 平行四边形 ABCD 是正方形， 第 8 页 共 9 页 设 BC=x， 则 BF= 2 2 x+ 1 2 2 2 x= 3 2 4 x， BF=BC+32-4=x+32 -4， x+32-4= 3 2 4 x， 解得 x=4，即 BC=4 【总结升华】 本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，正方形的判定与性质， （2）中判 定出平行四边形 ABCD 是正方形是解题的关键 举一反三：举一反三： 【变式变式】如图 1，已知正比例函数和反

18、比例函数的图象都经过点 M（2，1） ，且 P（1，2）是双 曲线上的一点，Q 为坐标平面上的一动点，PAx 轴，QBy 轴，垂足分别为 A、B （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式； （2）当点 Q 在直线 MO 上运动时，是否可以使OBQ 与OAP 面积相等？ （3）如图 2，点 Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以 OP、OQ 为邻边的平行四边形 OPCQ，求平 行四边形 OPCQ 周长的最小值 图 1 图 2 【答案】 （1）正比例函数解析式为，反比例函数解析式为 （2）当点 Q 在直线 MO 上运动时， 设点 Q 的坐标为，解得. 所以点 Q 的坐标为和 （3）因为 P（，） ，由勾股定理得 OP， 平行四边形 OPCQ 周长= 因为点 Q 在第一象限中的双曲线上，所以可设点 Q 的坐标为， 第 9 页 共 9 页 由勾股定理可得，通过图形分析可得： OQ 有最小值 2，即当 Q 为第一象限中的双曲线与直线的交点时，线段 OQ 的 长度最小 所以平行四边形 OPCQ 周长的最小值：