北京四中数学中考总复习：一元一次不等式（组）--知识讲解

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1、第 1 页 共 9 页 中考总复习：中考总复习：一元一次不等式（组）一元一次不等式（组）知识讲解知识讲解 【考纲要求】【考纲要求】 1.会解一元一次不等式（组） ，理解一元一次不等式（组）的解集的含义，进一步体会数形结合的思想； 2.会用不等式（组）进行解题，能利用不等式（组）解决生产、生活中的实际问题. 【知识网络】【知识网络】 【考点梳理】【考点梳理】 考点考点一、不等式的相关概念一、不等式的相关概念 1 1不等式不等式 用不等号连接起来的式子叫做不等式 常见的不等号有五种： “”、 “” 、 “” 、 “”、 “” 2 2不等式的解与解集不等式的解与解集 不等式的解：使不等式成立的未知数

2、的值，叫做不等式的解 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集 不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点：解集包含边界点，是实 心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：大向右，小向左. 3 3解解不等式不等式 求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程，叫做解不等式. 要点诠释：要点诠释： 不等式的解与一元一次方程的解是有区别的：不等式的解是不确定的，是一个范围，而一元一次方程 的解则是一个具体的数值 考点考点二、不等式的性质二、不等式的性质 性质性质 1 1： 不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子） ，不等号的方向不变，即如 ab

3、，那么 acbc 概念 基本性质 不等式的定义 不等式的解法 一元一次不等式 的解法 一元一次不等式组 的解法 不等式 实际应用 不等式的解集 第 2 页 共 9 页 性质性质 2 2： 不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果 ab，c0，那么 acbc（或 a c b c ） 性质性质 3 3： 不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果 ab，c0，那么 acbc（或 a c b c ） 要点诠释：要点诠释： （1）不等式的其他性质：若 ab，则 ba；若 ab，bc，则 ac；若 ab，且 ba， 则 a=b；若 a 20，则 a=0；若 ab0

4、或 0 a b ，则 a、b 同号；若 ab0 或0 a b ，则 a、b 异号. （2）任意两个实数 a、b 的大小关系：a-bOab；a-b=Oa=b；a-bOab 不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但ab可转换为ba，cd可转换为dc. 考点考点三、一元一次不等式三、一元一次不等式（组）（组） 1 1一元一次不等式的概念一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，且未知数的次数是 1，系数不等于 0 的不等式叫做一元一次不等式其标准形 式：ax+b0(a0)或 ax+b0(a0) ，ax+b0(a0)或 ax+b0(a0) 2 2一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法 一元一次不等

5、式的解法与一元一次方程的解法类似， 但要特别注意不等式的两边都乘以 （或除以） 同一个负数时，不等号要改变方向 解一元一次不等式的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)化系数为 1 要点诠释：要点诠释： 解一元一次不等式和解一元一次方程类似不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个 负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方 3 3一元一次不等式组及其解集一元一次不等式组及其解集 含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组 一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集 一元

6、一次不等式组的解集通常利用数轴来确定 要点诠释：要点诠释： 判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：组成不等式组的每一个不等式必须是 一元一次不等式，且未知数相同；不等式组中不等式的个数至少是 2 个，也就是说，可以是 2 个、3 个、4 个或更多 4 4一元一次不等式组的解法一元一次不等式组的解法 第 3 页 共 9 页 由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表 注：注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示. 要点诠释：要点诠释： 解不等式组时，一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上，再求出它们的公共 部分，就得到不等式组的解集 5 5一元一

7、次不等式一元一次不等式（组）（组）的应用的应用 列一元一次不等式（组）解实际应用问题，可类比列一元一次方程解应用问题的方法和技巧，不同 的是，列不等式（组）解应用题，寻求的是不等关系，因此，根据问题情境，抓住应用问题中“不等” 关系的关键词语，或从题意中体会、感悟出不等关系显得十分重要 要点诠释：要点诠释： 列一元一次不等式组解决实际问题是中考考查的一个重要内容，在列不等式解决实际问题时，应掌 握以下三个步骤： （1）找出实际问题中的所有不等关系或相等关系（有时要通过不等式与方程综合来 解决） ，设出未知数，列出不等式组（或不等式与方程的混合组） ； （2）解不等式组； （3）从不等式组 （或

8、不等式与方程的混合组）的解集中求出符合题意的答案 6 6一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系 一次函数(0)ykxb k， 当函数值0y 时， 一次函数转化为一元一次方程； 当函数值0y或 0y时，一次函数转化为一元一次不等式，利用函数图象可以确定x的取值范围. . 【典型例题】【典型例题】 类型一、解不等式（组）类型一、解不等式（组） 不等式组 （其中 ab） 图示 解集 口诀 xa xb b a xa （同大取大） xa xb ba xb （同小取小） xa xb b a bxa （大小取中间） xa xb b a 无解 （空集） （大大

9、、小小 找不到） 第 4 页 共 9 页 1解不等式 5 4 x-5，并把它的解集在数轴上表示出来 【思路点拨】 分数线兼有括号的作用，分母去掉后应将分子添上括号同时，用分母去乘不等式各项时，不 要漏乘不含分母的项； 不等式两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变； 在数轴上表示不等式的解集，当解集是 xa 或 xa 时，不包括数轴上 a 这一点，则这一点用 圆圈表示；当解集是 xa 或 xa 时，包括数轴上 a 这一点，则这一点用实心圆点表示. 【答案与解析】 解：去分母，得 4（2x-1）-2（10x+1）15x-60， 去括号，得 8x-4-20x-215x-60， 移项合

10、并同类项，得-27x-54， 系数化为 1，得 x2 在数轴上表示解集如下图所示： 2 o 【总结升华】解不等式（组）是中考中易考查的考点，必须熟练掌握 举一反三：举一反三： 【变式变式】1 3 13 2 1 xx 解不等式：. 【答案】解：去分母，得 6) 13(2) 13xx（ （不要漏乘！每一项都得乘） 去括号，得 62633xx （注意符号，不要漏乘!） 移 项，得 23663 xx （移项要变号） 合并同类项，得 73 x （计算要正确） 系数化为 1， 得 3 7 x （同除负，不等号方向要改变，分子分母别颠倒了） 2解不等式组 352 , 1 21 2 xx x x 并将其解集在

11、数轴上表示出来. 【思路点拨】分别解出两个不等式的解集，再求出公共的解集即可. 【答案与解析】 解： 第 5 页 共 9 页 由（1）式得x5， 由（2）式得x-1， -1x5 数轴上表示如图： 【总结升华】注意解不等式组的解题步骤. 举一反三：举一反三： 【变式变式 1 1】解不等式组 312(1) 2(1)4 xx xx ，并把它的解集在数轴上表示出来 【答案】不等式组的解集为-3x1，数轴上表示如图： 【变式变式 2 2】解不等式组 2 4x （x-1）+33x x-2 3 ，并写出不等式组的整数解； 【答案】不等式组的解集为 1x5，故其整数解为：1，2,3,4 类型二、一元一次不等式

12、（组）的特解问题类型二、一元一次不等式（组）的特解问题 3关于 x 的不等式组 15 3 2 22 3 x x x xa 只有 4 个整数解，则 a 的取值范围是（ ） A-5a-14 3 B-5a-14 3 C-5a-14 3 D-5a-14 3 【思路点拨】其基本思路为：先解关于 x 的一元一次不等式组的解集，然后确定此解集包含的四个整 数解，由这些整数解可推断字母 a 的取值范围. 【答案】C； 【解析】解原不等式组，得 2-3ax21 由题设条件可知 2-3ax21 包含着四个整数解，这四个整数解应为 17，18，19，20 这时，2-3a 应满足 162-3a17，解得-5a-14

13、3 【总结升华】本题主要考查学生是否会利用逆向思维法解决含有待定字母的一元一次不等式组的特解问 题 第 6 页 共 9 页 举一反三：举一反三： 【变式变式 1 1】关于x的方程，如果 3(x4)42a1 的解大于 3 )43( 4 14 xa x a 的解，求a的取值范围 【答案】 7 18 a. 【变式变式 2 2】若不等式-3x+n0 的解集是 x2，则不等式-3x+n0 的解集是_ 【答案】-3x+n0，x 3 n ， 3 n =2 即 n=6 代入-3x+n0 得：-3x+60， x2. 类型三、类型三、一元一次不等式（组）的应用一元一次不等式（组）的应用 4仔细观察下图，认真阅读对

14、话： 根据对话内容，试求出一盒饼干和一袋牛奶的标价各是多少元 【思路点拨】根据对话找到下列关系：饼干的标价+牛奶的标价10 元；饼干的标价10； 饼干标价的 90%+牛奶的标价=10 元-0.8 元，然后设未知数列不等式组 【答案与解析】 解：设饼干的标价为每盒 x 元，牛奶的标价为每袋 y 元 第 7 页 共 9 页 则 10(1) 0.9100.8(2) 10(3) xy xy x 由（2）得 y=9.2-0.9x （4） 把（4）代入（1）得：9.2-0.9x+x10，解得 x8 由（3）综合得 8x10 又x 是整数，x=9 把 x=9 代入（4）得：y=9.2-0.99=1.1（元）

15、 答：一盒饼干标价 9 元，一袋牛奶标价 1.1 元 【总结升华】不等式、方程与实际生活相联系的问题，主要是审好题，计算准确. 举一反三：举一反三： 【变式变式】某牛奶乳业有限公司经过市场调研，决定从明年起对甲、乙两种产品实行“限产压库” ，要求 这两种产品全年共新增产量 20 件，这 20 件的总产值 p（万元）满足：110p120已知有关数据如表 所示，那么该公司明年应怎样安排新增产品的产量？ 产品 每件产品的产值 甲 4.5 万元 乙 7.5 万元 【答案】 解：设该公司安排生产新增甲产品 x 件，那么生产新增乙产品（20-x）件， 由题意得：1104.5x+7.5（20-x）120 1

16、0x 40 3 ，依题意，得 x=11，12，13 当 x=11 时，20-11=9；当 x=12 时，20-12=8；当 x=13 时，20-13=7 所以该公司明年可安排生产新增甲产品 11 件，乙产品 9 件；或生产新增甲产品 12 件，乙产品 8 件； 或生产新增甲产品 13 件，乙产品 7 件 类型四、一元一次不等式（组）与方程的综合应用类型四、一元一次不等式（组）与方程的综合应用 5某钱币收藏爱好者，想把 350 元纸币兑换成的 1 分，2分，5 分的硬币；他要求硬币总数为 150 枚，2 分硬币的枚数不少于 20 枚且是 4 的倍数，5分的硬币要多于 2 分的硬币；请你根据此要求

17、， 设计所有的兑换方案 【思路点拨】题目中包含的相等关系有：所有硬币的总价值是 350 元；共有硬币 150 枚不等 第 8 页 共 9 页 关系有：2 分的硬币的枚数不少于 20 枚；5 分的硬币要多于 2 分的硬币且硬币的枚数为 整数，2 分的硬币的数量是 4 的倍数 【答案与解析】 解： （法一）设兑换成 1 分，2 分，5 分硬币分别为 x 枚，y 枚，z 枚，依据题意，得 150,(1) 25350,(2) ,(3) 20,(4) xyz xyz zy y 由（1） ， （2）得 将 y 代入（3） ， （4）得 2004 , 200420, zz z 解得 40z45，z 为正整数

18、，z 只能取 41，42，43，44，45，由此得出 x，y 的对应值， 共有 5 种兑换方案 73,76,79,82,85, 36,32,28,24,20, 41.42.43,44.45. xxxxx yyyyy zzzzz （法二） ：设兑换成的 1 分，2 分，5 分硬币分别为 x 枚，y 枚，z 枚，依据题意可得 150,(1) 25350,(2) (3) xyz xyz zy y 是 4 的倍数，可设 y=4k（k 为自然数） ， y20，4k20，即 k5 将 y=4k 代入（1） ， （2）可解得 z=50-k， zy，50-k4k，即 k10 5k10，又 k 为自然数，k 取

19、 5，6，7，8，9由此得出 x，y 的对应值，共有 5 种兑换方案： 73,76,79,82,85, 36,32,28,24,20, 41.42.43,44.45. xxxxx yyyyy zzzzz 【总结升华】这是一道方案设计题，是涉及到方程和不等式的综合应用题 6某校组织学生到外地进行综合实践活动，共有 680 名学生参加，并携带 300 件行李学校计划 租用甲、乙两种型号的汽车共 20 辆经了解，甲种汽车每辆最多能载 40 人和 10 件行李，乙种汽车每 辆最多能载 30 人和 20 件行李 第 9 页 共 9 页 如何安排甲、乙两种汽车可一次性地将学生和行李全部运走？有哪几种方案？

20、 如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为 2000 元、1800 元，请你选择最省钱的一种租车方案 【思路点拨】根据题意列出不等式组，解出未知数的取值范围，分类讨论各种方案. 【答案与解析】 解： （1）设安排x辆甲型汽车，安排（20-x）辆乙型汽车. 由题意得： 300)20(2010 680)20(3040 xx xx 解得108 x， 整数x可取 8、9、10. 共有三种方案： 租用甲型汽车 8 辆、乙型汽车 12 辆； 租用甲型汽车 9 辆、乙型汽车 11 辆； 租用甲型汽车 10 辆、乙型汽车 10 辆. （2）设租车总费用为w元，则)20(18002000xxw36000200 x w随x的增大而增大， 当8x时，37600360008200 最小 w， 最省钱的租车方案是：租用甲型汽车 8 辆、乙型汽车 12 辆 【总结升华】考查不等式与方程综合应用问题，体现了分类讨论的思想.