北京四中数学中考总复习：分式与二次根式--知识讲解（基础）

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1、第 1 页 共 10 页 中考总复习：中考总复习：分式与二次根式分式与二次根式知识讲解（基础）知识讲解（基础） 【考纲要求】【考纲要求】 1. 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运 算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程； 2. 利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二 次根式的运算 【知识网络】【知识网络】 第 2 页 共 10 页 【考点梳理】【考点梳理】 考点考点一、分式的有关概念及性质一、分式的有关概念及性质 1 1分式分式 设 A、B 表示两

2、个整式如果 B 中含有字母，式子就叫做分式注意分母 B 的值不能为零，否则 分式没有意义. 2 2. .分式的基本性质分式的基本性质 （M 为不等于零的整式）. 3 3最简分式最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点诠释：要点诠释： 分式的概念需注意的问题： (1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还 含有括号的作用； （2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为 0； （3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断 （4）分式有

3、无意义的条件：在分式中， 当B0 时，分式有意义；当分式有意义时，B0 当B=0 时，分式无意义；当分式无意义时，B=0 当B0 且A = 0 时，分式的值为零 考点考点二、分式的运算二、分式的运算 1 1基本运算法则基本运算法则 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算 = 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ； 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算. （2）乘法运算 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式

4、相乘. （4）乘方运算 （分式乘方） 第 3 页 共 10 页 分式的乘方，把分子分母分别乘方 2 2零指数零指数 . 3 3负整数指数负整数指数 4 4分式的混合运算顺序分式的混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的 5 5约分约分 把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分 6 6通分通分 根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分 要点诠释：要点诠释： 约分需明确的问题： (1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等； (2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考

5、过程与分解因式中提取公因式时确定公 因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积 通分注意事项： (1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次 幂的积 (2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉 (3)确定最简公分母的方法： 最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； 最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积. 考点考点三、分式方程及其应用三、分式方程及其应用 1 1分式方程的概念分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 2 2分式方程的解法分式方程的解法 解

6、分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程 3 3分式方程的增根问题分式方程的增根问题 验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根验根的方法是将所得的根带入到 最简公分母中，看它是否为 0，如果为 0，即为增根，不为 0，就是原方程的解 4 4分式方程的应用分式方程的应用 列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些解题时应抓住“找等 量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而 正确列出方程，并进行求解另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的 第 4 页 共

7、10 页 合理性 要点诠释：要点诠释： 解分式方程注意事项： （1）去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆； （2）解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为 0， 如果为 0，即为增根，不为 0，就是原方程的解 列分式方程解应用题的基本步骤： (1)审仔细审题，找出等量关系； (2)设合理设未知数； (3)列根据等量关系列出方程； (4)解解出方程； (5)验检验增根； (6)答答题 考点考点四、四、二次根式的主要性质二次根式的主要性质 1.0 (0)aa； 2. 2 (0)aa a； 3. 2 (0) | (0) aa aa a a ； 4. 积的算术平

8、方根的性质：(00)abab ab，； 5. 商的算术平方根的性质：(00) aa ab b b ，. 6.若0ab，则ab. 要点诠释：要点诠释： 与与的异同点： （1）不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数 a 的算术平方根的平方，而 表示一个实数 a 的平方的算术平方根；在中，而中 a 可以是正实数，0，负实 第 5 页 共 10 页 数但与都是非负数，即，因而它的运算的结果是有差别的， ，而 （2）相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义， 而. 考点考点五五、二次根式的运算、二次根式的运算 1 1二次根式的乘除运算二次根式的乘除运算 (1)运算结果应满足以下两个要求：应

9、为最简二次根式或有理式；分母中不含根号. (2)注意知道每一步运算的算理； 2 2二次根式的加减运算二次根式的加减运算 先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质； 3 3二次根式的混合运算二次根式的混合运算 (1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括 号，应先算括号里面的； (2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法 则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 要点诠释：要点诠释： 怎样快速准确地进行二次根式的混合运算. 1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减

10、，有括号先算括号里面的； 2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用； 3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径， 往往能收到事半功倍的效果. (1)加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难 点分散，易于理解和掌握.在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分，达 到化简的目的，但最后结果一定要化简. 例如 8 26 27 ，没有必要先对 8 27 进行化简，使计算繁琐，可以先根据乘法分配律进行 乘法运算， 884 266262 3 27273 ，通过约分

11、达到化简目的； (2)多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用. 如： 22 3232321，利用了平方差公式. 所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化. 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、分式的意义分式的意义 第 6 页 共 10 页 1使代数式 12 x x 有意义的x的取值范围是（ ） A.0x B. 2 1 x C.0x且 2 1 x D.一切实数 【答案】C； 【解析】解不等式组 0 210 x x 得0x且 2 1 x，故选 C 【点评】代数式有意义，就是要使代数式中的分式的分母不为零；代数式中的二次根式的被开方数是非 负数，即需要x中

12、的 x0；分母中的 2x-10. 举一反三：举一反三： 【变式变式】当x取何值时，分式 12 9 2 2 xx x 有意义?值为零? 【答案】 当 2 120xx时，分式 12 9 2 2 xx x 有意义，即-34xx且时，分式 12 9 2 2 xx x 有意义. 当 2 9=0x 且 2 120xx时，分式 12 9 2 2 xx x 值为零， 解得=3x ，且-34xx，即=3x时，分式 12 9 2 2 xx x 值为零. 类型二、类型二、分式的性质分式的性质 2已知 1 4x x ,求下列各式的值. (1) 2 2 1 x x ; (2) 2 42 1 x xx . 【答案与解析】

13、 (1)因为 1 4x x ,所以 2 2 1 4x x . 即 2 2 1 216x x .所以 2 2 1 14x x . (2) 4242 2 22222 111 1 14 1 15 xxxx x xxxxx , 所以 2 42 1 115 x xx . 第 7 页 共 10 页 【点评】观察(1)和已知条件可知,将已知等式两边分别平方再整理,即可求出(1)的值;对于(2),直接求 值很困难,根据其特点和已知条件,能够求出其倒数的值,这样便可求出(2)的值. 举一反三：举一反三： 【变式变式】已知 111 , abab 求 ba ab 的值. 【答案】 由 111 , abab 得 1

14、, ab abab 所以 2 (),abab即 22 abab . 所以 22 1 baabab ababab . 类型三、分式的运算类型三、分式的运算 3计算 2 31221 2422aaaa 【答案与解析】 2 31221 2422aaaa 3(2)122(2)2 (2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2) 3186 (2)(2)(2)(2) 3. aaa aaaaaaaa aa aaaa 【点评】异分母分式相加减，先根据分式的基本性质进行通分，转化为同分母分式，再进行相加减.在 通分时，先确定最简公分母，然后将各分式的分子、分母都乘以分母与最简公分母所差的因式. 运算的结果应根据分

15、式的基本性质化为最简形式. 举一反三：举一反三： 【变式变式】已知12 a，化简求值： 2 4 ) 44 1 2 2 ( 22 a a aa a aa a 【答案】原式 4 2 )2( 1 )2( 2 2 a a a a aa a 4 1 ) 2 12 ( aa a a a 1 )2( 1 4 1 )2( 4 aaaaa a 类型四、分式方程及应用类型四、分式方程及应用 第 8 页 共 10 页 4如果方程 11 3 22 x xx 有增根, 那么增根是 . 【答案与解析】 因为增根是使分式的分母为零的根,由分母20x或20x可得2x.所以增根是2x. 答案: 2x 【点评】使分母为 0 的根

16、是增根. 5为创建“国家卫生城市”，进一步优化市中心城区的环境，德州市政府拟对部分路段的人行道 地砖、花池、排水管道等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，须在 60 天内完成工程现在 甲、乙两个工程队有能力承包这个工程经调查知道：乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多 用 25 天， 甲、乙两队合作完成工程需要 30 天，甲队每天的工程费用 2500 元， 乙队每天的工程费用 2000 元 （1）甲、乙两个工程队单独完成各需多少天？ （2）请你设计一种符合要求的施工方案，并求出所需的工程费用 【答案与解析】 （1）设甲工程队单独完成该工程需 x 天，则乙工程队单独完成该工程需（x+2

17、5）天 根据题意得： 3030 1 5xx + + 2 方程两边同乘以 x（x+25） ，得 30（x+25）+30x=x（x+25） ， 即 x 235x750=0 解之，得 x1=50，x2=15 经检验，x1=50，x2=15 都是原方程的解 但 x2=15 不符合题意，应舍去 当 x=50 时，x+25=75 答：甲工程队单独完成该工程需 50 天，则乙工程队单独完成该工程需 75 天 （2）此问题只要设计出符合条件的一种方案即可 方案一：由甲工程队单独完成 （ 所需费用为：250050=125000（元） 方案二：由甲乙两队合作完成 所需费用为： （2500+2000）30=1350

18、00（元） 【点评】本题考查分式方程在工程问题中的应用分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是 解决问题的关键工程问题的基本关系式：工作总量=工作效率工作时间 （1）如果设甲工程队单独完成该工程需 x 天，那么由“乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独 完成多用 25 天”，得出乙工程队单独完成该工程需（x+25）天再根据“甲、乙两队合作完 成工程需要 30 天”，可知等量关系为：甲工程队 30 天完成该工程的工作量+乙工程队 30 天 完成该工程的工作量=1 （2）首先根据（1）中的结果，排除在 60 天内不能单独完成该工程的乙工程队，从而可知符合 要求的施工方案有两种：方案一：由甲工程

19、队单独完成；方案二：由甲乙两队合作完成针对 每一种情况，分别计算出所需的工程费用 举一反三：举一反三： 【变式变式】莱芜盛产生姜，去年某生产合作社共收获生姜 200 吨，计划采用批发和零售两种方式销售经 第 9 页 共 10 页 市场调查，批发每天售出 6 吨 （1）受天气、场地等各种因素的影响，需要提前完成销售任务在平均每天批发量不变的情况下， 实际平均每天的零售量比原计划增加了 2 吨，结果提前 5 天完成销售任务那么原计划零售 平均每天售出多少吨？ （2）在（1）的条件下，若批发每吨获得利润为 2000 元，零售每吨获得利润为 2200 元，计算实 际获得的总利润 【答案】 （1）设原计

20、划零售平均每天售出 x 吨 根据题意，得5 )2(6 200 6 200 xx ， 解得 x1=2，x2=16 经检验，x=2 是原方程的根，x=16 不符合题意，舍去 答：原计划零售平均每天售出 2 吨 （2）天20 226 200 实际获得的总利润是：2000620+2200420=416000（元） 类型五、二次根式的定义及性质类型五、二次根式的定义及性质 6当x取何值时，913x 的值最小？最小值是多少？ 【答案与解析】 91x 0， 913 3x ， 当 9x+1=0，即 1 9 x 时，91 33x 有最小值，最小值为 3. 【点评】解决此类问题一定要熟练掌握二次根式的非负性，即a0（a0）. 由二次根式的非负性可知9191xx0，即的最小值为 0，因为 3 是常数， 所以913x 的最小值为 3. 类型六、二次类型六、二次根式的运算根式的运算 7计算： 1 (4 643 8)2 2 2 ； 【答案与解析】 原式22)262264( . 232 【点评】本题主要考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时一般先把二次根式化为最简二次根 第 10 页 共 10 页 式的形式后再运算