北京四中数学中考冲刺：几何综合问题--知识讲解（提高）

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1、第 1 页 共 14 页 中考中考冲刺冲刺：几何综合几何综合问问题题知识讲解（提高知识讲解（提高） 【中考展望中考展望】 几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要 考查学生综合运用几何知识的能力.这类题型在近几年全国各地中考试卷中占有相当的分量，不仅有选 择题、填空题、几何推理计算题以及代数与几何的综合计算题,还有更注重考查学生分析问题和解决问 题能力的探究性的问题、方案设计的问题等等.主要特点是图形较复杂，覆盖面广、涉及的知识点较多， 题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答. 几何综合题的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运

2、动型、情景型等，背景鲜活，具有 实用性和创造性，考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能 力. 以几何为主的综合题常常在一定的图形背景下研究以下几个方面的问题： 1、证明线段、角的数量关系（包括相等、和、差、倍、分及比例关系等） ； 2、证明图形的位置关系（如点与线、线与线、线与圆、圆与圆的位置关系等） ； 3、几何计算问题； 4、动态几何问题等. 【方法点拨方法点拨】 一、几何计算型综合问题，常常涉及到以下各部分的知识： 1、与三角形有关的知识； 2、等腰三角形，等腰梯形的性质； 3、直角三角形的性质与三角函数； 4、平行四边形的性质； 5、全等三角形，相似

3、三角形的性质； 6、垂径定理，切线的性质，与正多边形有关的计算； 7、弧长公式与扇形面积公式. 二、几何论证型综合题的解答过程，要注意以下几个方面： 1、注意图形的直观提示，注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过 添加辅助线补全或构造基本图形； 2、注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础，要由已知联想经 验，由未知联想需要，不断转化条件和结论来探求思路，找到解决问题的突破点； 3、要运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题，还要灵活运用 数学思想方法如数形结合、分类讨论、转化、方程等思想来解决问题. 【典型例题】【典型例题】 类型一

4、、类型一、动态动态几何几何型问题型问题 1已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接DF，G为 DF中点，连接EG CG， （1）直接写出线段EG与CG的数量关系； （2）将图 1 中BEF绕B点逆时针旋转45，如图 2 所示，取DF中点G，连接EG CG，你在（1）中 得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明 （3）将图 1 中BEF绕B点旋转任意角度，如图 3 所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍 然成立？（不要求证明） 第 2 页 共 14 页 图3 图2 图1 F E A BC D A BC D E F G G F E D CB A 【

5、思路点拨】本题的核心条件就是 G 是中点，中点往往暗示很多的全等关系，如何构建一对我们想要的 全等三角形就成为了分析的关键所在.连接 AG 之后，抛开其他条件，单看 G 点所在的四边形 ADFE，我们 会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想到过 G 点做 AD,EF 的垂线. 于是两个全等的三角形出现了. 第三问在BEF 的旋转过程中，始终不变的依然是 G 点是 FD 的中点.可以延长一倍 EG 到 H，从而构造一 个和 EFG 全等的三角形，利用 BE=EF 这一条件将全等过渡.要想办法证明三角形 ECH 是一个等腰直角三 角形，就需要证明三角形 EBC 和三角形

6、 CGH 全等，利用角度变换关系就可以得证了. 【答案与解析】 （1）CGEG （2） （1）中结论没有发生变化，即CGEG 证明：连接AG，过G点作MNAD于M，与EF的延长线交于N点 在DAG与DCG中， ADCDADGCDG DGDG， DAGDCG AGCG 在DMG与FNG中， DGMFGN FGDGMDGNFG， DMGFNG MGNG 在矩形AENM中，AMEN 在Rt AMG与Rt ENG中， AMEN MGNG， AMGENG AGEG EGCG M N 图2 A BC D E F G （3） （1）中的结论仍然成立 第 3 页 共 14 页 G 图3 F E A BC D

7、【总结升华】本题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题.从旋转 45到旋转任意角度，要求讨论其 中的不变关系. 举一反三：举一反三： 【变式变式】已知：如图（1） ，射线/AM射线BN，AB是它们的公垂线，点D、C分别在AM、BN 上运动（点D与点A不重合、点C与点B不重合） ，E是AB边上的动点（点E与A、B不重合） ， 在运动过程中始终保持ECDE ，且aABDEAD （1）求证：ADEBEC； （2）如图（2） ，当点E为AB边的中点时，求证：CDBCAD； （3）设mAE ，请探究：BEC的周长是否与m值有关？若有关，请用含有m的代数式表示 BEC的周长；若无关，请说明理由 【答案】 （

8、1）证明：ECDE ，90DEC 90BECAED 又90BA，90EDAAED EDABECADEBEC （2）证明：如图，过点E作EFBC/，交CD于点F， E是AB的中点，容易证明)( 2 1 BCADEF 第 4 页 共 14 页 在DECRt中， CFDF ， CDEF 2 1 )( 2 1 BCADCD 2 1 CDBCAD （3）解：AED的周长DEADAEma，maBE 设xAD，则xaDE 90A， 222 ADAEDE即 2222 2xmxaxa a ma x 2 22 由（1）知ADEBEC， 的周长 的周长 BEC ADE BE AD ma a ma 2 22 a ma

9、 2 BEC的周长 ma a2 ADE的周长a2 BEC的周长与m值无关 2在ABC 中，ACB=45点 D（与点 B、C 不重合）为射线 BC 上一动点，连接 AD，以 AD 为一 边且在 AD 的右侧作正方形 ADEF （1）如果 AB=AC如图，且点 D 在线段 BC 上运动试判断线段 CF 与 BD 之间的位置关系，并证明你 的结论 （2）如果 ABAC，如图，且点 D 在线段 BC 上运动 （1）中结论是否成立，为什么？ （3）若正方形 ADEF 的边 DE 所在直线与线段 CF 所在直线相交于点 P，设 AC4 2，3BC，CD=x， 求线段 CP 的长 （用含x的式子表示） 【思

10、路点拨】(1)由题干可以发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进 行传递，就可以得解. (2)是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，和上题 一样找 AC 的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解. (3)D 在 BC 之间运动和它在 BC 延长线上运动时的位置是不一样的， 所以已给的线段长度就需要分情况去 第 5 页 共 14 页 考虑到底是 4+X 还是 4-X.分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出 CP. 【答案与解析】 （1）结论：CFBD； 证明如下：AB=AC ，ACB=45，ABC=45 由正方形 ADE

11、F 得 AD=AF ，DAF=BAC =90， DAB=FAC，DABFAC ， ACF=ABD BCF=ACB+ACF= 90即 CFBD （2）CFBD(1)中结论仍成立 理由是：过点 A 作 AGAC 交 BC 于点 G，AC=AG 可证：GADCAF ACF=AGD=45 BCF=ACB+ACF= 90 即 CFBD （3）过点 A 作 AQBC 交 CB 的延长线于点 Q， 点 D 在线段 BC 上运动时， BCA=45，可求出 AQ= CQ=4DQ=4-x， 易证AQDDCP， CPCD DQAQ ， 44 CPx x ， 2 4 x CPx 点 D 在线段 BC 延长线上运动时，

12、 BCA=45，AQ=CQ=4， DQ=4+x 过 A 作 AQBC， Q=FQC=90，ADQ=AFC， 则AQDACF CFBD， AQDDCP， 第 6 页 共 14 页 CPCD DQAQ , 4+4 CPx x , 2 4 x CPx 【总结升华】此题综合性强，需要综合运用全等、相似、正方形等知识点，属能力拔高性的题目 3 已知正方形 ABCD 的边长为 6cm， 点 E 是射线 BC 上的一个动点， 连接 AE 交射线 DC 于点 F， 将ABE 沿直线 AE 翻折，点 B 落在点 B 处 （1）当 CE BE =1 时，CF=_cm， （2）当 CE BE =2 时，求 sinD

13、AB 的值； （3）当 CE BE = x 时（点 C 与点 E 不重合），请写出ABE 翻折后与正方形 ABCD 公共部分的面积 y 与 x 的关系式，（只要写出结论，不要解题过程） 【思路点拨】动态问题未必只有点的平移、图形的旋转，翻折（即轴对称）也是一大热点.(1)给出比例 为 1，(2)比例为 2，(3)比例任意，所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目.需要仔细把握翻 折过程中哪些条件发生了变化，哪些条件没有发生变化.一般说来，翻折中，角，边都是不变的，所以 轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系，所以要利用这些来获得线段之间的比例关系.尤其要注意 的是， 本题中给定的比例都是有

14、两种情况的， E 在 BC 上和 E 在延长线上都是可能的， 所以需要分类讨论， 不要遗漏. 【答案与解析】 （1）CF=6cm； （2） 如图 1，当点 E 在 BC 上时，延长 AB交 DC 于点 M， ABCF， ABEFCE， FC AB CE BE CE BE =2， CF=3 图 1 第 7 页 共 14 页 ABCF，BAE=F 又BAE=B AE， B AE=F MA=MF 设 MA=MF=k，则 MC=k -3，DM=9-k 在 RtADM 中，由勾股定理得： k 2=(9-k)2+62， 解得 k=MA=13 2 DM= 5 2 sinDAB= 13 5 AM DM ； 如

15、图 2，当点 E 在 BC 延长线上时，延长 AD 交 B E 于点 N， 同可得 NA=NE 设 NA=NE=m，则 B N=12-m 在 RtAB N 中，由勾股定理，得 m 2=(12-m)2+62， 解得 m=AN=15 2 BN= 9 2 sinDAB= 5 3 AN NB （3）当点 E 在 BC 上时，y= 18x x1 ； 当点 E 在 BC 延长线上时，y=18x 18 x 【总结升华】动态几何问题当中有点动，线动，乃至整体图形动几种可能的方式，动态几何问题往往作 为压轴题出现,所以难度不言而喻,但是拿到题后不要慌张,因为无论是题目以哪种形式出现，始终把握 的都是在变化过程中

16、那些不变的量.只要一个个将条件抽出来,将大问题化成若干个小问题去解决,就很 轻松了. 类型二、几何计算型问题类型二、几何计算型问题 4已知如图，在梯形ABCD中，24ADBCADBC，点M是AD的中点，MBC是 等边三角形 （1）求证：梯形ABCD是等腰梯形； （2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且60MPQ 保持不变设PCxMQy， 求y与x的函数关系式； 图 2 第 8 页 共 14 页 （3）在（2）中，当y取最小值时，判断PQC的形状，并说明理由 【思路点拨】 （1）属于纯静态问题，只要证两边的三角形全等就可以了. (2)是双动点问题，所以就需要研究在 P,Q 运动过程中什么东

17、西是不变的.题目给定MPQ=60，其实就 是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以很自然想到要通 过相似三角形找比例关系. (3)条件又回归了当动点静止时的问题，由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当 x 取对称轴的 值时 y 有最小值，接下来就变成了“给定 PC=2，求PQC 形状”的问题了，由已知的 BC=4，自然看出 P 是中点，于是问题轻松求解. 【答案与解析】 （1）证明：MBC是等边三角形 60MBMCMBCMCB， M是AD中点 AMMD ADBC 60AMBMBC， 60DMCMCB AMBDMC ABDC 梯形ABCD是等腰梯形 （2）

18、解：在等边MBC中，4MBMCBC ，60MBCMCB，60MPQ 120BMPBPMBPMQPC BMPQPC BMPCQP PCCQ BMBP PCxMQy， 44BPxQCy， 4 44 xy x 2 1 4 4 yxx （3）解：PQC为直角三角形， 21 23 4 yx 当y取最小值时，2xPC 第 9 页 共 14 页 P是BC的中点，MPBC，而60MPQ ， 30CPQ ， 90PQC PQC为直角三角形. 【总结升华】以上题目是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相 等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解.如果没有特殊条件，那么就需要研究在

19、动点移动中 哪些条件是保持不变的. 举一反三：举一反三： 【变式变式】已知：如图，N、M 是以 O 为圆心，1 为半径的圆上的两点，B 是MN上一动点（B 不与点 M、 N 重合） ，MON=90，BAOM 于点 A，BCON 于点 C，点 D、E、F、G 分别是线段 OA、AB、BC、CO 的中点，GF 与 CE 相交于点 P，DE 与 AG 相交于点 Q （1）四边形 EPGQ （填“是”或者“不是” ）平行四边形； （2）若四边形 EPGQ 是矩形，求 OA 的值. 【答案】 （1）是 证明：连接 OB，如图， BAOM，BCON， BAO=BCO=90， AOC=90， 第 10 页

20、共 14 页 四边形 OABC 是矩形 ABOC，AB=OC， E、G 分别是 AB、CO 的中点， AEGC，AE=GC， 四边形 AECG 为平行四边形 CEAG， 点 D、E、F、G 分别是线段 OA、AB、BC、CO 的中点， GFOB，DEOB， PGEQ， 四边形 EPGQ 是平行四边形； （2）解：如图， 口EPGQ 是矩形 AED+CEB=90 又DAE=EBC=90， AED=BCE AEDBCE， ADAE BEBC ， 设 OA=x，AB=y，则: 2 22 xyy x 得 y 2=2x2， 又OA 2+AB2=OB2， 即 x2+y2=12 x 2+2x2=1， 解得：

21、x= 3 3 即当四边形 EPGQ 是矩形时，OA 的长度为 3 3 5在ABCD中，过点 C 作 CECD 交 AD 于点 E,将线段 EC 绕点 E 逆时针旋转90得到线段 EF (如图 1) （1）在图 1 中画图探究： 当 P 为射线 CD 上任意一点（P1不与 C 重合）时，连结 EP1绕点 E 逆时针旋转90 得到线段 EC1. 第 11 页 共 14 页 判断直线 FC1与直线 CD 的位置关系，并加以证明； 当 P2为线段 DC 的延长线上任意一点时，连结 EP2,将线段 EP2绕点 E 逆时针旋转90得到线段 EC2.判断直线 C1C2与直线 CD 的位置关系，画出图形并直接

22、写出你的结论. （2）若 AD=6,tanB= 4 3 ,AE=1,在的条件下，设 CP1=x，S 11 PFC=y，求y与x之间的函数关系式， 并写出自变量x的取值范围. 图 1 备用图 【思路点拨】(1)本题在于如何把握这个旋转 90的条件.旋转 90自然就是垂直关系，于是出现了一 系列直角三角形，于是证角、证线就手到擒来了. (2)是利用平行关系建立函数式，但是不要忘记分类讨论. 【答案与解析】 （1）直线 1 FG与直线CD的位置关系为互相垂直 证明：如图 1，设直线 1 FG与直线CD的交点为H 线段 1 ECEP、分别绕点E逆时针旋转 90依次得到线段 1 EFEG、， 1111

23、90PEGCEFEGEPEFEC ， 11 90G EFPEF， 11 90PECPEF， 11 G EFPEC 11 G EFPEC 11 G FEPCE F D C B A E 图 1 G2 G1 P1 H P2 第 12 页 共 14 页 ECCD， 1 90PCE， 1 90G FE 90EFH 90FHC 1 FGCD 按题目要求所画图形见图 1，直线 12 GG与直线CD的位置关系为互相垂直 （2）四边形ABCD是平行四边形， BADC 4 61 tan 3 ADAEB， 4 5 tantan 3 DEEBCB， 可得4CE 由（1）可得四边形EFCH为正方形 4CHCE 如图 2

24、，当 1 P点在线段CH的延长线上时， 111 4FGCPxPHx， 11 11 1(4) 22 PFG x x SFGPH 2 1 2 (4) 2 yxx x 如图 3，当 1 P点在线段CH上（不与CH、两点重合）时， D G1 P1 H C B A E F 图 2 第 13 页 共 14 页 111 4FGCPxPHx， 11 11 1(4) 22 PFG xx SFGPH 2 1 2 (04) 2 yxxx 当 1 P点与H点重合时，即4x时， 11 PFG不存在 综 上 所 述 ，y与x之 间 的 函 数 关 系 式 及 自 变 量x的 取 值 范 围 是 2 1 2 (4) 2 y

25、xx x或 2 1 2 (04) 2 yxxx 【总结升华】本题着重考查了二次函数的解析式、图形的旋转变换、三角形全等、探究垂直的构成情况 等重要知识点，综合性强，能力要求较高考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法 举一反三：举一反三： 【变式变式】已知，点 P 是MON 的平分线上的一动点，射线 PA 交射线 OM 于点 A，将射线 PA 绕点 P 逆时针 旋转交射线 ON 于点 B，且使APB+MON=180 （1）利用图 1，求证：PA=PB； （2）如图 2，若点 C 是 AB 与 OP 的交点，当 SPOB=3SPCB时，求 PB 与 PC 的比值； （3）若MON=60，OB=2

26、，射线 AP 交 ON 于点 D，且满足且PBD=ABO，请借助图 3 补全图形，并求 OP 的长 【答案】 （1）作 PEOM，PFON，垂足为 E、F 四边形 OEPF 中，OEP=OFP=90， EPF+MON=180，已知APB+MON=180， EPF=APB，即EPA+APF=APF+FPB， EPA=FPB， 由角平分线的性质，得 PE=PF， EPAFPB，即 PA=PB； F G1 P1 C A B E D H 图 3 第 14 页 共 14 页 （2）SPOB=3SPCB，PO=3PC， 由（1）可知PAB 为等腰三角形，则PBC= 1 2 （180-APB）= 1 2 MON=BOP， 又BPC=OPB（公共角） ， PBCPOB， PBPC POPB ， 即 PB 2=POPC=3PC2， 3 PB PC （3）作 BHOT，垂足为 H， 当MON=60时，APB=120， 由 PA=PB，得PBA=PAB= 1 2 （180-APB）=30， 又PBD=ABO，PBD+PBA+ABO=180， ABO= 1 2 （180-30）=75，则OBP=ABO+ABP=105， 在OBP 中，BOP=30，BPO=45， 在 RtOBH 中，BH= 1 2 OB=1，OH=3， 在 RtPBH 中，PH=BH=1， OP=OH+PH=3+1