北京四中数学中考总复习：方程与不等式综合复习--知识讲解（提高）

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1、第 1 页 共 14 页 中考总复习中考总复习：方程与不等式综合复习方程与不等式综合复习知识讲解（知识讲解（提高提高） 【考纲要求】【考纲要求】 1会从定义上判断方程(组)的类型，并能根据定义的双重性解方程(组)和研究分式方程的增根情况； 2掌握解方程(组)的方法，明确解方程组的实质是“消元降次” 、 “化分式方程为整式方程” 、 “化无理 式为有理式” ； 3理解不等式的性质，一元一次不等式(组)的解法，在数轴上表示解集，以及求特殊解集； 4列方程(组)、列不等式(组)解决社会关注的热点问题； 5. 解方程或不等式是中考的必考点，运用方程思想与不等式(组)解决实际问题是中考的难点和热点 【知

2、识网络】【知识网络】 【考点梳理】【考点梳理】 考考点一、点一、一元一次方程一元一次方程 1.1.方程方程 含有未知数的等式叫做方程. 2.2.方程的解方程的解 能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解. 3.3.等式的性质等式的性质 （1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式. （2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零） ，所得结果仍是等式. 第 2 页 共 14 页 4.4.一元一次方程一元一次方程 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的整式方程叫做一元一次方程，其中方程 ）为未知数，（0ax0bax叫做一元一次方程的标准形式，a 是未知

3、数 x 的系数，b 是常数项. 5.5.一元一次方程解法的一般步骤一元一次方程解法的一般步骤 整理方程 去分母 去括号 移项 合并同类项系数化为 1(检验方程的 解). 6.6.列一元一次方程解应用题列一元一次方程解应用题 (1)读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题” 仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如： “大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加， 减少，配套” ，利用这些关键字列出文字等式，并且根据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的 关系填入代数式，得到方程. (2)画图分析法：多用于“行程问题” 利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关

4、图形，使图 形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利 用量与量之间的关系(可把未知数看作已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础. 要点诠释：要点诠释： 列方程解应用题的常用公式： (1)行程问题： 距离=速度时间 时间 距离 速度 速度 距离 时间； (2)工程问题： 工作量=工效工时 工时 工作量 工效 工效 工作量 工时 ； (3)比率问题： 部分=全体比率 全体 部分 比率 比率 部分 全体； (4)顺逆流问题： 顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； (5)商品价格问题： 售价=定价折 10 1 ，利润=售价-

5、成本， %100 成本 成本售价 利润率； (6)周长、面积、体积问题：C圆=2R，S圆=R 2，C 长方形=2(a+b)，S长方形=ab， C正方形=4a， S正方形=a 2，S 环形=(R 2-r2)，V 长方体=abh ，V正方体=a 3，V 圆柱=R 2h ，V 圆锥= 3 1 R 2h. 考考点点二二、一元二次方程一元二次方程 1.1.一元二次方程一元二次方程 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程. 2.2.一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式 )0(0 2 acbxax，它的特征是：等式左边是一个关于未知数 x 的二次多项式，等式右边是 零

6、，其中 2 ax叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项. 3.3.一元二次方程的解法一元二次方程的解法 第 3 页 共 14 页 （1）直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于 解形如bax 2 )(的一元二次方程.根据平方根的定义可知，ax是 b 的平方根，当0b时， bax，bax，当 b0； (2)试比较 A、B、C 的大小关系，并说明理由. 【答案】 （1）A-B= 22 2222(21)aaaaaa 1a，0, 210aa A-B0 (2) C-B= 222 24222(1)10

7、aaaaa CB A-C= 222 22242(2)(1)aaaaaaaa 1a，20,10aa ACB 【变式变式 2 2】如图，要使输出值y大于 100，则输入的最小正整数x是_ 第 9 页 共 14 页 【答案】 解：设n为正整数，由题意得 .1001342 ,100) 12(5 n n 解得 8 87 n 则n可取的最小正整数为 11 若x为奇数，即x21 时，y105； 若x为偶数，即x22 时，y101 满足条件的最小正整数x是 21 类型类型三三、方程（组）与不等式（组方程（组）与不等式（组）的综合应用）的综合应用 4宏志高中高一年级近几年来招生人数逐年增加，去年达到 550 名

8、，其中有面向全省招收的“宏 志班”学生，也有一般普通班的学生由于场地、师资等限制，今年招生最多比去年增加 100 人，其中 普通班学生可多招 20%， “宏志班”学生可多招 10%，问今年最少可招收“宏志班”学生多少名? 【思路点拨】 根据招生人数列等式，根据今年招生最多比去年增加 100 人列不等式. 【答案与解析】 设去年招收“宏志班”学生 x 名，普通班学生 y 名，由条件得 550, 10%20%100. xy xy 将 y550-x 代入不等式，可解得 x100，于是(1+10%)x110 故今年最少可招收“宏志班”学生 110 名 【总结升华】本题属于列方程与不等式组综合题. 举一

9、反三：举一反三： 【变式变式】为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动，星期 天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维持交通秩序，若每一个路口安排 4 人，那么 还剩下 78 人；若每个路口安排 8 人，那么最后一个路口不足 8 人，但不少于 4 人求这个中 学共选派值勤学生多少人?共有多少个交通路口安排值勤? 【答案】 设这个学校选派值勤学生 x 人，共到 y 个交通路口值勤根据题意得 第 10 页 共 14 页 478, 48(1)8. xy xy 由可得 x4y+78，代入，得 478+4y-8(y-1)8，解得 19.5y20.5 根据题意 y

10、取 20，这时 x 为 158，即学校派出的是 158 名学生，分到了 20 个交通路口安排值勤 5已知关于x的一元二次方程 2 (2)(1)0mxmxm. .（其中m为实数） （1）若此方程的一个非零实数根为k， 当k = m时，求m的值； 若记 1 ()25m kk k 为y，求y与m的关系式； （2）当 1 4 m2 时，判断此方程的实数根的个数并说明理由. . 【思路点拨】 （1）由于 k 为此方程的一个实数根，故把 k 代入原方程，即可得到关于 k 的一元二次方程， 把 k=m 代入关于 k 的方程，即可求出 m 的值； 由于 k 为原方程的非零实数根，故把方程两边同时除以 k，便可

11、得到关于 y 与 m 的关系式； （2）先求出根的判别式，再根据 m 的取值范围讨论的取值即可 【答案与解析】 （1） k为 2 (2)(1)0mxmxm的实数根， 2 (2)(1)0mkmkm. 当k = m时， k为非零实数根， m 0，方程两边都除以m，得(2)(1) 10mmm . 整理，得 2 320mm. 解得 1 1m ， 2 2m . 2 (2)(1)0mxmxm是关于x的一元二次方程， m 2. m= 1. k为原方程的非零实数根， 将方程两边都除以k，得(2)(1)0 m mkm k . 整理，得 1 ()21m kkm k . 1 ()254ym kkm k . （2）解

12、法一： 22 (1)4 (2)3613 (2) 1mm mmmm m . 第 11 页 共 14 页 当 1 4 m2 时，m0，2m0. 3 (2)m m0，3 (2) 1m m10，0. 当 1 4 m2 时，此方程有两个不相等的实数根. 解法二：直接分析 1 4 m2 时，函数 2 (2)(1)ymxmxm的图象， 该函数的图象为抛物线，开口向下，与y轴正半轴相交， 该抛物线必与x轴有两个不同交点. 当 1 4 m2 时，此方程有两个不相等的实数根. 解法三： 222 (1)4 (2)3613(1)4mm mmmm . 结合 2 3(1)4m 关于m的图象可知， （如图） 当 1 4 m

13、1 时， 37 16 4； 当 1m2 时，14. 当 1 4 m2 时，0. 当 1 4 m2 时，此方程有两个不相等的实数根. 【总结升华】 和一元二次方程的根有关的问题往往可以借助于二次函数图象解决， 数形结合使问题简化. 举一反三：举一反三： 【变式变式 1 1】已知：关于x的一元二次方程 2 220kxxk（1k ） （1）求证：方程总有两个实数根； （2）当k取哪些整数时，方程的两个实数根均为整数 【答案】 （1）证明证明： 22 44 (2)4 844(1)0kkkkk ， 方程恒有两个实数根. （2）解解： 方程的根为 22 24(1)1(1) 2 kk x kk ， 1k ，

14、 2 1(1)1 (1)kk x kk . 1 1x ， 2 2 1x k . 1k ， 第 12 页 共 14 页 当1k 或2k 时，方程的两个实数根均为整数. 【变式变式 2 2】已知：关于x的方程032 2 kxkx （1）求证：方程032 2 kxkx总有实数根； （2）若方程032 2 kxkx有一根大于 5 且小于 7，求k的整数值； (3)在的条件下， 对于一次函数bxy 1 和二次函数 2 y=32 2 kxkx， 当71x时， 有 21 yy ，求b的取值范围 【答案】 证明：=(k2) 24(k3) =k 24k+44k+12 = k 28k+16 =(k4) 20 此方

15、程总有实根。 解：解得方程两根为x1=1，x2=3k 方程有一根大于 5 且小于 7， 53k7， 4k2， k为整数， k=3. 解：由知k=-3， 65 2 2 xxy 21 yy ，0 12 yy， 即066 2 bxx 在71x时，有 21 yy 1b 类型类型四四、用不等式（组）解决决策性问题用不等式（组）解决决策性问题 6某服装店老板到厂家选购 A、B 两种型号的服装，若购进 A 种型号服装 9 件，B 种型号服装 10 件，需要 1810 元；若购进 A 种型号服装 12 件，B 种型号服装 8 件，需要 1880 元 (1)求 A、B 两种型号的服装每件分别为多少元? (2)若

16、销售 1 件 A 种型号服装可获利 18 元，销售 1 件 B 种型号服装可获利 30 元，根据市场需求， 服装店老板决定，购进 A 种型号服装的数量要比购进 B 种型号服装数量的 2 倍还多 4 件，且 A 种型号服 装最多可购进 28 件，这样服装全部售出后，可使总的获利不少于 699 元，问有几种进货方案?如何进货? 【思路点拨】 （1）根据题意可知，本题中的相等关系是“A 种型号服装 9 件，B 种型号服装 10 件，需要 1810 元” 和“A 种型号服装 12 件，B 种型号服装 8 件，需要 1880 元”，列方程组求解即可 （2）利用两个不等关系列不等式组，结合实际意义求解 【

17、答案与解析】 第 13 页 共 14 页 (1)设 A 种型号的服装每件为 x 元，B 种型号的服装每件为 y 元 根据题意，得 9101810, 1281880, xy xy 解得 90, 100. x y 答：A、B 两种型号的服装每件分别为 90 元和 100 元 (2)设 B 种型号服装购进 m 件，则 A 种型号服装购进(2m+4)件，由题意，得 18(24)30699, 2428, mm m 解得 1 912 2 m m 为正整数， m10、11、12 2m+424、26、28 答：有三种进货方案：B 型服装购买 10 件，A 型服装购买 24 件；或 B 型服装购买 11 件，A

18、 型服装 购买 26 件； 或 B 型服装购买 12 件，A 型服装购买 28 件 【总结升华】 本题属于分类讨论题，是中考常考题型. 利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给 出 2 个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键像这种利用不等式组解决方 案设计问题时，往往是在解不等式组的解后，再利用实际问题中的正整数解，且这些正整数解的个数就 是可行的方案个数 举一反三：举一反三： 【变式变式】 某工厂现有甲种原料 360 千克， 乙种原料 290 千克， 计划利用这两种原料生产A、B两种产品， 共 50 件已知生产一件A种产品，需用甲种原料 9 千克，乙种原料 3

19、千克；生产一件B种产 品，需用甲种原料 4 千克，乙种原料 10 千克 （1）据现有条件安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案，请你设计出来 （2）若甲种原料每千克 80 元，乙种原料每千克 120 元，怎样设计成本最低 【答案】 （1）设生产A种产品x件，B种产品)50(x件 按这样生产需甲种的原料 290)50(103 360)50(49 xx xx ， .30 ,32 x x 即：3230 x x为整数，,32,31,30x 有三种生产方案 第一种方案：生产A种产品 30 件，B种产品 20 件； 第二种方案：生产A种产品 31 件，B种产品 19 件； 第 14 页 共 14 页 第三种方案：生产A种产品 32 件，B种产品 18 件 （2）第一种方案的成本：62800)2010303(120)204309(80（元） ； 第二种方案的成本：62360)1910313(120)194319(80（元） ； 第三种方案的成本：61920)1810303(120)184329(80（元） 第三种方案成本最低