北京四中数学中考冲刺：几何综合问题--知识讲解（基础）

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1、第 1 页 共 9 页 中考中考冲刺冲刺：几何综合几何综合问问题题知识讲解（基础）知识讲解（基础） 【中考展望中考展望】 几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要 考查学生综合运用几何知识的能力.这类题型在近几年全国各地中考试卷中占有相当的分量，不仅有选 择题、填空题、几何推理计算题以及代数与几何的综合计算题,还有更注重考查学生分析问题和解决问 题能力的探究性的问题、方案设计的问题等等.主要特点是图形较复杂，覆盖面广、涉及的知识点较多， 题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答. 几何综合题的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运

2、动型、情景型等，背景鲜活，具有 实用性和创造性，考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能 力. 以几何为主的综合题常常在一定的图形背景下研究以下几个方面的问题： 1、证明线段、角的数量关系（包括相等、和、差、倍、分及比例关系等） ； 2、证明图形的位置关系（如点与线、线与线、线与圆、圆与圆的位置关系等） ； 3、几何计算问题； 4、动态几何问题等. 【方法点拨方法点拨】 一、几何计算型综合问题，常常涉及到以下各部分的知识： 1、与三角形有关的知识； 2、等腰三角形，等腰梯形的性质； 3、直角三角形的性质与三角函数； 4、平行四边形的性质； 5、全等三角形，相似

3、三角形的性质； 6、垂径定理，切线的性质，与正多边形有关的计算； 7、弧长公式与扇形面积公式. 二、几何论证型综合题的解答过程，要注意以下几个方面： 1、注意图形的直观提示，注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过 添加辅助线补全或构造基本图形； 2、注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础，要由已知联想经 验，由未知联想需要，不断转化条件和结论来探求思路，找到解决问题的突破点； 3、要运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题，还要灵活运用 数学思想方法如数形结合、分类讨论、转化、方程等思想来解决问题. 【典型例题】【典型例题】 类型一

4、、类型一、动态动态几何几何型问题型问题 1如图， 在矩形 ABCD 中， AB=12cm，BC=6cm， 点 P 沿 AB 边从点 A 开始向点 B 以 2cm/s 的速度移动； 点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向点 A 以 1cm/s 的速度移动.如果 P、Q 同时出发，用 t(s)表示移动的时间（0 t6） ，那么： 当 t 为何值时，QAP 为等腰直角三角形？ 求四边形 QAPC 的面积；提出一个与计算结果有关的结论； 当 t 为何值时，以点 Q、A、P 为顶点的三角形与ABC 相似？ D A B C Q P 第 2 页 共 9 页 【思路点拨】中应由QAP 为等腰直角三角形这一结论，

5、需补充条件 AQ=AP，由 AQ=6t，AP=2t，可 求出 t 的值； 中四边形 QAPC 是一个不规则图形，其面积可由矩形面积减去DQC 与PBC 的面积求出； 中由于题目中未给出三角形的相似对应方式，因此需分类讨论. 【答案与解析】 解： （1）对于任何时刻 t，AP=2t，DQ=t，QA=6-t 当 QA=AP 时，QAP 为等腰直角三角形，即 6-t=2t，解得：t=2（s） ， 所以，当 t=2s 时，QAP 为等腰直角三角形 （2）在QAC 中，QA=6-t，QA 边上的高 DC=12， SQAC= 1 2 QADC= 1 2 （6-t） 12=36-6t 在APC 中，AP=2

6、t，BC=6， SAPC= 1 2 APBC= 1 2 2t6=6t S四边形 QAPC=SQAC+SAPC=（36-6t）+6t=36（cm 2） 由计算结果发现：在 P、Q 两点移动的过程中，四边形 QAPC 的面积始终保持不变 （也可提出：P、 Q 两点到对角线 AC 的距离之和保持不变） （3）根据题意，可分为两种情况，在矩形 ABCD 中： 当 QAAP ABBC 时，QAPABC，则有： 62 126 tt ，解得 t=1.2（s） ， 即当 t=1.2s 时，QAPABC； 当 QAAP BCAB 时，PAQABC，则有： 62 612 tt ，解得 t=3（s） ， 即当 t=

7、3s 时，PAQABC； 所以，当 t=1.2s 或 3s 时，以点 Q、A、P 为顶点的三角形与ABC 相似 【总结升华】本题是动态几何题，同时也是一道探究题要求学生具有一定的发现、归纳和表达能力， 这就要求我们通过计算分析，抓住其本质，揭示出变中不变的规律四边形 QAPC 的面积也可由QAC 与 CAP 的面积求出， ；中考查了分类讨论的数学思想，结论具有一定的开放性. 2如图，在梯形ABCD中，ADBC，3AD ，5DC ，10BC ，梯形的高为 4动点M从B 点出发沿线段BC以每秒 2 个单位长度的速度向终点C运动； 动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒 1 个单位长度的速度向终点D运

8、动设运动的时间为t（秒） D N CMB A （1）当MNAB时，求t的值； 第 3 页 共 9 页 （2）试探究：t为何值时，MNC为等腰三角形 【思路点拨】 （1）M，N 在动，意味着 BM,MC 以及 DN,NC 都是变化的.但是我们发现，和这些动态的条件 密切相关的条件 DC,BC 长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的.所以当题中设定 MN/AB 时， 就变成了一个静止问题.由此，从这些条件出发，列出方程，便可得出结果. （2）如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论，两腰一底一个都不能少.具体分类 以后，就成了较为简单的解三角形问题，可以轻松求解. 【答案与解析

9、】 （1）由题意知，当M、N运动到t秒时，如图(1)，过D作DEAB交BC于E点，则四边形ABED是 平行四边形 ABDE，ABMN DEMN， MCNC ECCD 102 1035 tt 解得 50 17 t （2）分三种情况讨论： 当MNNC时，如图(2)作NFBC交BC于F，则有2MCFC 4 sin 5 DF C CD ， 3 cos 5 C， 3 1022 5 t t， 解得 25 8 t 当MNMC时，如图（3） ，过M作MHCD于 H 则2CNCH， 3 2 102 5 tt 60 17 t 当MCCN时， 第 4 页 共 9 页 则102tt, 10 3 t 综上所述，当 25

10、 8 t 、 60 17 或 10 3 时，MNC为等腰三角形 【总结升华】解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系 求解，但是对于大多数题目来说，都有一个由动转静的拐点. 3.已知：ABC 是边长为 1 的等边三角形，D 是射线 BC 上一动点（与点 B、C 不重合） ，以 AD 为一 边向右侧作等边ADE，连接 CE （1）当点 D 在线段 BC 上运动时（如图 1） ，求证：EC=DB；ECAB； （2）当点 D 在线段 BC 的延长线上运动时（如图 2） ，中的结论是否仍然成立？请说明理由； （3）当 EC=2 时，求ABC 与ADE 的面积比 【

11、思路点拨】 （1）根据ADE 与ABC 都是等边三角形，容易得到全等条件证明CAEBAD，再根据 全等三角形的性质可以证明题目的结论； （2）根据（1）可知 D 的位置对CAEBAD 没有影响，所以结论仍然成立，证明方法完全相同； （3）当 BD=2 时，AB=BC=AC= 1 2 BD，ABD 是直角三角形这样在 RtABD 解直角三角形中可以求出 AD 的长，然后利用相似三角形的性质解决问题 【答案与解析】 （1）证明： ADE 与ABC 都是等边三角形， AC=AB，AE=AD，DAE=BAC=60 DAE-CAD=BAC-CAD 即CAE=BAD CAEBAD EC=DB 由CAEBA

12、D ACE=B=60 ACE=BAC=60 ECAB （2）解：中得到的结论仍然成立 CAEBAD（SAS） ACE=B=60 ACE=BAC=60 ECAB 第 5 页 共 9 页 （3）解：CAEBAD BD=CE=2 ABC 是边长为 1 的等边三角形， 当 BD=2 时，点 D 在线段 BC 的延长线上， AB=BC=AC= 1 2 BD， ABD 是直角三角形 在 RtABD 中，AD=BDsinB=2 3 2 =3 ABCADE ABC 与ADE 的面积比为 1：3 【总结升华】本题主要是在动态的情形下考查全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质和相似三角 形的性质等知识 举一反三

13、：举一反三： 【变式变式】ABC 是等边三角形，P 为平面内的一个动点，BP=BA，若0PBC180，且PBC 平分线 上的一点 D 满足 DB=DA， （1）当 BP 与 BA 重合时（如图 1） ，BPD= ； （2）当 BP 在ABC 的内部时（如图 2） ，求BPD 的度数； （3）当 BP 在ABC 的外部时，请你直接写出BPD 的度数，并画出相应的图形 【答案】 （1）BPD= 30； （2）如图 3，连结 CD 点 D 在PBC 的平分线上， 1=2 ABC 是等边三角形， BA=BC=AC，ACB= 60 BP=BA， BP=BC BD= BD， PBDCBD BPD=3 第

14、6 页 共 9 页 DB=DA，BC=AC，CD=CD， BCDACD 1 3430 2 ACB BPD =30 （3）BPD= 30或 150. 类型二、几何计类型二、几何计算型问题算型问题 4.如图，直角三角形纸片 ABC 中，ACB=90，AC=8，BC=6折叠该纸片使点 B 与点 C 重合，折痕 与 AB、BC 的交点分别为 D、E. (1) DE 的长为 ； (2) 将折叠后的图形沿直线 AE 剪开，原纸片被剪成三块，其中最小一块的面积等于 【思路点拨】 （1）由题意可得：DE 是线段 BC 的垂直平分线，易证 DEAC，即 DE 是ABC 的中位线，即 可求得 DE 的长； （2）

15、由 DEAC，DE= 1 2 AC，易证AOCEOD，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得 OA：OE=2， 然后求得ACE 的面积，利用等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得答案 【答案与解析】 （1）根据题意得：DEBC，CE=BE， ACB=90， 即 ACBC， DEAC， AD=BD， DE= 1 2 AC= 1 2 8=4； （2）DEAC，DE= 1 2 AC， AOCEOD， OA：OE=AC：DE=2， 第 7 页 共 9 页 CE= 1 2 BC= 1 2 6=3， ACB=90，AC=8， SACE= 1 2 CEAC= 1 2 38=12， SOCE= 1 3 S

16、ACE=4， SADE+SODE=SABC-4-12=8， 其中最小一块的面积等于 4 【总结升华】考查了折叠的性质、直角三角形的性质、三角形中位线的性质以及相似三角形的判定与性 质此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系,是一道典型的几何 综合题 举一反三举一反三 【变式变式】在边长为 2 的菱形 ABCD 中，B=45，AE 为 BC 边上的高，将ABE 沿 AE 所在直线翻折得 ABE，那么ABE 与四边形 AECD 重叠部分的面积是 . 【答案】在 RtABE 中，B=45，AB=2， AE=BE=2 ，SABE=1 由翻折的性质可知：ABEABE，EB=E

17、B=2 BC=BBBC=222， 四边形 ABCD 是菱形，CFBA BFC=BAB=90, BCF=B=45 CF= 2 =2- 2 2 B C ， S BFC = 2 2 1 CF=322 S 阴=S B E A S B FC =222 5如图，在等腰梯形 ABCD 中，ABDC，A=45，AB=10 cm，CD=4 cm，等腰直角PMN 的斜边 MN=10 cm， A 点与 N 点重合， MN 和 AB 在一条直线上，设等腰梯形 ABCD 不动，等腰直角PMN 沿 AB 所 在直线以 1 cms 的速度向右移动，直到点 N 与点 B 重合为止. (1)等腰直角PMN在整个移动过程中与等腰

18、梯形ABCD重叠部分的形状由_形变化为_形； (2)设当等腰直角PMN 移动 x (s)时，等腰直角PMN 与等腰梯形 ABCD 重叠部分的面积为 y(cm 2)，求 y 与 x 之间的函数关系式； (3)当 x=4 (s)时，求等腰直角PMN 与等腰梯形 ABCD 重叠部分的面积. 第 8 页 共 9 页 【思路点拨】 （1）根据已知求出PNM=DAB=45，求出AEN，根据等腰直角三角形的判定判断即可； 推出DAB=PNM=45，根据等腰梯形的判定判断即可； （2）可分为以下两种情况： 当 0x6 时，重叠部分的形状为等腰直角EAN，AN=x（cm） ，过点 E 作 EHAB 于点 H，则

19、 EH 平分 AN，求出 EH，根据三角形的面积公式求出即可；当 6x10 时，重叠部分的形状是等腰梯形 ANED， 求出 AN=x（cm） ，CE=BN=10-x，DE=x-6，过点 D 作 DFAB 于 F，过点 C 作 CGAB 于 G，求出 DF，代入 梯形面积公式求出即可. 【答案与解析】 (1)等腰直角三角形；等腰梯形. (2)等腰直角PMN 在整个移动过程中与等腰梯形 ABCD 重合部分图形的形状可分为以下两种情况： 当 0x6 时，重叠部分的形状为等腰直角EAN(如图).此时 AN=x(cm)，过点 E 作 EHAB 于 点 H，则 EH 平分 AN， EH=AN=x， y=S

20、ANE=ANEH=xx=. 当 6x10 时，重叠部分的形状是等腰梯形 ANED(如图) 此时，AN=x(cm)，PNM=B=45，ENBC， CEBN，四边形 ENBC 是平行四边形， CE=BN=10-x，DE=4-(10-x)=x-6， 过点 D 作 DFAB 于 F，过点 C 作 CGAB 于 G， 则 AF=BG，DF=AF=(10-4)=3， y=S梯形 ANED=(DE+AN)DF=(x-6+x)3=3x-9. 综上，. (3)当等腰直角PMN 运动到 PN 边经过点 D 时，移动时间为 6(s)， 当 x=4 (s)时，y=x 2= 4 2=4. 当 x=4 (s)时，等腰直角

21、PMN 与等腰梯形 ABCD 重叠部分的面积是 4cm 2. 【总结升华】本题主要考查对等腰梯形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理， 三角形的面积，平移的性质，等腰直角三角形等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计 第 9 页 共 9 页 算是解此题的关键 举一反三：举一反三： 【变式变式】如图，等腰梯形 ABCD 中，AB=15，AD=20，C=30点 M、N 同时以相同速度分别从点 A、点 D 开始在 AB、AD(包括端点)上运动. (1)设 ND 的长为 x，用 x 表示出点 N 到 AB 的距离，并写出 x 的取值范围； (2)当五边形 BCDNM 面积

22、最小时，请判断AMN 的形状. 【答案】 (1)过点 N 作 BA 的垂线 NP，交 BA 的延长线于点 P.则 AM=x，AN=20-x. 四边形 ABCD 是等腰梯形，ABCD，D=C=30， PAN=D=30. 在 RtAPN 中，PN=ANsinPAN=(20-x)，即 N 到 AB 距离为(20-x). 点 N 在 AD 上，0x20，点 M 在 AB 上，0x15，x 取值范围是 0x15. (2)S五边形 BCDNM=S梯形-SAMN且 S梯形为定值， 当 S五边形 BCDMN最小时，应使 SAMN最大 据(1)，SAMN=AMNP=. 0，当 x=10 时，SAMN有最大值. 当 x=10 时，S五边形 BCDNM有最小值 当 x=10 时， 即 ND=AM=10，AN=AD-ND=10，即 AM=AN 则当五边形 BCDNM 面积最小时，AMN 为等腰三角形.