北京四中数学中考冲刺：代数综合问题--巩固练习（基础）

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1、 第 1 页 共 7 页 中考中考冲刺冲刺：代数综合问题代数综合问题巩固练习巩固练习（基础）（基础） 【巩固练习巩固练习】 一、选择题一、选择题 1. 如图所示，已知函数(0)yaxb a和 ykx(k0)的图象交于点 P，则根据图象可得，关于 , . yaxb ykx 的二元一次方程组的解是( ) A 4 2 x y B 4 2 x y C 4 2 x y D 4 2 x y 2. 如图，双曲线y= x m 与直线y=kx+b交于点M、N，并且点M的坐标为（1，3） ，点N的纵坐标为-1根 据图象信息可得关于x的方程 x m =kx+b的解为（ ） A-3，1 B-3，3 C-1，1 D-1

2、，3 第 1 题图 第 2 题图 3下列说法中 若式子1x有意义，则x1. 已知=27，则的补角是153. 已知x=2 是方程x 2-6x+c=0 的一个实数根，则c 的值为8. 在反比例函数 2k y x 中，若x0 时，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是k2. 其中正 确的命题有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题二、填空题 4如图所示，是二次函数 2 1 yaxbxc(a0)和一次函数 2 ymxn(n0)的图象，观察图象写 第 2 页 共 7 页 出 y2y1时，x 的取值范围_ _ 5已知二次函数 2 2(1)2(1)yxmxm若此函数图

3、象的顶点在直线 y-4 上，则此函数解析 式为 6. 已知二次函数 2 yaxbxc的图象与x轴交于点( 2 0) ，、 1 (0)x，且 1 12x，与y轴的正半轴 的交点在(0 2)，的下方 下列结论： 420abc ； 0ab； 20ac ； 210ab 其 中正确结论的是 (填序号) 三、解答题三、解答题 7如图所示，抛物线 2 32 33 33 yxx 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C，顶点为 D (1)求点 A，B，C 的坐标； (2)把ABC 绕 AB 的中点 M 旋转 180，得到四边形 AEBC， 求 E 点的坐标； 试判断四边形 AEBC 的形状，并说明理由；

4、 (3)试探求：在直线 BC 上是否存在一点 P，使得PAD 的周长最小，若存在，请求出点 P 的坐标， 若不存在，请说明理由 8. 善于不断改进学习方法的小迪发现，对解题进行回顾反思，学习效果更好某一天小迪有 20 分钟时 间可用于学习假设小迪用于解题的时间 x(单位：分钟)与学习收益量 y 的关系如图 1 所示，用于回顾 反思的时间 x(单位：分钟)与学习收益 y 的关系如图 2 所示(其中 OA 是抛物线的一部分，A 为抛物线的 顶点)，且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间 (1)求小迪解题的学习收益量 y 与用于解题的时间 x 之间的函数关系式； (2)求小迪回顾反思的学习收益量

5、y 与用于回顾反思的时间 x 的函数关系式； (3)问小迪如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这 20 分钟的学习收益总量最大? 第 3 页 共 7 页 9. 已知P（3,m)和 Q（1，m）是抛物线 2 21yxbx上的两点 （1）求b的值； （2）判断关于x的一元二次方程 2 21xbx=0 是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有， 请说明理由； （3）将抛物线 2 21yxbx的图象向上平移k（k是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴 无交点，求k的最小值 10. 已知：关于 x 的一元二次方程04)4( 2 mxmx，其中40 m （1）求此方程的两个实数根（用含 m 的代数式表示

6、） ； （2）设抛物线cbxxy 2 与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 的左侧） ，若点 D 的坐标为（0，-2） ， 且 ADBD=10，求抛物线的解析式； （3）已知点 E（a， 1 y） 、F（2a，y2） 、G（3a，y3）都在（2）中的抛物线上，是否存在含有 1 y、y2、 y3，且与 a 无关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由 【答案与解析答案与解析】 一、选择题一、选择题 1.【答案】C； 【解析】本题考查方程组的解(数)与直线交点(形)坐标之间的关系 2.【答案】A； 【解析】首先把M点代入y= x m 中，求出反比例函数解析式y= x 3

7、，再利用反比例函数解析式求出N点 坐标（-3，-1） ，求关于x的方程 x m =kx+b的解就是看一次函数与反比例函数图象交点的横坐标的值 3.【答案】B； 第 4 页 共 7 页 【解析】若式子1x有意义，则 x1，错误； 由=27得的补角是=180-27=153，正确. 把 x=2 代入方程 x 2-6x+c=0 得 4-62+c=0，解得 c=8，正确；反比例函数 2k y x 中， 若 x0 时，y 随 x 的增大而增大，得：k-20，k2，错误.故选 B. 二、填空题二、填空题 4.【答案】-2x1； 【解析】本题考查不等式与比较函数值的大小之间的关系 5.【答案】 2 4yxx，

8、 2 4yx； 【解析】顶点在直线 y-4 上， 2 4 4 4 acb a 2 4 2(1)4(1) 4 4 mm ，m1 此函数解析式为： 2 4yxx， 2 4yx 6.【答案】； 【解析】根据题意画大致图象如图所示， 由 2 yaxbxc与 X 轴的交点坐标为(-2,0)得 2 220abc ，即 420abc 所以 正确； 由图象开口向下知0a， 由 2 yaxbx c与 X 轴的另一个交点坐标为 1,0 x且 1 12x， 则该抛物 线的对称轴为 1 21 222 xb x a 由 aa,所以结论正确； 由一元二次方程根与系数的关系知 12 .2 c x x a ，结合 a0 得2

9、0ac ，所以结论正确； 由420abc 得2 2 c ab ，而 0c2,，10 2 c -12a-b0,所以结论 正确. 第 5 页 共 7 页 三、解答题三、解答题 7.【答案与解析】 (1)A，B，C 三点的坐标分别为 A(-3，0)，B(1，0)，C(0，3) (2)E(-2，3)；四边形 AEBC 是矩形理由：四边形 AEBC 是平行四边形，且ACB90； (3)存在 D(-1， 4 3 3 ) 作出点 A 关于 BC 的对称点 A，连结 AD 与直线 BC 交于点 P则点 P 是使PAD 周长最小的点 求得 A(3，2 3)，过 A、D 的直线 33 3 62 yx；过 B、C

10、的直线33yx ； 两直线的交点 3 10 3 , 77 P 8. 【答案与解析】 (1)设 ykx，当 x1 时，y2，解得 k2，y2x(0x20) (2)当 0x4 时，设 ya(x-4) 2+16 由题意，a-1，y-(x-4) 2+16， 即当 0x4 时， 2 8yxx 当 4x10 时，y16 (3)设小迪用于回顾反思的时间为 x(0x10)分钟，学习收益总量为 y，则她用于解题的时间为(20-x) 分钟 当 0x4 时， 222 82(20)640(3)49yxxxxxx 当 x3 时，49y 最小 当 4x10 时，y16+2(20-x)56-2xy 随 x 的增大而减小，因

11、此当 x4 时，48y 最大 ， 综上，当 x3 时，49y 最大 ，此时 20-x17 答：小迪用于回顾反思的时间为 3 分钟，用于解题的时间为 17 分钟时，学习收益总量最大 9 【答案与解析】 解：(1)因为点P、Q 在抛物线上且纵坐标相同，所以 P、Q 关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离 相等 所以抛物线对称轴 3 1 42 b x ，所以4b （2）由（1）可知，关于x的一元二次方程为 2 241xx=0 因为， 2 4bac=16-8=80 所以，方程有两个不同的实数根，分别是 第 6 页 共 7 页 1 2 1 22 b x a ， 2 2 1 22 b x a （3）由（1）

12、可知，抛物线 2 241yxx的图象向上平移k（k是正整数）个单位后的解析式 为 2 241yxxk 若使抛物线 2 241yxxk 的图象与x轴无交点，只需 2 2410xxk 无实数解即 可由 2 4bac=168(1)k=8 8k0，得1k 又k是正整数，所以k的最小值为 2 10 【答案与解析】 解：解： （1）将原方程整理，得04)4( 2 mxmx， = 2222 )4(168)4(4)4(4mmmmmacb0 2 )4()4( mm x mx 或4x （2）由（1）知，抛物线cbxxy 2 与x轴的交点分别为（m，0） 、 （4,0） ， A 在 B 的左侧，40 m. A（m，

13、0） ，B（4,0）. 则42 222222 mmODOAAD，2024 22222 ODOBBD ADBD=10， AD 2BD2=100. 100)4(20 2 m. 解得1m. 40 m， 1m. 51 mb，44mc. 抛物线的解析式为45 2 xxy. （3）答：存在含有 1 y、y2、y3，且与 a 无关的等式， 如：4)(3 213 yyy（答案不唯一）. 证明：由题意可得45 2 1 aay，4104 2 2 aay， 4159 2 3 aay. 左边=4159 2 3 aay. 右边=)( 3 21 yy 4 4)4104() 45(3 22 aaaa 第 7 页 共 7 页 =4159 2 aa. 左边=右边. 4)( 3 213 yyy成立.