北京四中数学中考总复习：整式与因式分解--知识讲解（基础）

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1、 第 1 页 共 7 页 中考总复习：中考总复习：整式与因式分解整式与因式分解知识讲解（基础）知识讲解（基础） 【考纲要求】【考纲要求】 1.整式部分主要考查幂的性质、整式的有关计算、乘法公式的运用，多以选择题、填空题的形式出现； 2.因式分解是中考必考内容，题型多以选择题和填空题为主，也常常渗透在一元二次方程和分式的化简 中进行考查. 【知识网络】【知识网络】 【考点梳理】【考点梳理】 第 2 页 共 7 页 考点考点一、整式一、整式 1.1.单项式单项式 数与字母的积的形式的代数式叫做单项式单项式是代数式的一种特殊形式，它的特点是对字母来 说只含有乘法的运算，不含有加减运算在含有除法运算时

2、，除数(分母)只能是一个具体的数，可以看 成分数因数单独一个数或一个字母也是单项式 要点诠释：要点诠释： （1）单项式的系数是指单项式中的数字因数 （2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和 2.2.多项式多项式 几个单项式的代数和叫做多项式也就是说，多项式是由单项式相加或相减组成的 要点诠释：要点诠释： （1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项 （2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数 （3）多项式的次数是 n 次，有 m 个单项式，我们就把这个多项式称为 n 次 m 项式 （4）把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降 幂排列另外

3、，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个 字母升幂排列 3.3.整式整式 单项式和多项式统称整式 4.4.同类项同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项 5.5.整式的加减整式的加减 整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类 项的系数的和，且字母部分不变. 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是 负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反. 整式加减的运算法则：一般地，几个整式相

4、加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 6.6.整式的乘除整式的乘除 幂的运算性质： 单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母， 则连同它的指数作为积的一个因式 单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相 加用式子表达： 多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多 项式的每一项，再把所得的积相加用式子表达： 平方差公式： 完全平方公式： 第 3 页 共 7 页 在运用乘法公式计算时，有时要在式子中添括号，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里 的各项都不变符号

5、；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. 单项式相除：两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含 有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式 多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的 商相加 要点诠释：要点诠释： （1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的有理数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即 mnpm np aaaa （,m np都是正整数）. （3）公式() m nmn aa的推广：() ) m npmnp aa (0a，, ,m n p均为正整数)

6、（4）公式() nnn abab的推广：() nnnn abcabc (n为正整数). 考点考点二、因式分解二、因式分解 1.1.因式分解因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解 2.2.因式分解因式分解常用常用的方法的方法 （1）提取公因式法：)(cbammcmbma （2）运用公式法： 平方差公式：)( 22 bababa；完全平方公式： 222 )(2bababa （3）十字相乘法：)()( 2 bxaxabxbax 3.3.因式分解的一般步骤因式分解的一般步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； （2）提出公因式或无公因式可提，

7、再考虑可否运用公式或十字相乘法； （3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法； （4）最后考虑用分组分解法及添、拆项法. 要点诠释：要点诠释： （1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到每个因式都不能再分解为止 （4）十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”，二次项系数a一般都化为正数，如果是负数，则 提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 第 4 页 共 7 页 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、整式整式的有关的有关概念及概念及运算运算 1若 3x m+5y2与 x3yn的和是单项

8、式，则 nm 【答案】 1 4 【解析】由 3x m+5y2与 x3yn的和是单项式得 3xm+5y2与 x3yn是同类项， 53 2 m n 解得 2 2 m n ， n m=2-2=1 4 【点评】本题考查同类项定义结合求解二元一次方程组，负整数指数幂的计算. 同类项的概念为：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式. 举一反三：举一反三： 【变式变式】若单项式是同类项，则的值是( ) A、-3 B、-1 C、 D、3 【答案】由题意单项式是同类项， 所以，解得 ，应选 C. 2下列各式中正确的是( ) A. B.a 2a3=a6 C.(-3a2)3=-9a6 D.a5+a3=a8

9、【答案】A； 【解析】选项 B 为同底数幂乘法，底数不变，指数相加，a 2a3=a5，所以 B 错； 选项 C 为积的乘方，应把每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，(-3a 2)3=-27a6，所以 C 错； 选项 D 为两个单项式的和，此两项不是同类项，不能合并，所以 D 错； 选项 A 为负指数幂运算，一个数的负指数幂等于它的正指数幂的倒数，A 正确.答案选 A. 【点评】考查整数指数幂运算. 举一反三：举一反三： 【变式变式 1 1】下列运算正确的是 ( ) A B C D 【答案】A.2 -3 =1 8 ； B.42 ；C. 235 aaa 正确 ；D.325aaa. 故选 C. 第

10、5 页 共 7 页 【变式变式 2 2】下列运算中，计算结果正确的个数是( ) (1)a 4a3a12； (2)a6a3a2； (3)a5a5a10； (4)(a 3)2a9； (5)(ab2)2ab4； (6) 2 2 2 1 2 x x A无 B1 个 C2 个 D3 个 【答案】A. 3利用乘法公式计算： (1)(a+b+c) 2 (2)(2a2-3b2+2)(2-2a2+3b2) 【答案与解析】 (1)(a+b+c) 2可以利用完全平方公式，将 a+b 看成一项，则 (a+b+c) 2=(a+b)2+2(a+b)c+c2 =a 2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 =a 2+b2+c

11、2+2ab+2ac+2bc. (2)(2a 2-3b2+2)(2-2a2+3b2)两个多项式中，每一项都只有符号的区别，所以，我们考虑用平方差公 式，将符号相同的看作公式中的 a，将符号相反的项，看成公式中的 b， 原式=2+(2a 2-3b2)2-(2a2-3b2) =4-(2a 2-3b2)2=4-4a4+12a2b2-9b4. 【点评】利用乘法公式去计算时，要特别注意公式的形式及符号特点，灵活地进行各种变形. 举一反三：举一反三： 【变式变式】如果 a 2+ma+9 是一个完全平方式，那么 m=_. 【答案】利用完全平方公式：(a3) 2=a26a+9. m=6. 类型类型二二、因式分解

12、因式分解 4因式分解：3a 3-6a2+12a； (a+b)2-1； x2-12x+36； (a2+b2)2-4a2b2 【答案与解析】 3a 3-6a2+12a=3a(a2-2a+4) (a+b) 2-1=(a+b)2-12=(a+b)+1(a+b)-1=(a+b+1)(a+b-1) x 2-12x+36=(x-6)2 (a 2+b2)2-4a2b2=(a2+b2-2ab)(a2+b2+2ab)=(a-b)2(a+b)2 【点评】把一个多项式进行因式分解，首先要看多项式是否有公因式，有公因式就要先提取公因式，再 看是否还可以继续进行分解，是否可以利用公式法进行分解，直到不能进行分解为止. 举

13、一反三：举一反三： 【变式变式】把下列各式分解因式： (1)6(ab) 28a(ba)； (2)(xy)24(xy)4. 【答案】 第 6 页 共 7 页 (1)原式6(ab) 28a(ab) 2(ab)3(ab)4a 2(ab)(3a3b4a) 2(ab)(a3b) (2)原式(xy)2 2(xy2)2 5若xymxy 22 56能分解为两个一次因式的积，则 m 的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 1 D. 2 【思路点拨】 对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数 法确定其系数，这是一种常用的方法. 【答案】C. 【解析】 解：xymxyx

14、y xymxy 22 5656 -6 可分解成23或32，因此，存在两种情况： （1）x+y -2 （2）x+y -3 x-y 3 x-y 2 由（1）可得：m 1， 由（2）可得：m 1. 故选择 C. 【总结升华】十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”，二次项系数a一般都化为正数，如果是负数， 则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 举一反三：举一反三： 【变式变式】因式分解：675 2 xx_. 【答案】67521 35 2 xxxx 类型三、因式分解与其他知识的综合运用类型三、因式分解与其他知识的综合运用 6已知 a、b、c 是ABC 的三边的长,且满足: a 2+2b2+c2-2b(a+c)=0,试判断此三角形的形状. 【思路点拨】 式子 a 2+2b2+c2-2b(a+c)=0 体现了三角形三边长关系，从形式上看与完全平方式相仿，把 2b2 写成 b 2+b2，故等式可变成 2 个完全平方式，从而得到结论 【答案与解析】 解: a 2+2b2+c2-2b(a+c)=0 第 7 页 共 7 页 a 2+b2+ b2+c2-2ba-2bc=0 (a-b) 2+(b-c) 2=0 即: a-b=0 , b-c=0，所以 a=b=c. 所以ABC 是等边三角形. 【总结升华】通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系