北京四中数学中考总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算--知识讲解（基础）

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1、第 1 页 共 12 页 中考总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算中考总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算知识讲解（基础）知识讲解（基础） 【考纲要求】【考纲要求】 1了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆 锥的侧面积及全面积； 2结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达 能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力. 【知识网络】【知识网络】 【考点梳理】【考点梳理】 考考点点一一、正多边形和圆、正多边形和圆 1 1、正多边形的、正多边形的有关有关概念：概念

2、： (1) 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形. (2)正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心. (3)正多边形的半径正多边形的外接圆的半径. (4)正多边形的边心距正多边形中心到正多边形各边的距离.（正多边形内切圆的半径） (5)正多边形的中心角正多边形每一边所对的外接圆的圆心角. 2 2、正多边形与圆的关系：、正多边形与圆的关系： (1)将一个圆 n(n3)等分(可以借助量角器)， 依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多 边形. (2)这个圆是这个正多边形的外接圆. （3）把圆分成 n(n3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆 的外切正

3、 n 边形.这个圆叫做正 n 边形的内切圆. （4）任何正 n 边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 3 3、正多边形性质：、正多边形性质： (1)任何正多边形都有一个外接圆. (2) 正多边形都是轴对称图形， 一个正n边形共有n条对称轴， 每条对称轴都通过正n边形的中心 当 边数是偶数时，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 第 2 页 共 12 页 (3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于 相似比的平方 （4）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 要点诠释：要点诠释： （1） 正n边形的有n个相等的

4、外角， 而正n边形的外角和为360度， 所以正n边形每个外角的度数是 360 n ； 所以正 n 边形的中心角等于它的外角. （2）边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长（或半径、边心距）的比.面积比等于它们边长 （或半径、边心距）平方的比. 考点二考点二、圆中有关计算圆中有关计算 1 1圆中有关计算圆中有关计算 圆的面积公式：，周长. 圆心角为、半径为 R 的弧长. 圆心角为，半径为 R，弧长为 的扇形的面积. 弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算. 圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为 R，母线长为 的圆柱的体积为，侧面积为，全 面积为. 圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为

5、 R，母线长为 ，高为的圆锥的侧面积为，全面积为 ，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有. 要点诠释：要点诠释： (1)对 于 扇形 面 积公 式 ， 关键 要 理解 圆心 角 是 1 的 扇形 面积 是 圆 面积 的， 即 ； (2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积 S、扇形半径 R、扇形的圆心角，知道其中的两个量 就可以求出第三个量. (3)扇形面积公式， 可根据题目条件灵活选择使用， 它与三角形面积公式有点 类似，可类比记忆； 第 3 页 共 12 页 (4)扇形两个面积公式之间的联系：. 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、正多边形有关计算正多边形有关计算 1 （2015镇江

6、）图是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形正八边形 （1）如图，AE 是O 的直径，用直尺和圆规作O 的内接正八边形 ABCDEFGH（不写作法，保留作图 痕迹） ； （2）在（1）的前提下，连接 OD，已知 OA=5，若扇形 OAD（AOD180）是一个圆锥的侧面，则这个 圆锥底面圆的半径等于 【思路点拨】 （1）作 AE 的垂直平分线交O 于 C，G，作AOG，EOG 的角平分线，分别交O 于 H，F，反向延长 FO， HO，分别交O 于 D，B 顺次连接 A，B，C，D，E，F，G，H，八边形 ABCDEFGH 即为所求； （2）由八边形 ABCDEFGH 是正八边形，求

7、得AOD=3=135得到的长=，设这 个圆锥底面圆的半径为 R，根据圆的周长的公式即可求得结论 【答案与解析】 （1）如图所示，八边形 ABCDEFGH 即为所求， （2）八边形 ABCDEFGH 是正八边形， AOD=3=135， OA=5， 的长=， 设这个圆锥底面圆的半径为 R， 2R=， R=，即这个圆锥底面圆的半径为 故答案为： 第 4 页 共 12 页 【总结升华】 本题考查了尺规作图，圆内接八边形的性质，弧长的计算，圆的周长公式的应用，会求八边形的内角的 度数是解题的关键 举一反三：举一反三： 【变式变式 1 1】如图是三根外径均为 1 米的圆形钢管堆积图和主视图，则其最高点与地

8、面的距离是_米 【答案】 3 1 2 . 解析：如图，以三个圆心为顶点等边三角形 O1O2O3的高 O1C 3 2 ， 所以 ABAO1+O1C+BC 1313 1 2222 【变式变式 2 2】同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长的比是_. 【答案】321： ： 【变式变式 3 3】 （2015广西自主招生） 一张圆心角为 45的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形， 边长都为 2，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是（ ） 第 5 页 共 12 页 A5：4 B5：2 C：2 D： 【答案】A. 【解析】解：如图 1，连接 OD， 四边形 ABCD 是正方形， DCB=ABO=9

9、0，AB=BC=CD=2， AOB=45， OB=AB=2， 由勾股定理得：OD=2， 扇形的面积是= ； 如图 2，连接 MB、MC， 四边形 ABCD 是M 的内接四边形，四边形 ABCD 是正方形， BMC=90，MB=MC， MCB=MBC=45， BC=2， MC=MB=， M 的面积是 （）2=2， 扇形和圆形纸板的面积比是 （2）= 故选：A 第 6 页 共 12 页 类型二、类型二、正多边形与圆有关面积的计算正多边形与圆有关面积的计算 2(1)如图(a)，扇形 OAB 的圆心角为 90，分别以 OA，OB 为直径在扇形内作半圆，P 和 Q 分别表示阴影部分的面积，那么 P 和

10、Q 的大小关系是( ) APQ BPQ CPQ D无法确定 (2)如图(b)，ABC 为等腰直角三角形，AC3，以 BC 为直径的半圆与斜边 AB 交于点 D，则图中阴 影部分的面积是_ (3)如图(c)，AOB 中，OA3cm，OB1cm，将AOB 绕点 O 逆时针旋转 90到AOB，求 AB 扫过的区域(图中阴影部分)的面积(结果保留 ) 【思路点拨】 直接使用公式计算阴影部分面积比较困难时，可采用和差法、转化法、方程法等，有时 也需要运用变换的观点来解决问题 【答案与解析】 解：(1)阴影部分的面积直接求出十分困难，可利用几个图形面积的和差进行计算： 2 OABOCA PSSQ 扇形半圆

11、 22 11 () 42 RRQQ； (2)(转化法 “凑整”)利用 BmDCnD SS 弓形弓形 ，则阴影部分的面积可转化为ACD 的面积， 等于ABC 面积的一半，答案为 9 4 ； (3)(旋转法)将图形 ABM 绕点 O 逆时针旋转到 ABM位置，则 A OAMOM SSS 阴影扇形扇形 22 11 2 44 OAOM 【总结升华】 求阴影面积的几种常用方 (1)公式法；(2)割补法； （3）旋转法；(4)拼凑法；(5)等积变形法；(6) 构造方程法 举一反三：举一反三： 【变式变式】如图，在ABC 中，ABAC，AB8，BC12，分别以 AB、AC 为直径作半圆，则图中阴 第 7 页

12、 共 12 页 影部分的面积是( ) A64 12 7 B16 32 C1624 7 D16 12 7 【答案】 解：如图，由 AB，AC 为直径可得 ADBC，则 BDDC6 在 RtABD 中， 22 862 7AD， 2 11 246 2 71612 7 22 S 阴影 答案选 D. 3如图所示，A 是半径为 2 的O 外一点，OA4，AB 是O 的切线，B 为切点，弦 BCOA， 连 AC，求阴影部分的面积 【思路点拨】 图中的阴影是不规则图形，不易直接求出，如果连接 OB、OC，由 BCOA，根据同底等高的三角形 面积相等，于是所求阴影可化为扇形 OBC 去求解 【答案与解析】 解：

13、如图所示，连 OB、OC BCOA OBC 和ABC 同底等高， SABCSOBC， AB 为O 的切线， OBAB OA4，OB2， AOB60 第 8 页 共 12 页 BCOA， AOBOBC60 OBOC， OBC 为正三角形 COB60， 2 6022 3603 OBC SS 阴影扇形 【总结升华】通过等积替换化不规则图形为规则图形，在等积转化中可根据平移、旋转或轴对称等图 形变换；可根据同底（等底）同高（等高）的三角形面积相等进行转化 举一反三：举一反三： 【变式变式】如图所示，半圆的直径 AB10，P 为 AB 上一点，点 C，D 为半圆的三等分点，则阴影部分的面 积等于_ 【答

14、案】 解：连接 OC、OD、CD C、D 为半圆的三等分点， AOCCODDOB18060 3 又 OCOD， OCDODC60， DCAB， PCDOCD SS ， 2 60525 3606 SS 阴影扇形OCD 第 9 页 共 12 页 4 （2015 秋江都市期中）如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，以 AB 为直径的半圆与对角线 AC 交于点 E （1）求弧 BE 所对的圆心角的度数 （2）求图中阴影部分的面积（结果保留 ） 【思路点拨】 （1）连接 OE，由条件可求得EAB=45，利用圆周角定理可知弧 BE 所对的圆心角EOB=2 EAB=90； （2）利用条件可求得扇形 A

15、OE 的面积，进一步求得弓形的面积，利用 RtADC 的面积减去弓的面积可 求得阴影部分的面积 【答案与解析】 解： （1）连接 OE， 四边形 ABCD 为正方形， EAB=45， EOB=2EAB=90； （2）由（1）EOB=90， 且 AB=4，则 OA=2， S扇形 AOE=，SAOE= OA 2=2， S弓形=S扇形 AOESAOE=2， 又SACD= ADCD= 44=8， S阴影=8（2）=10 【总结升华】本题主要考查扇形面积的计算和正方形的性质，掌握扇形的面积公式是解题的关键，注意 弓形面积的计算方法 5将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，重叠部分（阴影）的量角器圆弧

16、（AB）对应 的中心角（AOB）为 120，AO 的长为 4cm，求图中阴影部分的面积. 第 10 页 共 12 页 【思路点拨】 看是否由“规则的”三角形、四边形、圆、扇形、弓形等可求面积的图形，经过怎样的拼凑、割补、 叠合而成，这是解决这类题的关键 【答案与解析】 阴影部分的面积可看成是由一个扇形 AOB 和一个 RtBOC 组成， 其中扇形 AOB 的中心角是120，AO 的长为 4，RtBOC 中，OBOA4，BOC60， 可求得 BC 长和 OC 长，从而可求得面积， 阴影部分面积扇形 AOB 面积+BOC 面积 2 16 2 3 cm 3 【总结升华】 本题是求简单组合图形的面积问

17、题，解答时，常常是寻找这些“不规则的图形”是由哪些“可求 面积的、规则的图形”组合而成. 举一反三：举一反三： 【变式变式】如图，矩形 ABCD 中，AB1，2AD以 AD 的长为半径的A 交 BC 于点 E，则图中阴影部 分的面积为_ 【答案】 1 2 24 . 解析：连接 AE，易证 ABBE1，BAE45，所以EAD45， 所以 2 111 2( 2)2 2824 ABEABCDDAE SSSS 阴影矩形扇形 6如图，AB 是O 的直径，点 P 是 AB 延长线上一点，PC 切O 于点 C，连接 AC，过点 O 作 AC 的 垂线交 AC 于点 D，交O 于点 E已知 AB8，P=30

18、（1）求线段 PC 的长； （2）求阴影部分的面积 第 11 页 共 12 页 【思路点拨】 （1）连接 OC，由 PC 为圆 O 的切线，根据切线的性质得到 OC 与 PC 垂直，可得三角形 OCP 为直角三 角形，同时由直径 AB 的长求出半径 OC 的长，根据锐角三角函数定义得到 tanP 为P 的对边 OC 与邻边 PC 的比值，根据P 的度数，利用特殊角的三角函数值求出 tanP 的值，由 tanP 及 OC 的值，可得出 PC 的长； （2）由直角三角形中P 的度数，根据直角三角形的两个锐角互余求出AOC 的度数，进而得出 BOC 的度数，由 OD 与 BC 垂直，且 OC=OB，

19、利用等腰三角形的三线合一得到 OD 为BOC 的平分线，可求 出COD 度数为 60，再根据直角三角形中两锐角互余求出OCD 度数为 30，根据 30角所对的直角 边等于斜边的一半，由斜边 OC 的长求出 OD 的长，先由COD 的度数及半径 OC 的长，利用扇形的面积公 式求出扇形 COE 的面积，再由 OD 与 CD 的长，利用直角三角形两直角边乘积的一半求出直角三角形 COD 的面积，用扇形 COE 的面积减去三角形 COD 的面积，即可求出阴影部分的面积 【答案与解析】 解：（1）连接 OC， PC 切O 于点 C，OCPC， AB=8，OC= 1 2 AB=4， 又在直角三角形 OC

20、P 中，P=30， tanP=tan30= OC PC ，即 PC= 4 3 3 =43； （2）OCP=90，P=30， COP=60，AOC=120， 又 ACOE，OA=OC，OD 为AOC 的平分线， COE= 1 2 AOC=60，又半径 OC=4， S扇形 OCE= 2 6048 = 3603 ， 在 RtOCD 中，COD=60， OCD=30，OD= 1 2 OC=2， 根据勾股定理得：CD= 22 OC -OD =2 3， 第 12 页 共 12 页 SOCD= 1 2 DCOD= 1 2 232=23， 则 S阴影=S扇形 OCE-SOCD= 8 -2 3 3 【总结升华】 此题考查了切线的性质，含 30角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义， 以及扇形的面积公式，遇到已知切线的类型题时，常常连接圆心与切点，利用切线的性质得出垂直，利 用直角三角形的性质来解决问题