北京四中数学中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系--知识讲解（提高）

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1、第 1 页 共 16 页 中考总复习：中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系 知识讲解（知识讲解（提高提高） 【考纲要求】【考纲要求】 1. 圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明会有下降 趋势，不会有太复杂的大题出现； 2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究 型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于 生活 【知识网络】【知识网络】 【考点梳理】【考点梳理】 考点一、圆的有关概念考点一、圆的有关概念及性质及性质 1

2、 1圆的有关概念圆的有关概念 圆、圆心、半径、等圆； 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧； 三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角 要点诠释：要点诠释：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧 2 2圆的对称性圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴； 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； 圆具有旋转不变性 3 3圆的确定圆的确定 不在同一直线上的三个点确定一个圆 要点诠释：要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小 4 4垂直于弦的直径垂直于弦的直径 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所

3、对的两条弧 推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 第 2 页 共 16 页 要点诠释：要点诠释：在图中(1)直径 CD，(2)CDAB，(3)AMMB，(4)CCAB，(5)ADBD若上述 5 个条 件有 2 个成立，则另外 3 个也成立因此，垂径定理也称“五二三定理” 即知二推三 注意：(1)(3)作条件时，应限制 AB 不能为直径 5 5圆心角、弧、弦之间的关系圆心角、弧、弦之间的关系 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其 余各组量也相等 6 6圆周角

4、圆周角 圆周角定理 在同圆或等圆中， 同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于这条弧所对的圆心角的一半 推论 1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等 推论 2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径 要点诠释：要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中 7.7.圆内接四边形圆内接四边形 （1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形 （2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角） 考点二、考点二、与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系 1 1点和圆的位置关系点和圆的位置关系 设O 的半径为 r，点 P 到圆心的距

5、离 OPd，则有： 点 P 在圆外dr； 点 P 在圆上dr； 点 P 在圆内dr 要点诠释：要点诠释：圆的确定： 过一点的圆有无数个，如图所示 过两点 A、B 的圆有无数个，如图所示 经过在同一直线上的三点不能作圆 不在同一直线上的三点确定一个圆如图所示 第 3 页 共 16 页 2 2直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系 （1）切线的判定 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 (会过圆上一点画圆的切线) （2）切线的性质 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径 （3）切线长和切线长定理 切线长 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的

6、切线长 切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条 切线的夹角 要点诠释：要点诠释：直线l是O 的切线，必须符合两个条件：直线l经过O 上的一点 A；OAl （4）三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. （5）三角形的内心： 三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距 离都相等. 要点诠释：要点诠释： (1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； (2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积 的一半，即(

7、S 为三角形的面积，P 为三角形的周长，r 为内切圆的半径). (3) 三角形的外心与内心的区别： 第 4 页 共 16 页 名称 确定方法 图形 性质 外心(三角形 外接圆的圆 心) 三角形三边中垂线的 交点 (1) 到三角形三个顶点的距 离相等，即 OA=OB=OC；(2) 外心不一定在三角形内部 内心(三角形 内切圆的圆 心) 三角形三条角平分线 的交点 (1)到三角形三边距离相等； (2)OA、OB、OC 分别平分 BAC、ABC、ACB； (3)内 心在三角形内部. 3 3圆和圆的位置关系圆和圆的位置关系 (1)基本概念 两圆相离、相切、外离、外切、相交、内切、内含的定义 (2)请看

8、下表： 要点诠释：要点诠释： 相切包括内切和外切，相离包括外离和内含其中相切和相交是重点 同心圆是内含的特殊情况 圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解 “R-r”时，要特别注意，Rr 考点考点三三、与圆有关的、与圆有关的规律探究规律探究 1 1和圆有关的最长线段和最短线段和圆有关的最长线段和最短线段 了解和圆有关的最长线段与最短线段，对有关圆的性质的了解极为重要，下面对有关问题进行简单 论述 (1)圆中最长的弦是直径 如图，AB 是O 的直径，CD 为非直径的弦，则 ABCD，即直径 AB 是最长的弦 第 5 页 共 16 页 过圆内一点最短的弦，是与过该点的直径垂直的弦，如图，P 是

9、O 内任意一点，过点 P 作O 的 直径 AB，过 P 作弦 CDAB 于 P，则 CD 是过点 P 的最短的弦 (2)圆外一点与圆上一点的连线中，最长的线段与最短的线段都在过圆心的直线上 如图所示，P 在O 外，连接 PO 交O 于 A，延长 PO 交O 于 B，则在点 P 与O 上各点连接的线段 中，PB 最长，PA 最短 (3)圆内一点与圆上一点的连线中，最长的线段与最短的线段也都在过圆心的直线上 如图所示，P 为O 内一点，直径过点 P，交O 于 A、B 两点，则 PB 最长、PA 最短 2 2与三角形内心有关的角与三角形内心有关的角 (1)如图所示，I 是ABC 的内心，则BIC 1

10、 90 2 A (2)如图所示，E 是ABC 的两外角平分线的交点， 1 90 2 BECA (3)如图所示，E 是ABC 内角与外角的平分线的交点， 1 2 EA 第 6 页 共 16 页 (4)如图所示，O 是ABC 的内切圆，D、E、F 分别为切点，则DOE180A (5)如图所示，O 是ABC 的内切圆，D、E、F 为切点， 1 90 2 DFEA (6)如图所示，O 是ABC 的内切圆，D、E、F 为切点，P 为DE上一点，则 1 90 2 DPEA 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、圆的性质及垂径定理的应用圆的性质及垂径定理的应用 1已知：如图所示，O 中，半径 OA4，弦

11、 BC 经过半径 OA 的中点 P，OPC60，求弦 BC 的 长 【思路点拨】 要用好 60角，构造直角三角形在圆中常用的是作出弦的弦心距，由弦心距，半弦长及半径构成 直角三角形 【答案与解析】 解：过 O 作 OMBC 于 M，连接 OC 第 7 页 共 16 页 在 RtOPM 中，OPC60， OP 1 2 2 OA， PM1，OM3 在 RtOMC 中， BC2MC 22 22 13OCOM 【总结升华】 圆的半径、弦长的一半、弦心距三条线段组成一个直角三角形，其中一个锐角为弦所对圆心角的 一半，可充分利用它们的关系解决有关垂径定理的计算问题 2如图所示，在O 中，弦 AB 与 CD

12、 相交于点 M，ADBC，连接 AC (1)求证：MAC 是等腰三角形； (2)若 AC 为O 直径，求证：AC 22AMAB 【思路点拨】 (1)证明MCAMAC；(2)证明AOMABC 【答案与解析】 证明：(1) ADCB，MCAMAC MAC 是等腰三角形 (2)连接 OMAC 为O 直径，ABC90 MAC 是等腰三角形，OAOC， MOACAOMABC90 MAOCAB，AOMABC， 第 8 页 共 16 页 AOAB AMAC ，AOACAMAB， AC 22AMAB 【总结升华】 本题考查的是圆周角定理，涉及到全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角 形的判定

13、与性质及三角形内角和定理，涉及面较广，难度适中 举一反三：举一反三： 【变式变式】如图所示，在O 中，AB2CD，则( ) A2ABCD B2ABCD C2ABCD DAB与2CD的大小关系无法确定 【答案】 解：要比较AB与2CD的大小有两种思路 (1)把AB的一半作出来，比较 1 2 AB与CD的大小； (2)把2CD作出来，比较AB与2CD的大小 如图所示，作 OEAB，垂足为 E，交AB于 F则AFBF，且 1 2 AEAB AB2CDAECD 在 RtAFE 中，AFAECD AFCD 22AFCD，即2ABCD 答案 A. 3已知：如图所示，ABC 内接于O，BD半径 AO 于 D

14、 (1)求证：CABD； 第 9 页 共 16 页 (2)若 BD4.8，sinC 4 5 ，求O 的半径 【思路点拨】 过 O 作 OEAB 于 E，连接 BO，再由垂径定理及三角函数进行证明与求解. 【答案与解析】 解法一：(1)过 O 作 OEAB 于 E， 连接 BO(如图所示)，则 1 2 CBOAAOE 又 BDAO，ABD+BAD90 AOE+BAD90，ABDAOEC （2）在 RtABD 中，sin AD ABD AB ， 4 sin 5 AD C AB 设 AD4k，则 AB5k，BD3k4.8，k1.6 AB8，AE4 sin AE AOE OA ， 44 5OA OA5

15、 解法二： （1）延长 AO 交O 于 C （如图所示） CC AC为O 的直径， ABC90 C+BAD90 第 10 页 共 16 页 BAD+ABD90， ABDCC （2）在 RtBDC中，sinsin BD CC BC ， 4.8 6 0.8 BC 在 RtABC中， 4 sin 5 AB C AC ， 设 AB4k，则 AC5k，BC3k6 k2 11 105 22 OAAC 【总结升华】 解决圆周角的问题中常用的方法有两种：一是把圆周角转化为同弧所对圆心角的一半的角；二是将 圆周角的顶点移动到使其一边经过圆心 类型类型二二、圆的切线判定与性质的应用圆的切线判定与性质的应用 4 （

16、2014 秋兴化市月考）如图，AB 是O 的直径，点 C 是O 上一点，AD 与过点 C 的切线垂直， 垂足为点 D，直线 DC 与 AB 的延长线相交于点 P，弦 CE 平分ACB，交 AB 于点 F，连接 BE （1）求证：AC 平分DAB； （2）求证：PCF 是等腰三角形； （3）若 AC=8，BC=6，求线段 BE 的长 【思路点拨】 （1）根据切线的性质可得结论； （2）连接 OE，根据圆周角定理得ACB=90，进而可推导得出PCF 是等腰三角形； （3）先在 RtACB 中，根据勾股定理计算出 AB=10，最终算得 BE 的值 【答案与解析】 （1）证明：PD 为O 的切线， O

17、CDP， ADDP， OCAD， DAC=OCA， OA=OC， OAC=OCA， 第 11 页 共 16 页 OAC=DAC， AC 平分DAB； （2）证明：AB 为O 的直径， ACB=90， CE 平分ACB， BCE=45， BOE=2BCE=90， OFE+OEF=90， 而OFE=CFP， CFP+OEF=90， OCPD， OCP=90，即OCF+PCF=90， 而OCF=OEF， PCF=CFP， PCF 是等腰三角形； （3）解：在 RtACB 中， AC=8，BC=6， AB=10， OB=5， BOE=90， BOE 为等腰直角三角形， BE=OB=5 【总结升华】本题

18、考查了切线的性质，圆周角定理和等腰三角形的判定运用切线的性质来进行计算或 论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题 举一反三：举一反三： 【变式变式】 （2015毕节市）如图，以 ABC 的 BC 边上一点 O 为圆心的圆，经过 A，B 两点，且与 BC 边 交于点 E，D 为 BE 的下半圆弧的中点，连接 AD 交 BC 于 F，AC=FC （1）求证：AC 是O 的切线； （2）已知圆的半径 R=5，EF=3，求 DF 的长 第 12 页 共 16 页 【答案】 （1）证明：连结 OA、OD，如图， D 为 BE 的下半圆弧的中点， ODBE， D+DFO=9

19、0， AC=FC， CAF=CFA， CFA=DFO， CAF=DFO， 而 OA=OD， OAD=ODF， OAD+CAF=90，即OAC=90， OAAC， AC 是O 的切线； （2）解：圆的半径 R=5，EF=3， OF=2， 在 Rt ODF 中，OD=5，OF=2， DF= 类型类型三三、切线的性质与等腰三角形、勾股定理综合运用切线的性质与等腰三角形、勾股定理综合运用 5如图所示，O 是 RtABC 的外接圆，AB 为直径，ABC30，CD 是O 的切线，EDAB 于 F (1)判断DCE 的形状； (2)设O 的半径为 1，且 31 2 OF ，求证DCEOCB 第 13 页 共

20、 16 页 【思路点拨】 （1）由于 AB 是直径，那么ACB=90，而ABC=30，易求BAC=60，结合 OA=OC，易证AOC 是正三角形，于是OCD=60，结合 CD 是切线，易求DCE=30，在 RtAEF 中，易求E=30，于 是DCE=E，可证CDE 为等腰三角形； （2） 在 RtABC 中， 由于A=60， AB=2， 易求 AC=AO=1， 利用勾股定理可求 BC=3， CE=AE-AC=3， 那么 BC=CE，而OBC=OCB=DCE=DEC=30，从而可证OBCDCE 【答案与解析】 解：(1)ABC30，BAC60 又OAOC，AOC 是正三角形 CD 是切线，OCD

21、90 DCE180-609030 DCEDEC 而 EDAB 于 F， CED90BAC30 故CDE 为等腰三角形 (2)证明：在ABC 中， AB2，ACAO1，BC3 31 2 OF ， 31 2 AFAOOF 又AEF30，AE2AF31 CEAEAC3BC 而OCBACBACO30ABC， 故CDECOB 【总结升华】 本题考查了切线的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定、勾股定理、全等三角形的 判定和性质解题的关键是证明AOC 是正三角形 举一反三：举一反三： 【变式变式】如图所示，PQ3，以 PQ 为直径的圆与一个以 5 为半径的圆相切于点 P，正方形 ABCD 的顶点

22、 A、 B 在大圆上，小圆在正方形的外部且与 CD 切于点 Q，则 AB_ 【答案】 解：连接 PQ 并延长交 AB 于 E，设大圆的圆心为 O，连接 OA设 AB2x，则 AEx，OB2x-2 在 RtOAE 中，OA5， OA 2OE2+AE2，即 52(2x-2)2+x2， 第 14 页 共 16 页 x3AB6 答案：6 6如图所示，O 的直径 AB4，点 P 是 AB 延长线上的一点，PC 切O 于点 C，连接 ACPM 平分 APC 交 AC 于 M (1)若CPA30，求 CP 的长及CMP 的度数； (2)若点 P 在 AB 的延长线上运动，你认为CMP 的大小是否发生变化？若

23、变化，说明理由；若不变 化，请求出CMP 的度数； (3)若点 P 在直径 BA 的延长线上，PC 切O 于点 C，那么CMP 的大小是否变化？请直接写出你的 结论 【思路点拨】 （1）作辅助线，连接 OC，根据切线的性质知：OCPC，由CPO 的值和 OC 的长，可将 PC 的长求出； （2）通过角之间的转化，可知：CMP= 1 2 （COP+CPO），故CMP 的值不发生变化 【答案与解析】 解:(1)连接 OC，则OCP90 OAOC， COP2CAP60 CPOCtan60 1 2 ABtan602 3， CP2 3 PM 平分CPA， 111 (90)(9060 )15 222 MP

24、ACPACOP CMP30+15=45. (2)设CPA， PM 平分CPA， 第 15 页 共 16 页 MPA 1 2 CPA 1 2 OCP90， COP90- 又 OAOC， CAP 1 (90) 2 CMPCAP+MPA 11 (90)45 22 （3）CMP 的大小没有变化 CMP=A+MPA= 1 2 COP+ 1 2 CPO= 1 2 （COP+CPO）= 1 2 90=45 【总结升华】 解第(2)小题时，引用“设CPA”这一方法，用代数方法计算得出结论，降低了解题的难度 本题主要考查切线的性质及对直角三角形性质的运用 举一反三：举一反三： 【变式变式】如图所示，AB 是O 的直径，C 是EA的中点，CDAB 于 D，CD 与 AE 相交于 F (1)求证：AC 2AFAE；(2)求证：AFCF 【答案】 证明：(1)如图所示，连接 CE，延长 CD 交O 于 G，连接 AG AB 是O 直径，CDAB， ACAG 23 又11，AFCACE ACAE AFAC AC 2AFAE (2)由(1)得ACAG 又C 是AE的中点，ACAGCE 21AFCF 第 16 页 共 16 页