北京四中数学中考冲刺：数形结合问题--知识讲解（提高）

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1、第 1 页 共 10 页 中考冲刺：数形结合问题中考冲刺：数形结合问题知识讲解（知识讲解（提高提高） 【中考展望】【中考展望】 1.用数形结合的思想解题可分两类: (1)利用几何图形的直观性表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等； (2)运用数量关系来研究几何图形问题,常需要建立方程(组)或建立函数关系式等. 2. 热点内容： 在初中教材中， 数的常见表现形式为: 实数、 代数式、 函数和不等式等， 而形的常见表现形式为: 直 线型、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、相似、勾股定理等.在直角坐标系下，一次函数的 图象对应着一条直线，二次函数的图象对应着一条抛物线，这些都是初中数学的重要内

2、容. 特别是二次函数，不仅是学生学习的难点之一，同时也使数形结合的思想方法在中学数学中得到最 充分体现.在平面直角坐标系中，二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴以及与坐标轴的交点等 都与其系数 a，b，c 密不可分.事实上，数 a 决定抛物线的开口方向, b 与 a 一起决定抛物线的对称轴 位置, c 决定了抛物线与 y 轴的交点位置，与 a、b 一起决定抛物线顶点坐标的纵坐标，抛物线的平移 的图形关系只是顶点坐标发生变化，其实从代数的角度看是 b、c 的大小变化. 【方法点拨方法点拨】 数形结合：就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,它包含“以形助数”和“以数解形” 两个方面.利

3、用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有“数的严谨”与“形的直观”之长,是优 化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法. 数形结合问题，也可以看作代数几何综合问题.从内容上来说，是把代数中的数与式、方程与不等 式、函数，几何中的三角形、四边形、圆等图形的性质，以及解直角三角形的方法、图形的变换、相似 等内容有机地结合在一起，同时也会融入开放性、探究性等问题.经常考查的题目类型主要有坐标系中 的几何问题(简称坐标几何问题)，以及图形运动过程中求函数解析式的问题等 解决这类问题，第一，需要认真审题，分析、挖掘题目的隐含条件，翻译并转化为显性条件；第二， 要善于将复杂问题分解为基本问题；

4、第三，要善于联系与转化，进一步得到新的结论.尤其要注意的是， 恰当地使用综合分析法及方程与函数的思想、转化思想、数形结合思想、分类与整合思想等数学思想方 法，能更有效地解决问题 【典型例题】【典型例题】 类型类型一一、 利用数形结合探究利用数形结合探究数字的变化数字的变化规律规律 1.如图，网格中的每个四边形都是菱形如果格点三角形ABC的面积为S，按照如图所示方式得 到的格点三角形A1B1C1的面积是7S，格点三角形A2B2C2的面积是 19S，那么格点三角形A3B3C3的面积为 （ ）. A.39S B. 36S C.37S D.43S 第 2 页 共 10 页 【思路点拨】 设网络中每个小

5、菱形的边长为一个单位，由于 ABC 的面积为 S，则小菱形的面积为 2S；从图上观察 可知三角形 A2B2C2三个顶点分别在边长为 3 个单位的菱形的内部，其中一顶点与菱形重合，另两顶点在 与前一顶点不相连的两边上，三角形 AnBnCn三顶点分别在边长为（2n+1）个单位的菱形的内部，此菱形 与三角形 AnBnCn不重合的部分为三个小三角形；由此得到关于三角形 AnBnCn面积公式，把 n=3 代入即可求 出三角形 A3B3C3的面积 【答案】C. 【解析】网络中每个小菱形的边长为一个单位，由于 ABC 的面积为 S，则小菱形的面积为 2S；从图上观 察可知三角形 A2B2C2三个顶点分别在边

6、长为 3 个单位的菱形的内部，其中一顶点与菱形重合，另两顶点 在与前一顶点不相连的两边上，三角形 AnBnCn三顶点分别在边长为 2n+1 个单位的菱形的内部，此菱形与 三角形 AnBnCn不重合的部分为三个小三角形；而三角形 AnBnCn面积=边长为 2n+1 个单位的菱形面积-三个 小三角形面积=2S（2n+1） 2-(2 1)2(21) (1) 2(1) 2 222 nnsnnsnns , =S（8n 2+8n+2-2n2-n-2n2-3n-1-n2-n） ， =S（3n 2+3n+1） ， 把 n=3 分别代入上式得：S3=S（33 2+33+1）=37S 故选 C 【总结升华】 此题

7、主要考查菱形的性质，也考查了学生的读图能力以及探究问题的规律并有规律解决问题的能 力 举一反三举一反三: : 【变式变式】 正方形 A1B1C1O， A2B2C2C1， A3B3C3C2， 按如图所示的方式放置 点 A1， A2， A3， 和点 C1， C2， C3， 分别在直线ykxb(k0)和 x 轴上，已知点 B1(1，1)，B2(3，2)， 则 B4的坐标是_ 【答案】解：B1的坐标为（1，1） ，点 B2的坐标为（3，2） ， 正方形 A1B1C1O1边长为 1，正方形 A2B2C2C1边长为 2， A1的坐标是（0，1） ，A2的坐标是： （1，2） ， 代入 y=kx+b 得：

8、1, 2. b kb 解得： 1, 1. b k 则直线 A1A2的解析式是：y=x+1 第 3 页 共 10 页 A1B1=1，点 B2的坐标为（3，2） ， 点 A3的坐标为（3，4） ， A3C2=A3B3=B3C3=4， 点 B3的坐标为（7，4） ， B1的纵坐标是：1=2 0，B 1的横坐标是：1=2 1-1， B2的纵坐标是：2=2 1，B 2的横坐标是：3=2 2-1， B3的纵坐标是：4=2 2，B 3的横坐标是：7=2 3-1， Bn的纵坐标是：2 n-1，横坐标是：2n-1， 则 Bn（2 n-1，2n-1） B4的坐标是： （2 4-1，24-1） ，即（15，8） 故

9、答案为： （15，8） 类型类型二二 、利用利用数形数形结合解决数与式的问题结合解决数与式的问题 2. 已知实数 a 在数轴上的位置如图所示，则化简|2-a|+ 2 a的结果为_. 【思路点拨】 由数轴可知，0a2，由此去绝对值，对二次根式化简 【答案与解析】 解：0a2， |2-a|+ 2 a=2-a+a=2. 故答案为：2 【总结升华】 本题考查了绝对值的化简和二次根式的性质与化简，实数与数轴的对应关系关键是根据数轴上的 点的位置来判断数 a 的取值范围，根据取值范围去绝对值，化简二次根式 类型类型三三、利用利用数形数形结合解决代数式的恒等变形问题结合解决代数式的恒等变形问题 3.(1)在

10、边长为 a 的正方形纸片中剪去一个边长为 b 的小正方形， 把余下的部分沿虚线剪开， 拼成 一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的乘法公式是_（用字母 表示） （2）设直角三角形的直角边分别是 a，b，斜边为 c，将这样的四个完全相同的直角三角形拼成正方形， 验证等式 a 2+b2=c2成立。 第 4 页 共 10 页 【思路点拨】 (1)根据阴影部分的面积相等，即可得到公式； (2)直角三角形的直角边分别是 a，b，斜边为 c，这样的 4 个三角形，即可拼成正方形，据此即可得 到 【答案与解析】 解： （1）a 2-b2=（a+b） （a-b） ； （2）验证：利用面积公式可

11、得正方形的面积是：c 2， 正方形的面积是四个直角三角形的面积加上里面较小的正方形的面积， 得到： 4 1 2 ab+ （b-a） 2=2ab+ （a 2-2ab+b2）=a2+b2，则 a2+b2=c2 【总结升华】 本题主要考查了平方差公式的几何表示，表示出图形阴影部分面积是解题的关键 类型四类型四、利用数形结合思想解决极值问题利用数形结合思想解决极值问题 4.我们曾学过“两点之间线段最短”的知识， 常可利用它来解决两条线段和最小的相关问题， 下面 是大家非常熟悉的一道习题： 如图 1，已知，A，B 在直线 l 的同一侧，在 l 上求作一点，使得 PA+PB 最小 我们只要作点 B 关于

12、l 的对称点 B， （如图 2 所示）根据对称性可知，PB=PB因此，求 AP+BP 最小 就相当于求 AP+PB最小，显然当 A、P、B在一条直线上时 AP+PB最小，因此连接 AB，与直线 l 的交点就是要求的点 P 有很多问题都可用类似的方法去思考解决 探究： （1）如图 3，正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 BC 的中点，P 是 BD 上一动点连接 EP，CP，则 EP+CP 的最 小值是_； 运用： （2）如图 4，平面直角坐标系中有三点 A（6，4） 、B（4，6） 、C（0，2） ，在 x 轴上找一点 D，使得四边 形 ABCD 的周长最小，则点 D 的坐标应该是_. 第

13、5 页 共 10 页 操作： （3）如图 5，A 是锐角 MON 内部任意一点，在MON 的两边 OM，ON 上各求作一点 B，C，组成ABC，使 ABC 周长最小 （不写作法，保留作图痕迹）. 【思路点拨】 (1)由正方形的性质可得点 A 是点 C 关于 BD 的对称点，连接 AE，则 AE 就是 EP+CP 的最小值； (2)找点 C 关于 x 轴的对称点 C，连接 AC，则 AC与 x 轴的交点即为点 D 的位置，先求出直线 AC的解析式，继而可得出点 D 的坐标; (3)分别作点 A 关于 OM 的对称点 A、关于 ON 的对称点 A，连接 AA，则 AA与 OM 交点为 点 B 的位

14、置，与 ON 交点为 C 的位置 【答案与解析】 解： （1）点 A 是点 C 关于 BD 的对称点，连接 AE，则 AE 就是 EP+CP 的最小值， EP+CP 的最小值=AE=5； （2）作点 C 关于 x 轴的对称点 C，连接 AC，则 AC与 x 轴的交点即为点 D 的位置， 点 C坐标为（0，-2） ，点 A 坐标为（6，4） ， 直线 CA 的解析式为：y=x-2， 故点 D 的坐标为（2，0） ； （3）分别作点 A 关于 OM 的对称点 A、关于 ON 的对称点 A，连接 AA，则 AA与 OM 交点 为点 B 的位置，与 ON 交点为 C 的位置； 如图所示： 点 B、C

15、即为所求作的点 【总结升华】 此题考查了利用轴对称求解最短路径的问题，求解模式题意已经给出，注意仔细理解，灵活运用题 目所给的信息 类型五类型五、利用数形结合思想，解决函数问题利用数形结合思想，解决函数问题 5.如图, 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线xx m y2 2 2 与 x 轴负半轴交于点 A, 顶点为 B, 且对 （图 1） 第 6 页 共 10 页 称轴与 x 轴交于点 C. （1）求点 B 的坐标 (用含 m 的代数式表示)； （2）D 为 BO 中点，直线 AD 交 y 轴于 E，若点 E 的坐标为(0, 2), 求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，点 M 在直线

16、BO 上，且使得AMC 的周长最小，P 在抛物线上，Q 在直线 BC 上，若以 A、M、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点 P 的坐标. 【思路点拨】 （1）利用配方法或公式法都能求出点 B 的坐标 （2）可过点 D 作 DFx 轴于 F，那么 DF 是BOC 的中位线，由此得出 DF、OF、CF 的长；再由AFD AOE 得出的比例线段以及 OE 的长，即可求出 m 的值，由此确定函数的解析式 （3）此题中，首先要确定点 M 的位置：已知“AMC 的周长最小”，那么可作点 C 关于直线 BO 的对称 点 C，连接 AC与直线 BO 的交点即为符合条件的点 M；确定点 M 后，由于所求平

17、行四边形的四顶点顺 序并不确定，所以分 AM 为边和 AM 为对角线两种情况讨论；在解答时，可根据平行四边形的对边平行且 相等的特点，过 P、Q 作坐标轴的垂线，通过构建全等三角形来确定点 P 的坐标 【答案与解析】 解： （1） 22222 2212 1211 2()() 4422 yxxxmxmmxmm mmmm ， 抛物线的顶点 B 的坐标为 11 (,) 22 mm. （2）令 2 2 20xx m ，解得 1 0x , 2 xm. 抛物线xx m y2 2 2 与 x 轴负半轴交于点 A， A (m, 0), 且 m0. 过点 D 作 DFx 轴于 F. 由 D 为 BO 中点，DF

18、/BC, 可得 CF=FO= 1 . 2 CO DF = 1 . 2 BC 由抛物线的对称性得 AC=OC. AF：AO=3：4. DF /EO, AFDAOE. . FDAF OEAO C A O B x y C A O B x y F E D y xOC B A 第 7 页 共 10 页 由 E (0, 2)，B 11 (,) 22 mm，得 OE=2, DF= 1 4 m. 1 3 4 . 24 m m = -6. 抛物线的解析式为 2 1 2 3 yxx . （3）依题意，得 A（-6,0） 、B (-3, 3)、C (-3, 0).可得直线 OB 的解析式为xy, 直线 BC 为3x

19、 . 作点 C 关于直线 BO 的对称点 C (0，3)，连接 AC 交 BO 于 M， 则 M 即为所求. 由 A（-6，0） ，C (0, 3)，可得 直线 AC的解析式为3 2 1 xy. 由 1 3, 2 yx yx 解得 2, 2. x y 点 M 的坐标为(-2, 2). 由点 P 在抛物线 2 1 2 3 yxx 上，设 P (t， 2 1 2 3 tt). ()当 AM 为所求平行四边形的一边时. 如右图，过 M 作 MG x 轴于 G, 过 P1作 P1H BC 于 H, 则 xG= xM =-2, xH= xB =-3. 由四边形 AM P1Q1为平行四边形， 可证AMGP

20、1Q1H . 可得 P1H= AG=4. t -(-3)=4. t=1. 1 7 (1,) 3 P. 如右图，同方法可得 P2H=AG=4. -3- t =4. t=-7. 2 7 ( 7,) 3 P . ()当 AM 为所求平行四边形的对角线时, 如右图，过 M 作 MHBC 于 H, 过 P3作 P3G x 轴于 G, 则 xH= xB =-3，xG= 3 P x=t. 由四边形 AP3MQ3为平行四边形， y xO C M C B A P1 Q1 G H y xO C M C B A H A B C M C Ox y G Q2 P2 Q3 P3 G H C y xO C M B A 第

21、8 页 共 10 页 可证A P3GMQ3H . 可得 AG= MH =1. t -(-6)=1. t=-5. 3 5 ( 5,) 3 P . 综上，点 P 的坐标为 1 7 (1,) 3 P、 2 7 ( 7,) 3 P 、 3 5 ( 5,) 3 P . 【总结升华】 此题主要考查的是函数解析式的确定、全等三角形与相似三角形的应用以及平行四边形的特点等重 要知识点；难点是最后一题，首先要根据轴对称图形的特点以及两点间线段最短确定点 M 的位置，再根 据平行四边形以及全等三角形的特点来设、求点 P 的坐标，一个小题中就涉及到众多知识点，同时要注 意的是平行四边形四顶点顺序不确定时，一定要分情

22、况讨论，以免漏解 举一反三举一反三: : 【变式变式】在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 2 1 1 2 4 yx的顶点为 M，直线 2 yx，点0P n，为x轴上 的一个动点，过点 P 作x轴的垂线分别交抛物线 2 1 1 2 4 yx和直线 2 yx于点 A，点 B. （1）直接写出 A，B 两点的坐标（用含n的代数式表示） ； 设线段 AB 的长为d，求d关于n的函数关系式及d的最小值，并直接写出此时线段 OB 与线段 PM 的位置关系和数量关系； (3)已知二次函数 2 yaxbxc（a，b，c为整数且0a ） ，对一切实数x恒有xy 2 1 2 4 x ， 求a，b，c的值. 【答

23、案】 解：(1) 2 1 (2) 4 A nn ， ，()B n n，. (2) d=AB= AB yy= 2 1 2 4 nn . d= 2 11 2() 48 n= 2 11 2() 48 n . 当 1 4 n 时，d取得最小值 1 8 . 当d取最小值时，线段 OB 与线段 PM 的位置 关系和数量关系是 OBPM 且 OB=PM. (如图) 第 9 页 共 10 页 (3) 对一切实数x恒有 xy 2 1 2 4 x ， 对一切实数x，x 2 axbxc 2 1 2 4 x 都成立. (0a ) 当0x 时，式化为 0c 1 4 . 整数c的值为 0.此时，对一切实数x，x 2 ax

24、bx 2 1 2 4 x 都成立.(0a ) 即 2 22 , 1 2. 4 xaxbx axbxx 对一切实数x均成立. 由得 2 1axbx0 (0a ) 对一切实数x均成立. 2 1 0, 10. a b 由得整数b的值为 1. 此时由式得， 2 axx 2 1 2 4 x 对一切实数x均成立. (0a ) 即 2 1 (2) 4 a xx0 对一切实数x均成立. (0a ) 当 a=2 时，此不等式化为 1 4 x 0，不满足对一切实数x均成立. 当 a2 时， 2 1 (2) 4 a xx0 对一切实数x均成立，(0a ) 2 2 20, 1 ( 1)4 (2)0. 4 a a 由，得 0 a1. 整数a的值为 1. 整数a，b，c的值分别为1a ，1b ，0c . x y 11 1 A P B M O 第 10 页 共 10 页