北京四中数学中考冲刺：动手操作与运动变换型问题--知识讲解（提高）

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1、第 1 页 共 16 页 中考中考冲刺冲刺：动手操作与运动变换型问题动手操作与运动变换型问题知识讲解（知识讲解（提高提高） 【中考展望】【中考展望】 1对于实践操作型问题，在解题过程中学生能够感受到数学学习的情趣与价值，经历“数学化” 和“再创造”的过程，不断提高自己的创新意识与综合能力，这是全日制义务教育数学课程标准(实 验稿)的基本要求之一，因此，近年来实践操作性试题受到命题者的重视，多次出现. 2估计在今年的中考题中，实践操作类题目依旧是出题热点，仍符合常规题型，与三角形的全等 和四边形的性质综合考查需具备一定的分析问题能力和归纳推理能力 图形的设计与操作问题，主要分为如下一些类型： 1

2、已知设计好的图案，求设计方案(如：在什么基本图案的基础上，进行何种图形变换等) 2利用基本图案设计符合要求的图案(如：设计轴对称图形，中心对称图形，面积或形状符合特定 要求的图形等) 3图形分割与重组(如：通过对原图形进行分割、重组，使形状满足特定要求) 4动手操作(通过折叠、裁剪等手段制作特定图案) 解决这样的问题，除了需要运用各种基本的图形变换(平移、轴对称、旋转、位似)外，还需要综合 运用代数、几何知识对图形进行分析、计算、证明，以获得重要的数据，辅助图案设计 另外，由于折叠操作相当于构造轴对称变换，因此折叠问题中，要充分利用轴对称变换的特性，以 获得更多的图形信息必要时，实际动手配合上

3、理论分析比单纯的理论分析更为快捷有效 从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的.动态问题一般分两类，一类 是代数综合题，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解.另一类就是几何综合题， 在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考查.所以说， 动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分. 【方法点拨】【方法点拨】 实践操作问题：实践操作问题： 解答实践操作题的关键是要学会自觉地运用数学知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题， 揭示其数学本质，并转化为我们所熟悉的数学问题解答实践操作题的基本步骤为：从实例

4、或实物出发， 通过具体操作实验，发现其中可能存在的规律，提出问题，检验猜想在解答过程中一般需要经历操作、 观察、思考、想象、推理、探索、发现、总结、归纳等实践活动过程，利用自己已有的生活经验和数学 知识去感知发生的现象，从而发现所得到的结论，进而解决问题 动态几何问题：动态几何问题： 第 2 页 共 16 页 1、动态几何常见类型 （1）点动问题（一个动点） （2）线动问题（二个动点） （3）面动问题（三个动点） 2、运动形式 平移、旋转、翻折、滚动 3、数学思想 函数思想、方程思想、分类思想、转化思想、数形结合思想 4、解题思路 （1）化动为静，动中求静 （2）建立联系，计算说明 （3）特殊

5、探路，一般推证 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、图形的剪图形的剪拼问题拼问题 1直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形方法如下(如图所示)： 请你用上面图示的方法，解答下列问题： (1)对下图中的三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形； (2)对下图中的四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形 【思路点拨】 对于三角形的分割重组，要想拼成一个矩形，则分割时必须构造出直角来，示例中通过作中位线 的垂线段而分割出两个直角三角形 对于四边形的分割重组， 可以先把四边形转化为三角形的问题， 第 3 页 共

6、16 页 再利用三角形的分割重组方法进行 【答案与解析】 解：(1)如图所示： (2)如图所示： 【总结升华】 按照三角形的剪拼方法，探索规律，将任意四边形先分割成三角形，再进行剪拼，使学生经历由简 单到复杂的探索过程 举一反三：举一反三： 【变式变式】如图所示，将一张正方形纸片经两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平，得到的图形是 ( ) 【答案】 裁剪之后，将最后折叠成的小正方形按原来对折相反的方向展开，折痕(虚线)所在直线即为对称 轴，则剪出的菱形小洞会对称地出现在折痕的另一侧，见下图： 第 4 页 共 16 页 故选 D 类型二、类型二、实践操作实践操作 2如图所示，现有一张边长为 4

7、 的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、 点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在 P 处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、 BH （1）求证：APB=BPH； （2）当点P在边AD上移动时，PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论； （3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出 S 与x的函数关系式，试问 S 是否存在最小值？若存在， 求出这个最小值；若不存在，请说明理由 【思路点拨】 （1）要证APB=BPH，由内错角APB=PBC，即证PBC=BPH，折叠后EBP=EPB=90，再 由性质等角的余角相等即可得证 （2）PHD 的周长为 PD+D

8、H+PH过 B 作 BQPH 构造直角三角形，再 利用三角形全等：ABPQBP 和BCHBQH证明 AP=QP， CH=QH，可得其周长为定值 （3） 1 () 2 SBECF BC，关键是用 x 来表示 BE、CF过F作FMAB，垂足为M，先由边角关系得EFM BPA，得EMAP=x在 RtAPE 中可由勾股定理表示出 BE，再由 2 2 8 x CFBEEMx， 很容易用 x 表示出 S，再配方求最值 【答案与解析】 解： （1）PE=BE， EBP=EPB 又EPH=EBC=90， EPH-EPB=EBC-EBP 即PBC=BPH 第 5 页 共 16 页 又ADBC， APB=PBC

9、APB=BPH （2）PHD的周长不变，为定值 8 证明：过B作BQPH，垂足为Q 由（1）知APB=BPH， 又A=BQP=90，BP=BP， ABPQBP AP=QP, AB=BQ 又 AB=BC， BC = BQ 又C=BQH=90，BH=BH， BCHBQH CH=QH PHD 的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8. （3）过F作FMAB，垂足为M，则FMBCAB. 又EF为折痕，EFBP. 90EFMMEFABPBEF， EFMABP 又A=EMF=90， EFMBPA EMAP=x 在 RtAPE中， 222 (4)BExBE 第 6 页 共 16 页

10、 解得， 2 2 8 x BE 2 2 8 x CFBEEMx 又四边形PEFG与四边形BEFC全等， 2 11 ()(4) 4 224 x SBECF BCx 即： 2 1 28 2 Sxx 配方得， 2 1 (2)6 2 Sx， 当x=2 时，S有最小值 6 【总结升华】 本题将函数和几何知识较好的综合起来，对能力的要求较高本题考查了三角形全等、正方形的性 质、勾股定理、梯形的面积公式、折叠的性质、二次函数等相关知识难度较大，是一道很好的压轴题， 通过此题能够反映出学生的思维能力及数学知识的掌握程度，解答本题要学会将题目中的已知量与待求 量联系起来此题的关键是证明几组三角形的全等，以及用

11、x 来表示 S 3刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图、图中，B90， A90，A30，BC6 cm；图(参中，D90，E45，DE4 cm图是刘卫同学所做 的一个实验：他将DEF 的直角边 DE 与ABC 的斜边 AC 重合在一起，并将DEF 沿 AC 方向移动在移 动过程中，D、E 两点始终在 AC 边上(移动开始时点 D 与点 A 重合) (1)在DEF 沿 AC 方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C 两点间的距离逐渐_(填“不 变” 、 “变大”或“变小”) (2)刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题： 问题：当DEF 移动至什么位置，即 AD 的长为多少时

12、，F、C 的连线与 AB 平行? 问题：当DEF 移动至什么位置，即 AD 的长为多少时，以线段 AD、FC、BC 的长度为三边长的三 角形是直角三角形? 问题：在DEF 的移动过程中，是否存在某个位置，使得FCD15？如果存在，求出 AD 的长 度；如果不存在，请说明理由 请你分别完成上述三个问题的解答过程 第 7 页 共 16 页 【思路点拨】 本题以动三角形为背景，考查特殊角的三角函数值、勾股定理 【答案与解析】 解：(1)变小 (2)问题： B90，A30，BC6， AC12 FDE90，DEF45，DE4， DF4 连结 FC，设 FCAB， FCDA30 在 RtFDC 中，DC4

13、 3 ADACDC124 3 即 AD(124 3)cm 时，FCAB 问题： 设 ADx，在 RtFDC 中，FC 2DC2+FD2(12-x)2+16 (i)当 FC 为斜边时，由 AD 2+BC2FC2得222 6(12)16xx， 31 6 x (ii)当 AD 为斜边时， 由 222 FCBCAD得 22 (12)16xx， 49 8 6 x (不符合题意， 舍去) (iii)当 BC 为斜边时，由 222 ADFCBC得 222 (12)166xx， 2 12620xx， 第 8 页 共 16 页 1442480， 方程无解 另解：BC 不能为斜边 FCCDFC+AD12 FC、A

14、D 中至少有一条线段的长度大于 6 BC 不能为斜边 由(i)、(ii)、(iii)得，当 31 6 x cm 时，以线段 AD、FC、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角 形 问题： 解法一：不存在这样的位置，使得FCD15 理由如下：假设FCD15 由FED45，得EFC30 作EFC 的平分线，交 AC 于点 P， 则EFPCFPFCP15， PFPCDFPDFE+EFP60 PD4 3，PCPF2FD8 PC+PD8+4 312 不存在这样的位置，使得FCD15 解法二：不存在这样的位置，使得FCD15 假设FCD15，设 ADx 由FED45，得EFC30 作 EHFC，垂足为 H

15、 第 9 页 共 16 页 HE 1 2 EF2 2，CEACADDE8-x， 且 22 (12)16FCx FDCEHC90，DCF 为公共角， CHECDF ECHE FCDF 又 2 2 2 21 42 HE DF ， 2 1 2 EC FC 整理后，得到方程 2 2 (8)1 (12)162 x x 1 44 30x (不符合题意，舍去)， 2 44 38x (不符合题意，舍去) 不存在这样的位置，使得FCD15 【总结升华】 本题的突破点是将图形静止于所要求的特殊位置，根据题中条件得出相应的结论本题涉及分类讨 论思想、方程思想，有一定的难度 举一反三：举一反三： 【变式变式】 如图，

16、 直角梯形 OBCD 是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图， 其中 DCOB， OB=6,CD=BC=4， BCOB 于 B,以 O 为坐标原点，OB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，开发区综合服务管理委员会（其 占地面积不计）设在点 P（4,2）处.为了方便驻区单位准备过点 P 修一条笔直的道路（路宽不计） ，并且 是这条路所在的直线 将直角梯形 OBCD 分成面积相等的两部分，你认为直线 是否存在？若存在求出直 线 的解析式,若不存在，请说明理由. 第 10 页 共 16 页 【答案】 解：如图，存在符合条件的直线 ， 过点 D 作 DAOB 于点 A， 则点 P（4，2）为矩形

17、 ABCD 的对称中心 过点 P 的直线只要平分的面积即可. 易知，在 OD 边上必存在点 H，使得直线 PH 将面积平分， 从而，直线 PH 平分梯形 OBCD 的面积. 即直线 PH 为所求直线 设直线 PH 的表达式为且过点 直线 OD 的表达式为 解之，得 点 H 的坐标为 PH 与线段 AD 的交点 F 的坐标为 第 11 页 共 16 页 解之，得 直线l的表达式为 类型三、类型三、平移旋转型操作题平移旋转型操作题 4两个全等的直角三角形 ABC 和 DEF 重叠在一起，其中A60，AC1固定ABC 不动，将 DEF 进行如下操作： (1)如图所示，DEF 沿线段 AB 向右平移(

18、即 D 点在线段 AB 内移动)，连结 DC、CF、FB，四边形 CDBF 的形状在不断地变化，但它的面积不变化，请求出其面积 (2)如图所示，当 D 点移动到AB 的中点时，请你猜想四边形 CDBF 的形状，并说明理由 (3)如图所示，DEF 的 D 点固定在 AB 的中点，然后绕 D 点按顺时针方向旋转DEF，使 DF 落在 AB 边上，此时，点恰好与 B 点重合，连结 AE，请你求出 sin的值 【思路点拨】 平移时，CFAD，ADBE，根据等底等高的特征，将求梯形面积转化为求 ABC S，旋转时需知道 ABE90，BECB，运用相似等知识解答 第 12 页 共 16 页 【答案与解析】

19、 【解析】(1)过 C 点作 CGAB 于 G，如图 在 RtAGC 中，sin60 CG AC ， 3 2 CG AB2， 133 2 222 ABCCDBF SS 梯形 (2)菱形 CDBF，FCBD，四边形 CDBF 是平行四边形 DFAC，ACB90， CBDF， 四边形 CDBF 是菱形 (3)解法一：过 D 点作 DH AE 于 H，如图， 则 113 13 222 ADE SADEB ， 又 13 22 ADE SAEDH ， 3321 77 DH AE 或 第 13 页 共 16 页 在 RtDHE 中， 321 sin 142 7 DH DE 或 解法二：ADHAEB， DH

20、AD BEDE ，即 1 37 DH ， 3 7 DH ， 321 sin 142 7 DH DE 或 【总结升华】 本题是平移和旋转类型的操作题，需知道平移和旋转的性质，这两种变换都是全等变换. 类型四、类型四、动态数学问题动态数学问题 5如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4） ，动点A以每秒 1 个单位长的速度，从点O 出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转90，得到 线段AB过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D，运动时间为t秒 （1）当点B与点D重合时，求t的值； （2）设BCD的面积为S，当t为何值时，

21、 4 25 S； （3）连接MB，当MBOA时，如果抛物线axaxy10 2 的顶点在ABM内部（不包括边） ，求 a 的取值 范围 【思路点拨】 （1）易证 RtCAORtABE；当 B、D 重合时，BE 的长已知（即 OC 长） ，根据 AC、AB 的比例关系，可 得 AO、BE 的比例关系，由此求得 t 的值 （2）求BCD 的面积时，可以 CD 为底、BD 为高来解，那么表示出 BD 的长是关键；RtCAORtABE， 且知道 AC、AB 的比例关系，即可通过相似三角形的对应边成比例求出 BE 的长，进一步得到 BD 的长， 第 14 页 共 16 页 在表达 BD 长时，应分两种情况

22、考虑：B 在线段 DE 上，B 在 ED 的延长线上 （3）通过配方法，可得抛物线的顶点坐标，将其横坐标分别代入直线 MB、AB 的解析式中，可得抛物线 对称轴与这两条直线的交点坐标，根据这两个坐标即可判定出 a 的取值范围 【答案与解析】 解：解： （1）90BAECAO，90BAEABE， ABECAO RtCAORtABE BE AO AB CA ， 4 2t AB AB ， 8t （2）由 RtCAORtABE可知：tBE 2 1 ，2AE 当 0t8 时， 4 25 ) 2 4)(2( 2 1 2 1 t tBDCDS 3 21 tt 当t8 时， 4 25 )4 2 )(2( 2

23、1 2 1 t tBDCDS 253 1 t，253 2 t（为负数，舍去） 当3t或253时， 4 25 S （3）如图，过M作MNx轴于N，则2 2 1 COMN 当MBOA时，2 MNBE，42 BEOA 抛物线axaxy10 2 的顶点坐标为（5，a25） 它的顶点在直线5x上移动直线5x交MB于点（5，2） ，交AB于点（5，1） 1a252 第 15 页 共 16 页 25 2 a 25 1 【总结升华】 本题是二次函数综合题，属于图形的动点问题，前两问的关键在于找出相似三角形，得到关键线段 的表达式，注意点在运动过程中未知数的取值范围问题最后一问中，先得到抛物线的顶点坐标是简化

24、解题的关键 举一反三：举一反三： 【变式变式】如图，平行四边形 ABCD 中，AB=10，AD=6，A=60，点 P 从点 A 出发沿折线 AB-BC 以每秒 1 个单位长的速度向点 C 运动，当 P 与 C 重合时停止运动，过点 P 作 AB 的垂线 PQ 交 AD 或 DC 于 Q设 P 运动时间为 t 秒，直线 PQ 扫过平行四边形 ABCD 的面积为 S求 S 关于 t 的函数解析式 【答案】 解： （1） 2 13 S=3(03) 22 tttt ； （2） 19 3 S=-33 33 3 -(310) 22 tttt（） ； （3） 1 16-t3(16) S=10 3 3- 222 t 3 =10 3 3-16- 8 t 2 （） 2 3 -4 32 3(1016) 8 ttt . 综上，S 关于 t 的函数解析式为： 第 16 页 共 16 页 2 2 3 (03) 2 9 3 3 3 -(310) 2 3 -4 32 3 (1016) 8 tt Stt ttt