北京四中数学中考总复习：二次函数--知识讲解（基础）

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1、第 1 页 共 12 页 中考总复习：中考总复习：二次函数二次函数知识讲解（基础）知识讲解（基础） 【考纲要求】【考纲要求】 1二次函数的概念常为中档题主要考查点的坐标、确定解析式、自变量的取值范围等； 2二次函数的解析式、开口方向、对称轴、顶点坐标等是中考命题的热点； 3抛物线的性质、平移、最值等在选择题、填空题中都出现过，覆盖面较广，而且这些内容的综合题 一般较难，在解答题中出现 【知识网络】【知识网络】 【考点梳理】【考点梳理】 考考点一、点一、二次函数的定义二次函数的定义 一般地，如果 2 yaxbxc（a、b、c 是常数，a0） ，那么 y 叫做 x 的二次函数 要点诠释：要点诠释：

2、 二次函数 2 yaxbxc(a0)的结构特征是：(1)等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次 式，x 的最高次数是 2(2)二次项系数 a0 考考点二、二次函数的点二、二次函数的图象图象及性质及性质 1.二次函数 2 yaxbxc(a0)的图象是一条抛物线，顶点为 2 4 , 24 bacb aa 2.当 a0 时，抛物线的开口向上；当 a0 时，抛物线的开口向下 3.|a|的大小决定抛物线的开口大小|a|越大，抛物线的开口越小，|a|越小，抛物线的开口越大 c 的大小决定抛物线与 y 轴的交点位置c0 时，抛物线过原点；c0 时，抛物线与 y 轴交于正半 轴；c0 时，抛物线与 y

3、轴交于负半轴 ab 的符号决定抛物线的对称轴的位置当 ab0 时，对称轴为 y 轴；当 ab0 时，对称轴在 y 轴 第 2 页 共 12 页 左侧；当 ab0 时，对称轴在 y 轴的右侧 4.抛物线 2 ()ya xhk的图象，可以由 2 yax的图象移动而得到 将 2 yax向上移动 k 个单位得： 2 yaxk 将 2 yax向左移动 h 个单位得： 2 ()ya xh 将 2 yax先向上移动 k(k0)个单位， 再向右移动 h(h0)个单位， 即得函数 2 ()ya xhk的 图象 要点诠释：要点诠释： 求抛物线 2 yaxbxc（a0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式

4、法、代入法， 这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用 考考点三、点三、二次函数的解析式二次函数的解析式 1.1.一般式一般式： 2+ yaxbxc(a0) 若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为 2 yaxbxc，将已知条件代入，求出 a、 b、c 的值 2.2.交点式交点式（双根式）（双根式） ： 12 ()()(0)ya xxxxa 若已知二次函数图象与 x 轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，设所求二次函数为 12 ()()ya xxxx，将第三点(m，n)的坐标(其中 m、n 为已知数)或其他已知条件代入，求出待定系 数，最后将解析式化为一般形式 3.

5、3.顶点式顶点式： 2 ()(0)ya xhk a 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，设所求二次函数为 2 ()ya xhk，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式 4.4.对称点对称点式式： 12 ()()(0)ya xxxxm a 若已知二次函数图象上两对称点(x1，m)，(x2，m)，则可设所求二次函数为 12 ()()(0)ya xxxxm a，将已知条件代入，求得待定系数，最后将解析式化为一般形式 要点诠释：要点诠释： 已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (可以看成的图象平移后所对应的函数)

6、.已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式： （a0）.(由此得根与系数的关系：). 第 3 页 共 12 页 考考点四、二次函数点四、二次函数 2 yaxbxc(a(a0) 0) 的图象的位置与系数的图象的位置与系数 a a、b b、c c 的关系的关系 1.开口方向：a0 时，开口向上，否则开口向下 2.对称轴：0 2 b a 时，对称轴在 y 轴的右侧；当0 2 b a 时，对称轴在 y 轴的左侧 3.与 x 轴交点： 2 40bac时，有两个交点； 2 40bac时，有一个交点； 2 40bac时，没有交 点 要点诠释：要点诠释： 当 x1 时，函数 ya+b+c； 当 x-1 时，函

7、数 ya-b+c； 当 a+b+c0 时，x1 与函数图象的交点在 x 轴上方，否则在下方； 当 a-b+c0 时，x-1 与函数图象的交点在 x 轴的上方，否则在下方 考考点五、点五、二次函数的最值二次函数的最值 1.当 a0 时，抛物线 2 yaxbxc有最低点，函数有最小值，当 2 b x a 时， 2 4 4 acb y a 最小 2.当 a0 时，抛物线 2 yaxbxc有最高点，函数有最大值，当 2 b x a 时， 2 4 4 acb y a 最大 要点诠释：要点诠释： 在求应用问题的最值时，除求二次函数 2 yaxbxc的最值，还应考虑实际问题的自变量的取值 范围 【典型例题】

8、【典型例题】 类型一、类型一、应用二次函数的定义求值应用二次函数的定义求值 1二次函数 y=x 2-2（k+1）x+k+3 有最小值-4，且图象的对称轴在 y 轴的右侧，则 k 的值 是 【思路点拨】 因为图象的对称轴在 y 轴的右侧， 所以对称轴 x=k+10， 即 k-1； 又因为二次函数 y=x 2-2 （k+1） x+k+3 有最小值-4，所以 y最小值= 4 4 2 （k+3）-( 2k+2) =-4，可以求出 k 的值 【答案与解析】 解：图象的对称轴在 y 轴的右侧， 对称轴 x=k+10， 解得 k-1， 二次函数 y=x 2-2（k+1）x+k+3 有最小值-4， 第 4 页

9、 共 12 页 y最小值= 4 4 2 （k+3）-( 2k+2) =k+3-（k+1） 2=-k2-k+2=-4， 整理得 k 2+k-6=0， 解得 k=2 或 k=-3， k=-3-1，不合题意舍去， k=2 【总结升华】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法， 第三种是公式法 举一反三：举一反三： 【变式变式】已知 2 4 (3) kk ykx 是二次函数，求 k 的值 【答案】 2 4 (3) kk ykx 是二次函数，则 2 42, 30 kk k ， 由 2 42kk得 2 60kk， 即(3)(2)0kk，得 1 3k ， 2 2k 显然，当

10、 k-3 时， 原函数为 y0，不是二次函数 k2 即为所求 类型二、类型二、二次函数的图象及性质的应用二次函数的图象及性质的应用 2把抛物线 2 yx 向左平移 1 个单位，然后向上平移 3 个单位，则平移后抛物线的解析式 为( ) A 2 (1)3yx B 2 (1)3yx C 2 (1)3yx D 2 (1)3yx 【思路点拨】 抛物线的平移问题，实质上是顶点的平移，原抛物线 y=-x 2顶点坐标为（0，0） ，向左平移 1 个单位，然 后向上平移 3 个单位后，顶点坐标为（-1，3） ，根据抛物线的顶点式可求平移后抛物线的解析式 【答案】 D； 【解析】根据抛物线的平移规律可知： 2

11、yx 向左平移 1 个单位可变成 2 (1)yx ， 再向上平移 3 个单位后可变成 2 (1)3yx 【总结升华】(1) 2 yax图象向左或向右平移|h|个单位，可得 2 ()ya xh的图象(h0 时向左，h0 第 5 页 共 12 页 时向右) (2) 2 yax的图象向上或向下平移|k|个单位，可得 2 yaxk的图象(k0 时向上，k0 时向下) 举一反三：举一反三： 【变式变式】将二次函数 2 yx的图象向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度后，所得图象的函 数表达式是( ) A 2 (1)2yx B 2 (1)2yx C 2 (1)2yx D 2 (1)2yx 【

12、答案】按照平移规律“上加下减，左加右减”得 2 (1)2yx故选 A. 类型三、求二次函数的解析式类型三、求二次函数的解析式 3已知二次函数 2 yaxbxc的图象经过点(1，0)，(-5，0)，顶点纵坐标为 9 2 ，求这个二次 函数的解析式 【思路点拨】 将点（1，0），（-5，0）代入二次函数 y=ax 2+bx+c，再由 4 9 42 ac a 2 -b ，从而求得 a，b，c 的值， 即得这个二次函数的解析式 【答案与解析】 解法一：由题意得 0, 2550, 9 42, 2 abc abc abc 解得 1 , 2 2, 5 . 2 a b c 所以二次函数的解析式为 2 15 2

13、 22 yxx 解法二：由题意得 (1)(5)ya xx 把2x 9 2 y 代入，得 9 ( 2 1) ( 25) 2 a ，解得 1 2 a 所以二次函数的解析式为 1 (1)(5) 2 yxx ， 即 2 15 2 22 yxx 解法三：因为二次函数的图象与 x 轴的两交点为(1，0)，(-5，0)，由其对称性知， 第 6 页 共 12 页 对称轴是直线2x所以，抛物线的顶点是 9 2, 2 可设函数解析式为 2 9 (2) 2 ya x即 2 15 2 22 yxx 【总结升华】根据题目的条件，有多种方法求二次函数的解析式 举一反三：举一反三： 【变式变式】已知：抛物线 2 (1)yx

14、bxc经过点( 12 )Pb， （1）求bc的值； （2）若3b，求这条抛物线的顶点坐标； （3）若3b，过点P作直线PAy轴，交y轴于点A，交抛物线于另一点B，且2BPPA，求这 条抛物线所对应的二次函数关系式 （提示：请画示意图思考） 【答案】 解： （1）依题意得： 2 ( 1)(1)( 1)2bcb ， 2bc （2）当3b时，5c， 22 25(1)6yxxx 抛物线的顶点坐标是( 16)， （3）解法 1：当3b时，抛物线对称轴 1 1 2 b x ， 对称轴在点P的左侧 因为抛物线是轴对称图形，( 12 )Pb，且2BPPA ( 32 )Bb， 1 2 2 b y x O B P

15、 A 第 7 页 共 12 页 5b 又2bc ，7c 抛物线所对应的二次函数关系式 2 47yxx 解法 2：当3b时， 1 1 2 b x ， 对称轴在点P的左侧因为抛物线是轴对称图形， ( 12 )Pb，且2( 32 )BPPABb， 2 ( 3)3(2)2bcb 又2bc ，解得：57bc， 这条抛物线对应的二次函数关系式是 2 47yxx 解法 3：2bc ，2cb ， 2 (1)2yxbxb BPx轴， 2 (1)22xbxbb 即： 2 (1)20xbxb 解得： 12 1(2)xxb ，即(2) B xb 由2BPPA，1 (2)2 1b 57bc ， 这条抛物线对应的二次函数

16、关系式 2 47yxx. 类型四、二次函数图象的位置与类型四、二次函数图象的位置与 a a、b b、c c 的关系的关系 4如图所示是二次函数 y=ax 2+bx+c 图象的一部分，图象过 A 点（3，0），对称轴为 x=1，给出四 个结论：b 2-4ac0；2a+b=0；a+b+c=0；当 x=-1 或 x=3 时，函数 y 的值都等于 0把正确结论 的序号填在横线上 【思路点拨】 第 8 页 共 12 页 根据函数图象得出抛物线开口向下得到 a 小于 0，且抛物线与 x 轴交于两个点，得出根的判别式大于 0， 即选项正确；对称轴为 x=1，利用对称轴公式列出关于 a 与 b 的关系式，整理

17、后得到 2a+b=0，选项 正确；由图象得出 x=1 时对应的函数值大于 0，将 x=1 代入抛物线解析式得出 a+b+c 大于 0，故选项 错误；由抛物线与 x 轴的一个交点为 A（3，0），根据对称轴为 x=1，利用对称性得出另一个交点的横 坐标为-1，从而得到 x=-1 或 x=3 时，函数值 y=0，选项正确，即可得出正确的选项序号 【答案与解析】 解：由图象可知：抛物线开口向下，对称轴在 y 轴右侧，对称轴为 x=1， 与 y 轴交点在正半轴，与 x 轴有两个交点， a0，b0，c0，b 2-4ac0，选项正确； 当 x=1 时，y=a+b+c0，选项错误； 图象过 A 点（3，0）

18、，对称轴为 x=1， 另一个交点的横坐标为-1，即坐标为（-1，0）， 又1 2 b a ，2a+b=0，选项正确； 当 x=-1 或 x=3 时，函数 y 的值都等于 0，选项正确， 则正确的序号有 故答案为：. 【总结升华】 此题考查了抛物线图象与系数的关系，其中 a 由抛物线的开口方向决定，a 与 b 同号对称轴在 y 轴 左边；a 与 b 异号对称轴在 y 轴右边，c 的符合由抛物线与 y 轴的交点在正半轴或负半轴有关；抛物线 与 x 轴的交点个数决定了根的判别式的正负，此外还要在抛物线图象上找出特殊点对应函数值的正负来 进行判断 举一反三：举一反三： 【变式变式】 如图所示是二次函数

19、 2 yaxbxc图象的一部分， 图象经过点 A(-3， 0)， 对称轴为1x 给 出四个结论： 2 4bac；20ab；0a bc ；5ab其中正确结论是（ ） A B C D 【答案】 本例是利用二次函数图象的位置与 a、 b、 c 的和、 差、 积的符号问题， 其中利用直线1x ，1x 第 9 页 共 12 页 交抛物线的位置来判断abc ，a bc 的符号问题应注意理解和掌握 由图象开口向下，可知 a0，图象与 x 轴有两个交点，所以 2 40bac， 2 4bac， 确对称轴为1 2 b x a ，所以2ba，又由 a0，b2a，可得 5ab，正确 故选 B. 类型类型五五、求二次函

20、数的最值求二次函数的最值 5某商品的进价为每件 40 元，售价为每件 50 元，每个月可卖出 210 件；如果每件商品的售 价每上涨 1 元， 则每个月少卖 10 件(每件售价不能高于 65 元) 设每件商品的售价上涨 x 元(x 为正整数)， 每个月的销售利润为)y 元 (1)求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围 (2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元? (3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为 2200 元？根据以上的结论，请你直接写出售 价在什么范围时，每个月的利润不低于 2200 元? 【思路点拨】 （1）每件商品

21、的售价每上涨 1 元，则每个月少卖 10 件，当每件商品的售价上涨 x 元时，每个月可卖出 （210-10x）件，每件商品的利润为 x+50-40=10+x； （2） 每个月的利润为卖出的商品数和每件商品的乘积， 即 （210-10x） （10+x） ， 当每个月的利润恰为 2200 元时得到方程（210-10x） （10+x）=2200求此方程中 x 的值 【答案与解析】 (1)y(210-l0x)(50+x-40)-10x 2+110x+2100(0x15 且 x 为整数) (2)y-10(x-5.5) 2+2402.5 a-100， 当 x5.5 时，y 有最大值 2402.5 00）

22、，同时将直线l：3yx沿y轴正方向平移 t个单位.平移后的直线为 l，移动后A、B的对应点分别为A、B.当t为何值时，在直线 l 上存在点P，使得A B P为以BA为直角边的等腰直角三角形? 【答案】 （1）证明：令0y ,则 2 (2)20xaxa. = 22 )2(8)2(aaa 0a, 02a 0. 方程 2 (2)20xaxa有两个不相等的实数根. 抛物线与x轴有两个交点. （2）令0y ,则 2 (2)20xaxa， 解方程，得 12 2,xxa . 第 12 页 共 12 页 A在B左侧,且0a, 抛物线与x轴的两个交点为A(,0)a，B(2,0). 抛物线与y轴的交点为C， (0

23、, 2 )Ca. ,2AOa COa. 在 RtAOC中， 222 (2 5)AOCO， 22 (2 )20aa 可得 2a 0a， 2a 抛物线的解析式为 2 4yx. 依题意，可得直线 l的解析式为3yxt， A(2,0)t ,B(2,0)t ,4A BAB. A B P为以BA为直角边的等腰直角三角形， 当90PA B时，点P的坐标为(2,4)t 或(2, 4)t . 3(2)4tt. 解得 5 2 t 或 1 2 t . 当90PB A时，点P的坐标为(2,4)t 或(2, 4)t . 3(2)4tt. 解得 5 2 t 或 1 2 t （不合题意，舍去）. 综上所述， 5 2 t 或 1 2 t .