北京四中数学中考总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算--知识讲解（提高）

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1、第 1 页 共 11 页 中考总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算中考总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算知识讲解（知识讲解（提高提高） 【考纲要求】【考纲要求】 1了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆 锥的侧面积及全面积； 2结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达 能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力. 【知识网络】【知识网络】 【考点梳理】【考点梳理】 考考点点一一、正多边形和圆、正多边形和圆 1 1、正多边形的有关概念：、正多边形的有关概念：

2、 (1) 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形. (2)正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心. (3)正多边形的半径正多边形的外接圆的半径. (4)正多边形的边心距正多边形中心到正多边形各边的距离.（正多边形内切圆的半径.） (5)正多边形的中心角正多边形每一边所对的外接圆的圆心角. 2 2、正多边形与圆的关系：、正多边形与圆的关系： (1)将一个圆 n(n3)等分(可以借助量角器)， 依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多 边形. (2)这个圆是这个正多边形的外接圆. （3）把圆分成 n(n3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆 的外切正

3、 n 边形.这个圆叫做正 n 边形的内切圆. （4）任何正 n 边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 3 3、正多边形性质：、正多边形性质： (1)任何正多边形都有一个外接圆. (2) 正多边形都是轴对称图形， 一个正n边形共有n条对称轴， 每条对称轴都通过正n边形的中心 当 边数是偶数时，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 第 2 页 共 11 页 (3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于 相似比的平方 （4）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 要点诠释：要点诠释： （1） 正n边形的有n个相等的

4、外角， 而正n边形的外角和为360度， 所以正n边形每个外角的度数是 360 n ； 所以正 n 边形的中心角等于它的外角. （2）边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长（或半径、边心距）的比.面积比等于它们边长 （或半径、边心距）平方的比. 考点二考点二、圆中有关计算圆中有关计算 1 1圆中有关计算圆中有关计算 圆的面积公式：，周长. 圆心角为、半径为 R 的弧长. 圆心角为，半径为 R，弧长为 的扇形的面积. 弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算. 圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为 R，母线长为 的圆柱的体积为，侧面积为，全 面积为. 圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为

5、 R，母线长为 ，高为的圆锥的侧面积为，全面积为 ，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有. 弓形的面积 （1）由弦及其所对的劣弧组成的图形，S弓形=S扇形-SOAB； （2）由弦及其所对的优弧组成的弓形，S弓形=S扇形+SOAB. O A B A B O m A B O m 第 3 页 共 11 页 要点诠释：要点诠释： (1)对 于 扇形 面 积公 式 ， 关键 要 理解 圆心 角 是 1 的 扇形 面积 是 圆 面积 的， 即 ； (2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积 S、扇形半径 R、扇形的圆心角，知道其中的两个量 就可以求出第三个量. (3)扇形面积公式， 可根据题目条件灵活选择

6、使用， 它与三角形面积公式有点 类似，可类比记忆； (4)扇形两个面积公式之间的联系：. 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、正多边形有关计算正多边形有关计算 1如图，矩形 ABCD 中，AB=4，以点 B 为圆心，BA 为半径画弧交 BC 于点 E，以点 O 为圆心的O 与弧 AE，边 AD，DC 都相切把扇形 BAE 作一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆恰好是O，则 AD 的长为 （ ） A.4 B. 9 2 C.11 2 D.5 【思路点拨】首先求得弧 AE 的长，然后利用弧 AE 的长正好等于圆的底面周长，求得O 的半径，则 BE 的长加上半径即为 AD 的长 【答案】D； 【解析】

7、 解：AB=4，B=90， 904 2 180 AE ， 圆锥的底面圆恰好是O， O 的周长为 2， O 的半径为 1， 第 4 页 共 11 页 AD=BC=BE+EC=4+1=5. 故选 D 【总结升华】本题考查了圆锥的计算及相切两圆的性质，解题的关键是熟记弧长的计算公式. 举一反三：举一反三： 【变式变式 1 1】如图，两个相同的正六边形，其中一个正多边形的顶点在另一个正多边 形外接圆圆心 O 处求重叠部分面积与阴影部分面积之比. 【答案】 解解：连结 OA、OB、OC， 设 OA交 AB 于 K，OE交 CD 于 H， AOK=AOC-KOC =120-KOC， COH=120-KOC

8、， AOK=COH， 又OAK=OCH=60，OA=OC， AOKCOH， 由AOKCOH， 得 S五边形 OKBCH=S四边形 ABCO=2SOBC， S阴影=S正六边形 ABCDEF-S五边形 OKBCH =6SOBC-2SOBC=4SOBC. S五边形 OKBCH：S阴影= 21 = 42 . 即重叠部分面积与阴影部分面积之比为： 1 2 . 【变式变式 2 2】 已知：正十边形的半径是 R，求证：它的边长为 10 1 ( 51) 2 aR. 第 5 页 共 11 页 【答案】 证明：作OAB 的平分线 AM 交 OB 于 M，则O=OAM=36，AMB=B=72， OM=MA=AB，则

9、ABMOAB 得： OAAB = ABBM 用 R，a10分别表示 OA，AB，BM，代入以上比例式整理得 a10 2+ Ra 10-R 2=0, 解关于 a10的一元二次方程得 10 1 ( 51) 2 aR（负值已舍去）. 类型二、类型二、正多边形与圆综合运用正多边形与圆综合运用 2 （2014江西模拟）如图，AG 是正八边形 ABCDEFGH 的一条对角线 （1）在剩余的顶点 B、C、D、E、F、H 中，连接两个顶点，使连接的线段与 AG 平行，并说明理由； （2）两边延长 AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点 P、Q、M、N，若 AB=2，求四边形 PQMN 的 面积 【思路点拨

10、】 （1）利用已知得出正八边形，它的内角都为 135，再利用正八边形 ABCDEFGH 关于直线 BF 对称，得出2+3=180，进而得出答案； （2）根据题意得出PAHQCBMDE，则 PA=QB=QC=MD即 PQ=QM，故四边形 PQMN 是正 方形，进而求出 PQ 的长即可得出答案 【答案与解析】 解： （1）连接 BF，则有 BFAG 第 6 页 共 11 页 理由如下： ABCDEFGH 是正八边形， 它的内角都为 135 又HA=HG， 1=22.5， 从而2=1351=112.5 由于正八边形 ABCDEFGH 关于直线 BF 对称， 即2+3=180，故 BFAG （2）根据

11、题设可知PHA=PAH=45， P=90，同理可得Q=M=90， 四边形 PQMN 是矩形 又PHA=PAH=QBC=QCB=MDE=MED=45，AH=BC=DE， PAHQCBMDE， PA=QB=QC=MD即 PQ=QM， 故四边形 PQMN 是正方形 在 RtPAH 中，PAH=45，AH=2， PA=2 故 【总结升华】此题主要考查了正多边形和圆以及全等三角形的判定与性质等知识，得出 PQ 的长是解题 关键 举一反三：举一反三： 【变式变式】如图所示，在ABC 中，BC4，以点 A 为圆心，2 为半径的A 与 BC 相切于点 D，交 AB 于 E， 交 AC 于 F，点 P 是A 上

12、的一点，且EPF40，则图中阴影部分的面积是( ) A 4 4 9 B 8 4 9 C 4 8 9 D 8 8 9 【答案】 连接 AD，则 ADBC，阴影部分面积 ABCEAF SS 扇 故 2 18028 4 24 23609 S 阴影 答案：B 第 7 页 共 11 页 3 （2014 秋武穴市校级期末）扇形的圆心角为 90，面积为 16 （1）求扇形的弧长 （2）若将此扇形卷成一个无底圆锥形筒，则这个圆锥形筒的高是多少？ 【思路点拨】 （1）首先根据扇形的面积公式求得扇形的半径，然后根据扇形的面积公式 S扇形= lR（其中 l 为扇形的弧长） ，求得扇形的弧长 （2）设扇形的半径为 R

13、，圆锥的底面圆的半径为 r，先根据扇形的面积公式解得母线长，再利用弧长公 式得到底面半径 r=2，然后利用勾股定理计算这个圆锥形桶的高 【答案与解析】 解： （1）设扇形的半径是 R，则=16， 解得：R=8， 设扇形的弧长是 l，则 lR=16，即 4R=16， 解得：l=4 （2）圆锥的底面圆的半径为 r， 根据题意得 2r=，解得 r=2， 所以个圆锥形桶的高=2 故答案为 2 【总结升华】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周 长，扇形的半径等于圆锥的母线长也考查了勾股定理 4如图所示，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为 6cm 的正三角形 ABC

14、，粮堆母线 AC 的中点 P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在 B 处，它要沿圆锥侧面到达 P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的 最短路程是多少？ 第 8 页 共 11 页 【思路点拨】 小猫所经过的路程要最短，应该求圆锥侧面展开后两点 B、P 之间的线段长度. 【答案与解析】 解：设圆锥底面半径为 r，母线长为l，展开后圆心角度数为 n，则底面圆的周长为 2r，侧面 展开图的弧长为 180 n l ， 2 180 n l l 轴截面ABC 为等边三角形， ABBC，即26lr r3 6 23 180 n n180，即其侧面展开图为半圆，如图所示，则ABP 为直角三角形，BP 为最短路线 在 R

15、tABP 中， 2222 633 5(m)BPABAP 答：小猫所经过的最短路程为3 5m 【总结升华】 将所求问题转化为平面上两点之间线段最短的问题，充分利用圆锥底面周长等于侧面展开图的弧 长沟通空间元素与平面元素之间的关系 5如图，在正方形 ABCD 中，AB4，O 为对角线 BD 的中点，分别以 OB，OD 为直径作O1，O2 (1)求O1的半径； (2)求图中阴影部分的面积 【思路点拨】连接 O1E，求出一个小弓形的面积再乘以 4 即可. 【答案与解析】 解：(1)在正方形 ABCD 中，ABAD4，A90， 22 444 2BD O1的半径为 11 4 22 44 BD ， 第 9

16、页 共 11 页 即O1的半径为2 (2)连接 O1E， BD 为正方形 ABCD 的对角线， ABO45 O1EO1B， BEO1EBO245 BO1E90 11 1O BEO BE SSS 扇形 2 2 90( 2)11 ( 2)1 36022 根据图形的对称性得 S1S2S3S4， 1 424SS 阴影 【总结升华】 求阴影部分面积时，一般要将阴影部分面积转化为几个规则图形的面积求差或和. 举一反三：举一反三： 【变式变式】已知：如图所示，水平地面上有一面积为 30cm 2的扇形 AOB，半径 OA6cm，且 OA 与地面垂 直在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至 OB 与地面垂直为止，

17、求 O 点移动的距离 【答案】 解：观察图形可知 O 点移动距离即为扇形滚动距离，而扇形滚动距离为优弧AOB的弧长 1 2 SlR 弧扇 ， 22 30 10 (cm) 6 S l R 弧 答：O 点移动的距离为 10 cm 6如图，已知在O 中，4 3AB ，AC 是O 的直径，ACBD 于 F，A30 第 10 页 共 11 页 (1)求图中阴影部分的面积； (2)若用阴影扇形 OBD 围成一个圆锥侧面，请你出这个圆锥的底面圆的半径 【思路点拨】 （1）阴影部分是一个扇形，扇形圆心角BOD2BOC2230120，只需通过解直角三角 形求出 OB 的长，即可利用扇形面积 2 360 n r

18、求出阴影部分面积 （2）扇形弧长是圆锥的底面周长，由条 件求出BCD的长 l，利用2lr可求出半径 r 的长 【答案与解析】 解：(1)过 O 作 OEAB 于 E，则 1 2 3 2 AEAB 在 RtAEO 中，BAC30，cos30 AE OA 2 3 4 cos303 2 A OA 又 OAOB， ABO30 BOC60 ACBD， BCCD CODBOC60 BOD120 2 2 12016 4 3603603 nOA S 阴影 第 11 页 共 11 页 (2)设圆锥的底面圆的半径为 r，则周长为 2r， 120 24 180 r 4 3 r 【总结升华】用扇形围成圆锥，扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长是圆锥的底面周长.