北京四中数学中考冲刺：观察、归纳型问题--巩固练习（提高）

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1、第 1 页 共 10 页 中考中考冲刺冲刺：观察、归纳型问题观察、归纳型问题巩固练习巩固练习（提高提高） 【巩固练习巩固练习】 一、选择题一、选择题 1一质点 P 从距原点 1 个单位的 M 点处向原点方向跳动，第一次跳动到 OM 的中点 M3处，第二次从 M3 跳到 OM3的中点 M2处，第三次从点 M2跳到 OM2的中点 M1处，如此不断跳动下去，则第 n 次跳动后，该质 点到原点 O 的距离为（ ） A B C . D 2. 在平面坐标系中，正方形 ABCD 的位置如图所示，点 A 的坐标为（1，0） ，点 D 的坐标为（0，2） ，延 长 CB 交 x 轴于点 A1，作正方形 A1B1

2、C1C，延长 C1B1交 x 轴于点 A2，作正方形 A2B2C2C1，按这样的规律进 行下去，第 2012 个正方形的面积为（ ） A B C D 3. 边长为 a 的等边三角形，记为第 1 个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边 形，记为第 1 个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为 第 2 个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第 2 个正六边形（如 图） ，按此方式依次操作，则第 6 个正六边形的边长为（ ） A B C D 第 2 页 共 10 页 二、填空题二、填空题 4如图，线段 AC=n+1（

3、其中 n 为正整数） ，点 B 在线段 AC 上，在线段 AC 同侧作正方形 ABMN 及正方形 BCEF，连接 AM、ME、EA 得到AME当 AB=1 时，AME 的面积记为 S1；当 AB=2 时，AME 的面积记为 S2； 当 AB=3 时， AME 的面积记为 S3； ； 当 AB=n 时， AME 的面积记为 Sn 当 n2 时， Sn-Sn-1= 5如图的平面直角坐标系中有一个正六边形 ABCDEF，其中 C、D 的坐标分别为（1，0）和（2，0） 若 在无滑动的情况下，将这个六边形沿着 x 轴向右滚动，则在滚动过程中，这个六边形的顶点 A、B、C、D、 E、F 中，会过点（45

4、，2）的是点 6. 如图，在平面直角坐标系中，线段 OA1=1，OA1与 x 轴的夹角为 30，线段 A1A2=1，A2A1OA1，垂足为 A1；线段 A2A3=1，A3A2A1A2，垂足为 A2；线段 A3A4=1，A4A3A2A3，垂足为 A3；按此规律，点 A2012的坐标 为 三、解答题三、解答题 7在下图中，每个正方形由边长为 1 的小正方形组成： n=1n=2n=3n=4n=5n=6 （1）观察图形，请填写下列表格： 第 3 页 共 10 页 正方形边长 1 3 5 7 n（奇数） 蓝色小正方形个数 正方形边长 2 4 6 8 n（偶数） 蓝色小正方形个数 （2）在边长为n（n1）

5、的正方形中，设蓝色小正方形的个数为 P1，白色小正方形的个数为 P2，问 是否存在偶数n，使 P2=5P1？若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由 8. 定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形. 探究：一般地， “任意三角形都是自相似图形” ，只要顺次连结三角形各边中点，则可将原三角形分割为 四个都与它自己相似的小三角形.我们把DEF（图乙）第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为 1 阶分割（如图 1） ；把 1 阶分割得出的 4 个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分割，称为 2 阶 分割 （如图 2） 依次规则操作下去.n 阶分割后得到的每一个

6、小三角形都是全等三角形 （n 为正整数） ， 设此时小三角形的面积为 Sn. 若DEF 的面积为 10000，当 n 为何值时，2Sn3？（请用计算器进行探索，要求至少写出三次 的尝试估算过程） 当n1 时，请写出一个反映 Sn1，Sn，Sn1之间关系的等式（不必证明）. 9. 如图，正方形表示一张纸片，根据要求需多次分割，把它分割成若干个直角三角形操作过程如下： 第一次分割，将正方形纸片分成 4 个全等的直角三角形，第二次分割将上次得到的直角三角形中一个再 分成 4 个全等的直角三角形；以后按第二次分割的作法进行下去 请你设计出两种符合题意的分割方案图； 设正方形的边长为a，请你就其中一种方

7、案通过操作和观察将第二、第三次分割后所得的最小的 直角三角形的面积 S 填入下表： 分割次数 n 1 2 3 最小直角三角形的面积 S 4 1 a 2 在条件下，请你猜想：分割所得的最小直角三角形面积 S 与分割次数 n 有什么关系？用数学表 达式表示出来 10. 据我国古代周髀算经记载，公元前 1120 年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连 结得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五.后人概括为“勾三、股四、弦五”. 观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；，发现这些勾股数的勾 都是奇数，且从 3 起就没 有间断过.计算 1 2 （91） 、 1 2 （91）

8、与 1 2 （251） 、 1 2 （251） ，并根据你发现的规律，分别写出 第 4 页 共 10 页 能表示 7，24，25 的股 和弦 的算式； 根据的规律，用n（n为奇数且 n3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾 、股 、弦 ，合情猜 想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明； 继续观察 4，3，5；6，8，10；8，15，17；，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从 4 起 也没有间断过.运用类似上述探索的方法，直接用m（m为偶数且 m4）的代数式来表示他们的股 和弦 . 【答案与解析答案与解析】 一、选择题一、选择题 1.【答案】D； 【解析】由于 OM=1， 所有第一次跳动

9、到 OM 的中点 M3处时，OM3= OM= ， 同理第二次从 M3点跳动到 M2处，即在离原点的（ ） 2处， 同理跳动 n 次后，即跳到了离原点的处， 故选 D 2.【答案】D； 【解析】点 A 的坐标为（1，0） ，点 D 的坐标为（0，2） ， OA=1，OD=2， 设正方形的面积分别为 S1，S2S2012， 根据题意，得：ADBCC1A2C2B2， BAA1=B1A1A2=B2A2x， ABA1=A1B1A2=90， BAA1B1A1A2， 在直角ADO 中，根据勾股定理，得：AD=， AB=AD=BC=， S1=5， DAO+ADO=90，DAO+BAA1=90， ADO=BAA

10、1， tanBAA1= ， A1B=， A1B=A1C=BC+A1B=， S2= 5=5（ ） 2， 第 5 页 共 10 页 = ， A2B1= =， A2C1=B1C1+A2B1=+=（ ） 2， S3=5=5（ ） 4， 由此可得：Sn=5（ ） 2n-2， S2012=5（ ） 22012-2=5（ ）4022 故选 D 3.【答案】A； 【解析】连接 AD、DF、DB， 六边形 ABCDEF 是正六边形， ABC=BAF=AFE，AB=AF，E=C=120，EF=DE=BC=CD， EFD=EDF=CBD=BDC=30， AFE=ABC=120， AFD=ABD=90， 在 RtAB

11、D 和 RtAFD 中 RtABDRtAFD， BAD=FAD= 120=60， FAD+AFE=60+120=180， ADEF， G、I 分别为 AF、DE 中点， GIEFAD， FGI=FAD=60， 六边形 ABCDEF 是正六边形，QKM 是等边三角形， EDM=60=M， ED=EM， 同理 AF=QF， 第 6 页 共 10 页 即 AF=QF=EF=EM， 等边三角形 QKM 的边长是 a， 第一个正六边形 ABCDEF 的边长是 a，即等边三角形 QKM 的边长的 ， 过 F 作 FZGI 于 Z，过 E 作 ENGI 于 N， 则 FZEN， EFGI， 四边形 FZNE

12、 是平行四边形， EF=ZN= a， GF= AF= a= a，FGI=60（已证） ， GFZ=30， GZ= GF=a， 同理 IN=a， GI=a+ a+a= a，即第一个等边三角形的边长是 a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法 类似，可求出第二个正六边形的边长是 a； 同理第二个等边三角形的边长是 a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三 个正六边形的边长是 a； 同理第三个等边三角形的边长是 a，第四个正六边形的边长是 a； 第四个等边三角形的边长是 a，第五个正六边形的边长是 a； 第五个等边三角形的边长是 a，第六个正六边形的边长是 a， 即第六个正六边形

13、的边长是 5 1 2 a， 故选 A 二、填空题二、填空题 第 7 页 共 10 页 4.【答案】 . 【解析】连接 BE， 在线段 AC 同侧作正方形 ABMN 及正方形 BCEF， BEAM， AME 与AMB 同底等高， AME 的面积=AMB 的面积， 当 AB=n 时，AME 的面积记为 Sn= n 2， Sn-1= （n-1） 2= n2-n+ ， 当 n2 时，Sn-Sn-1=， 故答案为：. 5.【答案】B； 【解析】如图所示： 当滚动一个单位长度时 E、F、A 的对应点分别是 E、F、A，连接 AD，点 F，E作 FGAD， EHAD， 六边形 ABCD 是正六边形， AFG

14、=30， AG= AF= ，同理可得 HD= ， AD=2， D（2，0） A（2，2） ，OD=2， 正六边形滚动 6 个单位长度时正好滚动一周， 从点（2，2）开始到点（45，2）正好滚动 43 个单位长度， 第 8 页 共 10 页 =71， 恰好滚动 7 周多一个， 会过点（45，2）的是点 B 故答案为：B 6.【答案】 （5033-503，5033+503） 【解析】如图，过点 A1作 A1Bx 轴，作 A1Cx 轴 A2Cy 轴，相交于点 C， OA1=1，OA1与 x 轴的夹角为 30， OB=OA1cos=1=， A1B=OA1sin30=1 = ， 点 A1的坐标为（， ）

15、 ， A2A1OA1，OA1与 x 轴的夹角为 30， OA1C=30，A2A1C=90-30=60， A1A2C=90-60=30， 同理可求：A2C=OB=，A1C=A1B= ， 所以，点 A2的坐标为（- ，+ ） ， 点 A3的坐标为（- +，+ + ） ，即（- ，+1） ， 点 A4的坐标为（- - ，+1+） ，即（-1，+1） ， 点 A5的坐标为（-1+，+1+ ） ，即（-1，+ ） ， 点 A6的坐标为（-1- ，+ +） ，即（- ，+ ） ， ， 当 n 为奇数时，点 An的坐标为（-，+） ， 当 n 为偶数时，点 An的坐标为（- ，+ ） ， 第 9 页 共 1

16、0 页 所以，当 n=2012 时，- =503-503，+ =503+503， 点 A2012的坐标为（503-503，503+503） 故答案为： （503-503，503+503） 三、解答题三、解答题 7 【答案与解析】 （1）1，5，9，13，奇数 2n1；4，8，12，16，偶数 2n （2）由（1）可知，当n为偶数时 P1=2n，P2=n 22n（用总个数 n 2减去蓝色小正方形的个数 2n） ，根据 题意得n 22n=52n，即 n 212n=0，解得 n=0（不合题意，舍去） ，n=12存在偶数n=12，使得 P 2=5P 1. 8 【答案与解析】 解：解：DEF 经n阶分割

17、所得的小三角形的个数为 n 4 1 ，Sn n 4 10000 当 n5 时，S5 5 10000 S 9.77； 当 n6 时，S6 6 10000 S 2.44； 当 n7 时，S7 7 10000 S 0.61； 当 n6 时，2S63； S n 2 S 1n S 1n ； 9 【答案与解析】 解解：现提供如下三种分割方案： 每次分割后得到的最小直角三角形的面积都是上一次最小直角三角形面积的 4 1 ，所以当 n2 时， S2 4 1 4 1 a 2 16 1 a 2；当 n3 时，S 3 4 1 S2 64 1 a 2； 当分割次数为 n 时，Sn n 4 1 a 2（n1，且 n 为

18、正整数） 10 【答案与解析】 第 10 页 共 10 页 解：解： 1 2 （91）4， 1 2 （91）5； 1 2 （251）12， 1 2 （251）13； 7，24，25 的股的算式为： 1 2 （491） 1 2 （7 21） 弦的算式为： 1 2 （491） 1 2 （7 21） ； 当n为奇数且n3，勾、股、弦的代数式分别为：n， 1 2 （n 21） ，1 2 （n 21）. 例如关系式：弦股1；关系式：勾 2股2弦2； 证明关系式：弦股 1 2 （n 21）1 2 （n 21）1 2 （n 21）（n21） 1； 或证明关系式：勾 2股2n21 2 （n 21） 21 4 n 41 2 n 21 4 1 4 （n 21）2弦2； 猜想得证. 例如探索得，当 m 为偶数且 m4 时， 股、弦的代数式分别为： （ 2 m ） 21， （ 2 m ） 21.