北京四中数学中考冲刺：方案设计与决策型问题--知识讲解（提高）

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1、第 1 页 共 8 页 中考中考冲刺冲刺：方案设计与决策型问题方案设计与决策型问题知识讲解（知识讲解（提高提高） 【中考展望】【中考展望】 方案设计与决策型问题对于考查学生的数学创新应用能力非常重要如让学生设计图形、设计测量 方案、设计最佳方案等都是近年考查的热点，题目多以解答题为主 方案设计与决策型问题是近几年的热点试题，主要利用图案设计或经济决策来解决实际问题题型 主要包括： 1根据实际问题拼接或分割图形； 2利用方程(组)、不等式(组)、函数等知识对实际问题中的方案进行比较等 方案设计与决策问题就是给解题者提供一个问题情境，要求解题者利用所学的数学知识解决问题， 这类问题既考查动手操作的

2、实践能力，又培养创新品质，应该引起高度重视 【方法点拨】【方法点拨】 解答决策型问题的一般思路，是通过对题设信息进行全面分析、综合比较、判断优劣，从中寻找到 适合题意的最佳方案 解题策略：建立数学模型，如方程模型、不等式模型、函数模型、几何模型、统计模型等，依据所 建的数学模型求解，从而设计方案，科学决策. 【典型例题】【典型例题】 类型一、利用方程（组）进行方案设计类型一、利用方程（组）进行方案设计 1 国务院总理温家宝 2011 年 11 月 16 日主持召开国务院常务会议， 会议决定建立青海三江源国家 生态保护综合实验区现要把 228 吨物资从某地运往青海甲、乙两地，用大、小两种货车共

3、18 辆，恰 好能一次性运完这批物资已知这两种货车的载重量分别为 16 吨/辆和 10 吨/辆，运往甲、乙两地的运 费如表： （1）求这两种货车各多少辆？ （2）如果安排 9 辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为 a 辆，前往甲、乙 两地的总运费为 w 元，求出 w 与 a 的函数关系式（写出自变量的取值范围） ； （3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于 120 吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方 案，并求出最少总运费 【思路点拨】 （1）设大货车用 x 辆，则小货车用 18x 辆，根据运输 228 吨物资，列方程求解； （2）设前往甲地的大货车为 a 辆，则前往

4、乙地的大货车为（8a）辆，前往甲地的小货车为（9a） 辆，前往乙地的小货车为10（9a）辆，根据表格所给运费，求出 w 与 a 的函数关系式； （3）结合已知条件，求 a 的取值范围，由（2）的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案. 【答案与解析】 运往地 车型 甲 地（元/辆） 乙 地（元/辆） 大货车 小货车 第 2 页 共 8 页 解： （1）设大货车用 x 辆，小货车用 y 辆，根据题意得， 2281016 18 yx yx 解得 .10 8 y x 答：大货车用 8 辆，小货车用 10 辆 （2）根据题意，得 w=720a+800（8-a）+500（9-a）+65010-（9-a）

5、 =70a+11550， w=70a+11550（0a8 且为整数）. （3）16a+10（9-a）120，解得 a5，又0a8，5a8 且为整数， 而 w=70a+11550，k=700，w 随 a 的增大而增大， 当 a=5 时，w 最小，最小值为 W=705+11550=11900（元） 答：使总运费最少的调配方案是：5 辆大货车，4 辆小货车前往甲地；3 辆大货车，6 辆小货车前往 乙地最少运费为 11900 元 【总结升华】 这是一道典型的三个“一次”携手结伴的中考试题，把一元一次方程（组） 、一元一次不等式和一次函 数有机地结合起来，和谐搭配，形成知识系统化、习题系列化，可谓“一石

6、三鸟”. 类型二、利用不等式（组）进行方案设计类型二、利用不等式（组）进行方案设计 2 某园林部门决定利用现有的 349 盆甲种花卉和 295 盆乙种花卉搭配 A、 B 两种园艺造型共 50 个， 摆放在迎宾大道两侧已知搭配一个 A 种造型需甲种花卉 8 盆，乙种花卉 4 盆；搭配一个 B 种造型需甲 种花卉 5 盆，乙种花卉 9 盆 (l）某个课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮 助设计出来； (2）若搭配一个 A 种造型的成本是 200 元，搭配一个 B 种造型的成本是 360 元，试说明（1）中哪种方 案成本最低，最低成本是多少元？ 【思路点拨

7、】 根据甲种花卉不超过 349 盆，乙种花卉不超过 295 盆，列出不等式组 A、B 两种园艺造型，求出设 计方案种类.分别结算出各种方案所需成本，选出最低成本的方案. 【答案与解析】 解：设搭建A种园艺造型 x 个，则搭建B种园艺造型（50-x）个. 根据题意得解得， x 为整数， x=31，32，33 可设计三种搭配方案： 方案 1：A 种园艺造型 31 个，B 种园艺造型 19 个； 方案 2：A 种园艺造型 32 个，B 种园艺造型 18 个； 方案 3：A 种园艺造型 33 个，B 种园艺造型 17 个 第 3 页 共 8 页 B 种造型的造价成本高于 A 种造型成本， B 种造型越

8、少，成本越低，故应选择方案 3，成本最低 则应该搭配A种 33 个，B种 17 个. 最低成本为：33200+17360=12720（元） 答：应选择方案 3 成本最低，最低成本为 12720 元 【总结升华】 本题考查了一元一次不等式组的实际应用，也可列出成本和搭配A种造型数量 x 之间的函数关系，用函 数的性质求解;或直接算出三种方案的成本进行比较也可. 对于方案设计类问题，结合列方程（组）或 不等式（组）解决. 举一反三：举一反三： 【变式变式】荣昌公司要将本公司 100 吨货物运往某地销售，经与春晨运输公司协商，计划租用甲、乙两种 型号的汽车共 6 辆，用这 6 辆汽车一次将货物全部运

9、走，其中每辆甲型汽车最多能装该种货物 16 吨， 每辆乙型汽车最多能装该种货物 18 吨已知租用 1 辆甲型汽车和 2 辆乙型汽车共需费用 2500 元；租用 2 辆甲型汽车和 l 辆乙型汽车共需费用 2450 元且同一种型号汽车每辆租车费用相同 (1)求租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是多少元? (2)若荣昌公司计划此次租车费用不超过 5000 元通过计算求出该公司有几种租车方案?请你设计 出来，并求出最低的租车费用 【答案】 (1)设租用一辆甲型汽车的费用是 x 元，租用一辆乙型汽车的费用是 y 元 由题意得 22500, 22450, xy xy 解得 800, 850. x y

10、 答：租用一辆甲型汽车的费用是 800 元，租用一辆乙型汽车的费用是 850 元 (2)设租用甲型汽车 z 辆，则租用乙型汽车(6-z)辆 由题意得 1618(6)100, 800850(6)5000, zz zz 解得 2x4 由题意知，z 为整数， z2 或 z3 或 z4 共有 3 种方案，分别是： 方案一：租用甲型汽车 2 辆，租用乙型汽车 4 辆；方案二：租用甲型汽车 3 辆，租用乙型汽车 3 辆； 方案三：租用甲型汽车 4 辆，租用乙型汽车 2 辆 方案一的费用是 8002+85045000(元)； 方案二的费用是 8003+85034950(元)； 方案三的费用是 8004+85

11、024900(元) 500049504900，所以最低运费是 4900 元 答：共有 3 种方案，分别是： 方案一：租用甲型汽车 2 辆，租用乙型汽车 4 辆； 方案二：租用甲型汽车 3 辆，租用乙型汽车 3 辆； 方案三：租用甲型汽车 4 辆，租用乙型汽车 2 辆 最低运费是 4900 元 第 4 页 共 8 页 类型三、利用方程（组） 、不等式（组）综合知识进行方案设计类型三、利用方程（组） 、不等式（组）综合知识进行方案设计 3为了抓住梵净山文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品若购进A种纪念 品 8 件，B种纪念品 3 件，需要 950 元；若购进A种纪念品 5 件，B

12、种纪念品 6 件，需要 800 元 (1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？ (2)若该商店决定购进这两种纪念品共 100 件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这 100 件纪念 品的资金不少于 7500 元，但不超过 7650 元，那么该商店共有几种进货方案？ (3)若销售每件A种纪念品可获利润 20 元，每件B种纪念品可获利润 30 元，在第(2)问的各种进货 方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【思路点拨】 这是一道融三个“一次”为一体的综合性应用题，体现了任何数学知识不是片面、孤立存在的，而 是相互依赖、相互联系和相互作用的数学意识. 【答案与解析】 解： （1）设该商

13、店购进一件 A 种纪念品需要 a 元，购进一件 B 种纪念品需要 b 元. 根据题意得方程组 ，80065 95038 ba ba 解方程组，得 .50 100 b a 购进一件 A 种纪念品需要 100 元，购进一件 B 种纪念品需要 50 元. （2）设该商店购进 A 种纪念品 x 件，则购进 B 种纪念品有（100x）件. .7650)100(50100 7500)100(50100 xx xx 解得 50x53. x 为正整数,x可取 50,51,52,53.共有 4 种进货方案. （3）设所获利润为 y 元，根据题意，有 y=20x+30（100-x）=-10x+3000. -100

14、，y 随 x 的增大而减小，x=50 时，y 最大值=-5010+3000=2500(元). 当购进 A 种纪念品 50 件，B 种纪念品 50 件时，可获最大利润，最大利润是 2500 元. 【总结升华】 只要我们弄清了三个“一次”之间的内在联系，构建其模型，把握题型规律，梳理相关信息，就会 轻松、有效地解决这类问题. 举一反三：举一反三： 【变式变式】为了解决农民工子女就近入学问题，我市第一小学计划 2012 年秋季学期扩大办学规模学校 决定开支八万元全部用于购买课桌凳、办公桌椅和电脑，要求购买的课桌凳与办公桌椅的数量比为 201，购买电脑的资金不低于 16000 元，但不超过 24000

15、 元已知一套办公桌椅比一套课桌凳贵 80 元， 用 2000 元恰好可以买到 10 套课桌凳和 4 套办公桌椅(课桌凳和办公桌椅均成套购进) (1)一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为多少元？ (2)求出课桌凳和办公桌椅的购买方案 【答案】 解：(1)设一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为x元、y元， 则 80 1042000 yx xy ，解得 120 200 x y . 答：一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为 120 元，200 元 第 5 页 共 8 页 (2)设购买办公桌椅m套，则购买课桌凳 20m套，由题意有 160008000012020m200m24000， 解得，21 7 1

16、3 m24 8 13 ， m为整数， m22、23、24，有三种购买方案，具体方案如下表： 方案一 方案二 方案三 课桌凳(套) 440 460 480 办公桌椅(套) 22 23 24 类型四、利用函数知识进行方案设计类型四、利用函数知识进行方案设计 4某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元在该 产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10 件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售 单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元 (1)商家一次

17、购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元? (2)设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，求y(元)与x(件)之间的函数关系式， 并写出自变量x的取值范围 (3)该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数 量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大， 公司应将最低销售单价调整为多少元?(其它销售条件不变) 【思路点拨】 （1）设件数为 x，则销售单价为 3000-10（x-10）元，根据销售单价恰好为 2600 元，列方程求解. （2）由利润y=销售单价件数，及销售单价均不低于2600元

18、，按0x10，10x50，x50三种情 况列出函数关系式. （3）由（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时x的值，确定销售 单价. 【答案与解析】 解： （1）设件数为x，依题意，得300010（x10）=2600，解得x=50. 答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元. （2）当0x10时，y=（30002400）x=600x； 当10x50时，y=300010（x10）2400x，即y=10x 2+700x； 当x50时，y=（26002400）x=200x. 2 600x(0x10x) y10x700x(10x50x) 200x(x50x

19、) 为数 为数 为数 ，且整 ，且整 ，且整 . 第 6 页 共 8 页 （3）由y=10x 2+700x可知抛物线开口向下，当 700 x35 210 时，利润y有最大值， 此时，销售单价为300010（x10）=2750元， 答：公司应将最低销售单价调整为 2750 元. 【总结升华】 本题考查了二次函数的运用关键是明确销售单价与销售件数之间的函数关系式，会表达单件的利 润及总利润 类型五、利用几何知识进行方案设计类型五、利用几何知识进行方案设计 5某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问 题，想在这三个地方的其中一处建一所饮水站，由供水站直接铺设

20、管道到另外两处 如图所示，甲、乙两村坐落在夹角为 30的两条公路的 AB 段和 CD 段(村子和公路的宽均不计)，点 M 表示这所中学 点 B 在点 M 的北偏西 30的 3km 处， 点 A 在点 M 的正西方向， 点 D 在点 M 的南偏西 60 的2 3km 处 为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案： 方案一：供水站建在点 M 处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值； 方案二：供水站建在乙村(线段 CD 某处)，甲村要求管道铺设到 A 处，请你在图中，画出铺设到 点 A 和点 M 处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值； 方案三：供水站建在甲

21、村(线段 AB 某处)，请你在图中，画出铺设到乙村某处和点 M 处的管道长 度之和最小的线路图，并求其最小值 综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？ 【思路点拨】 本题以紧密联系学生生活的“将军饮马”问题为原型，情景设计合理，设问层次分明，可以参照 “将军饮马”问题来解决该题. 【答案与解析】 解：方案一：由题意可得：MBOB， 点 M 到甲村的最短距离为 MB 点 M 到乙村的最短距离为 MD 将供水站建在点 M 处时，管道沿 MD、MB 线路铺设的长度之和最小 即最小值为 MB+MD32 3 方案二：如答图，作点 M 关于射线 OE 的对称点 M，则 MM2ME，连接 AM交

22、OE 于点 P， 第 7 页 共 8 页 则 PE 1 2 AM AM2BM5，PE3 在 RtDME 中， DEDMsin60 3 2 33 2 ， 11 2 33 22 MEDM PEDE P、D 两点重合即 AM过 D 点 在线段 CD 上任取一点 P，连接 PA，PM，PM， 则 PMPM APPMAM 把供水站建在乙村的 D 点处，管道沿 DA、DM 线路铺设的长度之和最小 即最小值为 AD+DMAM 2222 62( 3)4 3AMMM 方案三：如答图，作点 M 关于射线 OF 的对称点 M，连接 GM，则 GMGM 作 MNOE 于点 N，交 OF 于点 G，交 AM 于点 H，

23、 MN 为点 M到 OE 的最短距离，即 MNGM+GN 在 RtMHM 中，MMN30，MM6 MH3， NEMH3 DE3， N、D 两点重合，即 MN 过 D 点 在 RtMDM 中，DM2 3， MD4 3 在线段 AB 上任取一点 G，过 G作 GNOE 于点 N，连接 GM、GM 显然 GM+GNGM+GNMD 把供水站建在甲村的 G 处，管道沿 GM、GD 线路铺设的长度之和最小 即最小值为 GM+GDMD4 3 综上，32 34 3， 供水站建在 M 处，所需铺设的管道长度最短 【总结升华】 第 8 页 共 8 页 考查了学生的类比思想、操作、猜想论证和严密的数学思维能力，体现了对过程性目标的考查 举一反三：举一反三： 【变式变式】在ABC 中，BCa，BC 边上的高 h2a，沿图中线段 DE、CF 将ABC 剪开，分成的三块图形 恰能拼成正方形 CFHG，如图所示 请你解决如下问题： 已知：在锐角ABC中，BCa，BC边上的高 ha 2 1 请你设计两种不同的分割方法，将 ABC沿分割线剪开后，所得的三块图形恰能拼成一个正方形，画出分割线及拼接后的图形 【答案】