北京四中数学中考冲刺：阅读理解型问题--知识讲解（提高）

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1、第 1 页 共 14 页 中考中考冲刺冲刺：阅读理解型问题阅读理解型问题知识讲解（知识讲解（提高提高） 【中考展望中考展望】 阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”，应该特别引起我们的重视. 它由两部分 组成：一是阅读材料；二是考查内容它要求学生根据阅读获取的信息回答问题提供的阅读材料主要 包括：一个新的数学概念的形成和应用过程，或一个新的数学公式的推导与应用，或提供新闻背景材料 等考查内容既有考查基础的，又有考查自学能力和探索能力等综合素质的这类问题一般文字叙述较 长，信息量较大，内容丰富，超越常规，源于课本，又高于课本，各种关系错综复杂，不仅能考查同学 们阅读题中文字获取信息的

2、能力，还能考查同学们获取信息后的抽象概括能力、建模能力、决策判断能 力等.同时，更能够综合考查同学们的数学意识和数学综合应用能力. 【方法点拨方法点拨】 题型特点：先给出一段材料，让学生理解，再设立新的数学概念，新概念的解答可以借鉴前面材料 的结论或思想方法 解题策略：从给的材料入手，通过理解分析本材料的内容，捕捉已知材料的信息，灵活应用这些信 息解决新材料的问题 解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、 结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后依题意进行分析、比较、综合、抽象 和概括，或用归纳、演绎、类比等进行计算或推理论证，并

3、能准确地运用数学语言阐述自己的思想、方 法、观点展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题. 阅读理解题一般可分为如下几种类型： (1)方法模拟型通过阅读理解，模拟提供材料中所述的过程方法，去解决类似的相关问题； (2)判断推理型通过阅读理解，对提供的材料进行归纳概括；按照对材料本质的理解进行推理， 作出解答； (3)迁移发展型从提供的材料中，通过阅读，理解其采用的思想方法，将其概括抽象成数学模 型去解决类同或更高层次的另一个相关命题 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、阅读试题提供新定义、新定理，解决新问题阅读试题提供新定义、新定理，解决新问题 1

4、问题情境： 用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第 2012 个图共有多少枚棋子？ 建立模型： 有些规律问题可以借助函数思想来探讨，具体步骤：第一步，确定变量；第二步：在直角坐标系中 画出函数图象；第三步：根据函数图象猜想并求出函数关系式；第四步：把另外的某一点代入验证，若 成立，则用这个关系式去求解 解决问题： 根据以上步骤，请你解答“问题情境” 第 2 页 共 14 页 【思路点拨】 画出相关图形后可得这些点在一条直线上，设出直线解析式，把任意两点代入可得直线解析式，进 而把 x=2012 代入可得相应的棋子数目 【答案与解析】 解：以图形的序号为横坐标，棋子的枚数为纵坐标，描点：

5、 （1，4） 、 （2，7） 、 （3，10） 、 （4，13）依次 连接以上各点，所有各点在一条直线上， 设直线解析式为 y=kx+b，把（1，4） 、 （2，7）两点坐标代入得 4 27 kb kb ， 解得 3 1 k b ， 所以 y=3x+1， 验证：当 x=3 时，y=10 第 3 页 共 14 页 所以，另外一点也在这条直线上 当 x=2012 时，y=32012+1=6037 答：第 2012 个图有 6037 枚棋子 【总结升华】 考查一次函数的应用；根据所给点画出相应图形，从而判断出相应的函数是解决本题的突破点 举一反三：举一反三： 【变式变式】如图 1，A，B，C 为三个

6、超市，在 A 通往 C 的道路（粗实线部分）上有一 D 点，D 与 B 有道路（细 实线部分）相通A 与 D，D 与 C，D 与 B 之间的路程分别为 25km，10km，5km现计划在 A 通往 C 的道 路上建一个配货中心 H，每天有一辆货车只为这三个超市送货该货车每天从 H 出发，单独为 A 送货 1 次，为 B 送货 1 次，为 C 送货 2 次货车每次仅能给一家超市送货，每次送货后均返回配货中心 H，设 H 到 A 的路程为 xkm，这辆货车每天行驶的路程为 ykm （1）用含 x 的代数式填空： 当 0x25 时， 货车从 H 到 A 往返 1 次的路程为 2xkm， 货车从 H

7、到 B 往返 1 次的路程为 km， 货车从 H 到 C 往返 2 次的路程为 km， 这辆货车每天行驶的路程 y= 当 25x35 时， 这辆货车每天行驶的路程 y= ； （2）请在图 2 中画出 y 与 x（0x35）的函数图象； （3）配货中心 H 建在哪段，这辆货车每天行驶的路程最短？ 【答案】 解： （1）当 0x25 时， 货车从 H 到 A 往返 1 次的路程为 2x， 货车从 H 到 B 往返 1 次的路程为：2（5+25-x）=60-2x， 货车从 H 到 C 往返 2 次的路程为：4（25-x+10）=140-4x， 这辆货车每天行驶的路程为：y=60-2x+2x+140-

8、4x=-4x+200 当 25x35 时， 货车从 H 到 A 往返 1 次的路程为 2x， 货车从 H 到 B 往返 1 次的路程为：2（5+x-25）=2x-40， 货车从 H 到 C 往返 2 次的路程为：410-（x-25）=140-4x， 故这辆货车每天行驶的路程为：y=2x+2x-40+140-4x=100； 故答案为：60-2x，140-4x，-4x+200，100； （2）根据当 0x25 时，y=-4x+200， x=0，y=200，x=25，y=100， 第 4 页 共 14 页 当 25x35 时，y=100； 如图所示： （3）根据（2）图象可得： 当 25x35 时，

9、y 恒等于 100km，此时 y 的值最小，得出配货中心 H 建 CD 段，这辆货车每天行驶 的路程最短为 100km 类型二、类型二、阅读试题信息，归纳总结提炼数学思想方法阅读试题信息，归纳总结提炼数学思想方法 2 背景资料背景资料 低碳生活的理念已逐步被人们接受据相关资料统计： 一个人平均一年节约的用电，相当于减排二氧化碳约 18kg； 一个人平均一年少买的衣服，相当于减排二氧化碳约 6kg 问题解决问题解决 甲、乙两校分别对本校师生提出“节约用电”、“少买衣服”的倡议2009 年两校响应本校倡议的人数 共 60 人，因此而减排二氧化碳总量为 600kg （1）2009 年两校响应本校倡议

10、的人数分别是多少？ （2）2009 年到 2011 年，甲校响应本校倡议的人数每年增加相同的数量；乙校响应本校倡议的人数每年 按相同的百分率增长2010 年乙校响应本校倡议的人数是甲校响应本校倡议人数的 2 倍；2011 年两校 响应本校倡议的总人数比 2010 年两校响应本校倡议的总人数多 100 人求 2011 年两校响应本校倡议减 排二氧化碳的总量 【思路点拨】 （1）设 2009 年甲校响应本校倡议的人数为 x 人，乙校响应本校倡议的人数为 y 人，根据题意列出方程 组求解即可 （2）设 2009 年到 2011 年，甲校响应本校倡议的人数每年增加 m 人；乙校响应本校倡议的人数每年增

11、 长的百分率为 n根据题目中的人数的增长率之间的关系列出方程组求解即可 【答案与解析】 解： （1）方法一：设 2009 年甲校响应本校倡议的人数为 x 人，乙校响应本校倡议的人数为 y 人 依题意得： 60 186600 xy xy ， 解之得 x=20，y=40 方法二：设 2009 年甲校响应本校倡议的人数为 x 人，乙校响应本校倡议的人数为（60-x） 人， 依题意得： 18x+6（60-x）=600 第 5 页 共 14 页 解之得：x=20，60-x=40 2009 年两校响应本校倡议的人数分别是 20 人和 40 人 （2）设 2009 年到 2011 年，甲校响应本校倡议的人数

12、每年增加 m 人；乙校响应本校倡议的人数每年增 长的百分率为 n依题意得： 2 (20) 240 (1) (202 )40(1)(20)40(1) 100 mn mnmn ， 由得 m=20n，代入并整理得 2n 2+3n-5=0 解之得 n=1，n=-2.5（负值舍去） m=20 2011 年两校响应本校倡议减排二氧化碳的总量： （20+220）18+40（1+1） 26=2040（千克） 答：2011 年两校响应本校倡议减排二氧化碳的总量为 2040 千克 【总结升华】 题考查了一元二次方程的应用及二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找到合适的等量关 系 举一反三：举一反三： 【变式

13、变式】如图，某化工厂与 A，B 两地有公路和铁路相连，这家工厂从 A 地购买一批每吨 1 000 元的原 料运回工厂，制成每吨 8 000 元的产品运到 B 地 已知公路运价为 1.5 元/（吨千米） ，铁路运价为 1.2 元/（吨千米） ，这两次运输共支出公路运费 15 000 元，铁路运费 97 200 元，请计算这批产品的销 售款比原料费和运输费的和多多少元？ （1）根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 甲： 1.5(2010 ) 1.2(110150 ) xy xy 乙： 1.5(2010) 80001000 1.2(110150) 80001000 xy xy 根据

14、甲，乙两名同学所列方程组，请你分别指出未知数 x，y 表示的意义，然后在等式右边的方框内补 全甲、乙两名同学所列方程组 甲：x 表示 ，y 表示 ； 乙：x 表示 ，y 表示 . （2）甲同学根据他所列方程组解得 x=300，请你帮他解出 y 的值，并解决该实际问题 【答案】 （1）甲：x 表示产品的重量，y 表示原料的重量， 乙：x 表示产品销售额，y 表示原料费， 第 6 页 共 14 页 甲方程组右边方框内的数分别为：15000，97200，乙同甲； （2）将 x=300 代入原方程组解得 y=400 产品销售额为 3008000=2400000 元 原料费为 4001000=40000

15、0 元 又运费为 15000+97200=112200 元 这批产品的销售额比原料费和运费的和多 2400000-（400000+112200）=1887800 元. 类型三、类型三、阅读相关信息，阅读相关信息，通过归纳探索，发现规律，得出结论通过归纳探索，发现规律，得出结论 3先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式 x 2-40 解：x 2-4=（x+2） （x-2） x 2-40 可化为 （x+2） （x-2）0 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得 20 20 x x ， 20 20 x x . 解不等式组，得 x2， 解不等式组，得 x-2， （x

16、+2） （x-2）0 的解集为 x2 或 x-2， 即一元二次不等式 x 2-40 的解集为 x2 或 x-2 （1）一元二次不等式 x 2-160 的解集为 ； （2）分式不等式 1 3 x x 0 的解集为 ； （3）解一元二次不等式 2x 2-3x0 【思路点拨】 （1）将一元二次不等式的左边因式分解后化为两个一元一次不等式组求解即可； （2）据分式不等式大于零可以得到其分子、分母同号，从而转化为两个一元一次不等式组求解即可； （3）将一元二次不等式的左边因式分解后化为两个一元一次不等式组求解即可； 【答案与解析】 解： （1）x 2-16=（x+4） （x-4） x 2-160 可化为

17、： （x+4） （x-4）0 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得 40 40 x x 或 40 40 x x . 解不等式组，得 x4， 解不等式组，得 x-4， （x+4） （x-4）0 的解集为 x4 或 x-4， 即一元二次不等式 x 2-160 的解集为 x4 或 x-4 （2） 1 3 x x 0 第 7 页 共 14 页 10 30 x x 或 10 30 x x ， 解得：x3 或 x1. （3）2x 2-3x=x（2x-3） 2x 2-3x0 可化为： x（2x-3）0 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得 0 230 x x 或 0 230 x x ， 解不

18、等式组，得 0x 3 2 ， 解不等式组，无解， 不等式 2x 2-3x0 的解集为 0x3 2 【总结升华】 本题考查了一元一次不等式组及方程的应用的知识，解题的关键是根据已知信息经过加工得到解决 此类问题的方法 类型四、类型四、阅读试题信息，借助已有数学思想方法解决新问题阅读试题信息，借助已有数学思想方法解决新问题 4在如图所示的三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下 a，b 两个情境： 情境 a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本再去学校； 情境 b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进 （1）情境 a，b 所对应的函数图象分别

19、是 、 （填写序号） ； （2）请你为剩下的函数图象写出一个适合的情境 【思路点拨】 （1）根据图象，一段一段的分析，再一个一个的排除，即可得出答案； （2）把图象分为三部分，再根据离家的距离进行叙述，即可得出答案 【答案与解析】 解： （1）情境 a：小芳离开家不久，即离家一段路程，此时都符合， 发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本，即又返回家，离家的距离是 0，此时都符 合，又去学校，即离家越来越远，此时只有返回，只有符合情境 a； 情境 b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进，即离家越来越远， 第 8 页 共 14 页 且没有停留，只有符合， 故答案为

20、：， （2）情境是小芳离开家，在公园休息了一会儿，又返回了家 【总结升华】 主要考查学生的观察图象的能力，同时也考查了学生的叙述能力，用了数形结合思想，题型比较好， 是一道比较容易出错的题目 举一反三：举一反三： 【变式变式】某景区的旅游线路如图 1 所示，其中 A 为入口，B，C，D 为风景点，E 为三岔路的交汇点，图 1 中所给数据为相应两点间的路程（单位：km） 甲游客以一定的速度沿线路“ADCEA”步行游览， 在每个景点逗留的时间相同，当他回到 A 处时，共用去 3h甲步行的路程 s（km）与游览时间 t（h）之 间的部分函数图象如图 2 所示 （1）求甲在每个景点逗留的时间，并补全图

21、象； （2）求 C，E 两点间的路程； （3）乙游客与甲同时从 A 处出发，打算游完三个景点后回到 A 处，两人相约先到者在 A 处等候，等候 时间不超过 10 分钟如果乙的步行速度为 3km/h，在每个景点逗留的时间与甲相同，他们的约定能否实 现？请说明理由 【答案】 解： （1）由图 2 得，甲从 A 步行到 D，用了 0.8h，步行了 1.6km，则甲步行的速度= 1.6 0.8 =2（km/h） ， 而甲步行到 C 共用了 1.8h，步行了 2.6km， 所以甲在 D 景点逗留的时间=1.8-0.8- 2.6 1.6 2 =1-0.5=0.5（h） ， 所以甲在每个景点逗留的时间为 0

22、.5h； 甲在 C 景点逗留 0.5h， 从 2.3h 开始步行到 3h， 步行了 （3-2.3） 2=1.4km， 即回到 A 处时共步行了 4km， 画图； 第 9 页 共 14 页 （2）由（1）得甲从 C 到 A 步行了（3-2.3）2=1.4km， 而 C 到 A 的路程为 0.8km， 所以 C，E 两点间的路程为 0.6km； （3）他们的约定能实现理由如下： C，E 两点间的路程为 0.6km， 走 E-B-E-C 的路程为 0.4+0.4+0.6=1.4（km） ，走 E-B-C 的路程为 0.4+1.3=1.7（km） ， 乙游览的最短线路为：ADCEBEA（或 AEBEC

23、DA） ，总行程为 1.6+1+0.6+0.42+0.8=4.8（km） ， 乙游完三个景点后回到 A 处的总时间=30.5+ 4.8 3 =3.1（h） ， 而甲用了 3 小时， 乙比甲晚 0.1 小时，即 6 分钟到 A 处， 他们的约定能实现 5问题情境： 将一副直角三角板 （RtABC 和 RtDEF）按图 1 所示的方式摆放，其中ACB=90， CA=CB，FDE=90，O 是 AB 的中点，点 D 与点 O 重合，DFAC 于点 M，DEBC 于点 N，试判断线段 OM 与 ON 的数量关系，并说明理由 探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法： 解：OM=ON，证明如下： 连接 C

24、O，则 CO 是 AB 边上中线， CA=CB，CO 是ACB 的角平分线 （依据 1） OMAC，ONBC，OM=ON （依据 2） 反思交流： （1）上述证明过程中的“依据 1”和“依据 2”分别是指： 依据 1： 依据 2： （2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程 拓展延伸： （3）将图 1 中的 RtDEF 沿着射线 BA 的方向平移至如图 2 所示的位置，使点 D 落在 BA 的延长线上， FD 的延长线与 CA 的延长线垂直相交于点 M，BC 的延长线与 DE 垂直相交于点 N，连接 OM、ON，试判断线 段 OM、ON 的数量关系与位置关系，并写出证明过程 第 10

25、 页 共 14 页 【思路点拨】 （1）根据等腰三角形的性质和角平分线性质得出即可； （2）证OMAONB（AAS） ，即可得出答案； （3）求出矩形 DMCN，得出 DM=CN，MOCNOB（SAS） ，推出 OM=ON，MOC=NOB，得出MOC- CON=NOB-CON，求出MON=BOC=90，即可得出答案 【答案与解析】 （1）解：等腰三角形三线合一（或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合） ， 角平分线上的点到角的两边距离相等 （2）证明：CA=CB， A=B， O 是 AB 的中点， OA=OB DFAC，DEBC， AMO=BNO=90， 在OMA 和ONB

26、 中 ， OMAONB（AAS） ， OM=ON （3）解：OM=ON，OMON理由如下： 连接 CO，则 CO 是 AB 边上的中线 ACB=90， OC= AB=OB， 又CA=CB， CAB=B=45，1=2=45，AOC=BOC=90， 2=B， BNDE， BND=90， 又B=45， 3=45， 3=B， DN=NB 第 11 页 共 14 页 ACB=90，NCM=90 又BNDE，DNC=90 四边形 DMCN 是矩形， DN=MC， MC=NB， MOCNOB（SAS） ， OM=ON，MOC=NOB， MOC-CON=NOB-CON， 即MON=BOC=90， OMON 【

27、总结升华】 本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，角平分线性 质等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，综合性也比较强 6如图，小慧同学把一个正三角形纸片（即OAB）放在直线 l1上，OA 边与直线 l1重合，然后 将三角形纸片绕着顶点 A 按顺时针方向旋转 120，此时点 O 运动到了点 O1处，点 B 运动到了点 B1处； 小慧又将三角形纸片 AO1B1绕 B1点按顺时针方向旋转 120，点 A 运动到了点 A1处，点 O1运动到了点 O2 处（即顶点 O 经过上述两次旋转到达 O2处）. 小慧还发现： 三角形纸片在上述两次旋转

28、过程中， 顶点 O 运动所形成的图形是两段圆弧， 即弧 OO1 和弧 O1O2，顶点 O 所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线 l1围成的图形面积 等于扇形 AOO1的面积、AO1B1的面积和扇形 B1O1O2的面积之和. 小慧进行类比研究：如图，她把边长为 1 的正方形纸片 OABC 放在直线 l2上，OA 边与直线 l2重 合，然后将正方形纸片绕着顶点 A 按顺时针方向旋转 90，此时点 O 运动到了点 O1处（即点 B 处） ，点 C 运动到了点 C1处，点 B 运动到了点 B1处；小慧又将正方形纸片 AO1C1B1绕 B1点按顺时针方向旋转 90，按上述方法经过若干

29、次旋转后，她提出了如下问题： 问题：若正方形纸片 OABC 按上述方法经过 3 次旋转，求顶点 O 经过的路程，并求顶点 O 在此运 动过程中所形成的图形与直线 l2围成图形的面积；若正方形 OABC 按上述方法经过 5 次旋转，求顶点 O 经过的路程； 问题：正方形纸片 OABC 按上述方法经过多少次旋转，顶点 O 经过的路程是 2 22041 ？ 请你解答上述两个问题. 第 12 页 共 14 页 【思路点拨】 根据正方形旋转 3 次和 5 次的路径，利用弧长计算公式以及扇形面积公式求出即可， 再利用正方形纸片 OABC 经过 4 次旋转得出旋转路径，进而得出 即可得出旋 转次数 【答案与

30、解析】 解：问题：如图，正方形纸片经过 3 次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段圆弧 11223 ,OO OO O O ， 所以顶点O在此运动过程中经过的路程为 9019022 21 1801802 . 顶点 O 在此过程中经过的图形与直线2 l围成的图形面积为： . 正方形纸片经过 5 次旋转，顶点O运动经过的路程为： 90190232 3 18018022 . 问题： 正方形纸片每经过 4 次旋转，顶点 O 运动经过的路程均为： 9019022 21 1801802 . 又 4120 22 20 1 222 ，而 2 是正方形纸片第4n+1次旋转，顶点O运动经过的路程. 正方形纸片 OAB

31、C 按上述方法经过 81 次旋转，顶点 O 经过的路程是 4120 2 2 . 【总结升华】 此题主要考查了图形的旋转以及扇形面积公式和弧长计算公式，分别得出旋转 3，4，5 次旋转 的路径是解决问题的关键 第 13 页 共 14 页 7问题情境问题情境： 已知矩形的面积为 a（a 为常数，a0） ，当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值 是多少？ 数学模型数学模型： 设该矩形的长为 x，周长为 y，则 y 与 x 的函数关系式为2()(0) a yxx x 探索研究探索研究： (1)我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数 1 (0)yxx x 的图象性质 填写下表，画出函数的图象：

32、观察图象，写出该函数两条不同类型的性质； 在求二次函数 y=ax 2bxc（a0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通 过配方得到请你通过配方求函数 1 yx x (x0)的最小值 解决问题解决问题： (2)用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案 【思路点拨】 （1）根据求代数式的值的方法将 x 的值函数的解析式求出其值就可以了 根据表中的数据画出函数的图象，再结合表中的数据就可以写出图象的相应的性质 （2）由的结论可以把xa直接代入 y 与 x 的函数关系式为2()(0) a yxx x 就可以求出周长的 最小值 【答案与解析】 解： （1）当 1 = 4 x时， 17 =

33、 4 y， 第 14 页 共 14 页 当 1 = 3 x时， 10 = 3 y， 当 1 = 2 x时， 5 = 2 y， 当 x=1、2、3、4 时，则 y 的值分别为 5 10 17 2, 234 . 函数 1 yx x （x0）的图象如图. 当 0x1 时，y 随 x 增大而减小；当 x1 时，y 随 x 增大而增大；当 x=1 时函数 1 yx x （x0） 的最小值为 2 22222 111111 ()()()()22()22yxxxxxx xxxxxx 当 1 =0x x 时，即 x=1 时，函数 1 yx x （x0）的最小值为 2 （2）当该矩形的长为a时， 它的周长最小，最小值为4 a 【总结升华】 本题是一道二次函数的综合试题，考查了描点法画函数的图象的方法，二次函数最值的运用反比 例函数的图象性质的运用