北京四中数学中考总复习:方程与不等式综合复习--知识讲解(基础)
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1、第 1 页 共 12 页 中考总复习中考总复习:方程与不等式综合复习方程与不等式综合复习知识讲解(基础知识讲解(基础) 【考纲要求】【考纲要求】 1会从定义上判断方程(组)的类型,并能根据定义的双重性解方程(组)和研究分式方程的增根情况; 2掌握解方程(组)的方法,明确解方程组的实质是“消元降次” 、 “化分式方程为整式方程” 、 “化无理 式为有理式” ; 3理解不等式的性质,一元一次不等式(组)的解法,在数轴上表示解集,以及求特殊解集; 4列方程(组)、列不等式(组)解决社会关注的热点问题; 5. 解方程或不等式是中考的必考点,运用方程思想与不等式(组)解决实际问题是中考的难点和热点 【知
2、识网络】【知识网络】 【考点梳理】【考点梳理】 考考点一、点一、一元一次方程一元一次方程 1 1. .方程方程 含有未知数的等式叫做方程. 2 2. .方程的解方程的解 能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解. 3 3. .等式的性质等式的性质 (1)等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式. (2)等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是零) ,所得结果仍是等式. 第 2 页 共 12 页 4 4. .一元一次方程一元一次方程 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 1 的整式方程叫做一元一次方程,其中方程 )为未知数,(0ax0bax叫做一元一次方程的标准
3、形式,a 是未知数 x 的系数,b 是常数项. 5.5.一元一次方程解法的一般步骤一元一次方程解法的一般步骤 整理方程 去分母 去括号 移项 合并同类项系数化为 1(检验方程的 解). 6.6.列一元一次方程解应用题列一元一次方程解应用题 (1)读题分析法:多用于“和,差,倍,分问题” 仔细读题,找出表示相等关系的关键字,例如: “大,小,多,少,是,共,合,为,完成,增加, 减少,配套” ,利用这些关键字列出文字等式,并且根据题意设出未知数,最后利用题目中的量与量的 关系填入代数式,得到方程. (2)画图分析法:多用于“行程问题” 利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现,仔细读题,
4、依照题意画出有关图形,使图 形各部分具有特定的含义,通过图形找相等关系是解决问题的关键,从而取得布列方程的依据,最后利 用量与量之间的关系(可把未知数看作已知量),填入有关的代数式是获得方程的基础. 要点诠释:要点诠释: 列方程解应用题的常用公式: (1)行程问题: 距离=速度时间 时间 距离 速度 速度 距离 时间; (2)工程问题: 工作量=工效工时 工时 工作量 工效 工效 工作量 工时 ; (3)比率问题: 部分=全体比率 全体 部分 比率 比率 部分 全体; (4)顺逆流问题: 顺流速度=静水速度+水流速度,逆流速度=静水速度-水流速度; (5)商品价格问题: 售价=定价折 10 1
5、 ,利润=售价-成本, %100 成本 成本售价 利润率; (6)周长、面积、体积问题:C圆=2R,S圆=R 2,C 长方形=2(a+b),S长方形=ab, C正方形=4a, S正方形=a 2,S 环形=(R 2-r2),V 长方体=abh,V正方体=a 3,V 圆柱=R 2h ,V 圆锥= 3 1 R 2h. 考考点点二二、一元二次方程一元二次方程 1 1. .一元二次方程一元二次方程 含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程. 2 2. .一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式 )0(0 2 acbxax,它的特征是:等式左边是一个关于未知数 x 的二次
6、多项式,等式右边是 零,其中 2 ax叫做二次项,a 叫做二次项系数;bx 叫做一次项,b 叫做一次项系数;c 叫做常数项. 3.3.一元二次方程的解法一元二次方程的解法 第 3 页 共 12 页 (1)直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于 解形如bax 2 )(的一元二次方程.根据平方根的定义可知,ax是 b 的平方根,当0b时, bax,bax,当 b0. 此时方程有两个不相等的实数 根. ( ii ) 证法一: 若 ac0, 由(2)知 a-b+kc =0, 故 b=a+kc. =b 2-4ac= (a+kc)2-4ac=a
7、2+2kac+(kc)2-4ac = a2-2kac+(kc)2+4kac-4ac =(a-kc) 2+4ac(k-1). 方程 kx=x+2 的根为正实数, 方程(k-1) x=2 的根为正实数. 由 x0, 20, 得 k-10. 4ac(k-1)0. (a-kc) 20, =(a-kc) 2+4ac(k-1)0. 此时方程有两个不相等的实数根. 证法二: 若 ac0, 抛物线 y=ax 2-bx+kc 与 x 轴有交点, 1=(-b) 2-4akc =b2-4akc0. (b 2-4ac)-( b2-4akc)=4ac(k-1). 由证法一知 k-10, b 2-4ac b2-4akc0
8、. = b 2-4ac0. 此时方程有两个不相等的实数根. 综上, 方程有两个不相等的实数根. 【总结升华】方程与函数综合题. 中考所考知识点的综合与相互渗透. 举一反三:举一反三: 【变式变式】已知关于x的一元二次方程0)2() 1(2 2 mmxmx. (1)若 x=2 是这个方程的一个根,求 m 的值和方程的另一个根; (2)求证:对于任意实数 m,这个方程都有两个不相等的实数根. 【答案】 (1)解:把 x=2 代入方程,得0)2()2() 1(24mmm, 即02 2 mm.解得0 1 m,2 2 m. 当0m时 , 原 方 程 为02 2 xx, 则 方 程 的 另 一 个 根 为
9、0x. 当2m时 , 原 方 程 为082 2 xx, 则 方 程 的 另 一 个 根 为4x. (2)证明:)2(4) 1(2 2 mmm48 2 m, 第 8 页 共 12 页 对于任意实数 m,0 2 m, 048 2 m. 对于任意实数 m,这个方程都有两个不相等的实数根. 类型类型二二、解不等式解不等式(组)(组) 3解不等式组 3(1)54, 121, 23 xx xx 并将解集在数轴上表示出来 【思路点拨】 此题考查一元一次不等式组的解法,解出不等式组中的每个不等式,根据不等式组解的四种情况, 看看属于哪种情况 【答案与解析】 解不等式得: 1 2 x 解不等式得:x-1 所以不
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