北京四中数学中考冲刺：创新、开放与探究型问题--知识讲解（提高）

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1、第 1 页 共 12 页 中考中考冲刺冲刺：创新、开放与探究型问题创新、开放与探究型问题知识讲解（知识讲解（提高提高） 【中考展望】【中考展望】 所谓开放探索型问题指的是有些数学问题的条件、结论或解决方法不确定或不唯一，需要根据题目 的特点进行分析、探索，从而确定出符合要求的答案(一个、多个或所有答案)或探索出解决问题的多种 方法 由于开放探究型问题对考查学生思维能力和创造能力有积极的作用，是近几年中考命题的一个热 点通常这类题目有以下几种类型：条件开放与探索，结论开放和探索，条件与结论都开放与探索及方 案设计、命题组合型、问题开放型等 【方法点拨】【方法点拨】 由于开放探究型试题的知识覆盖面

2、较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖， 构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并 力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题 途径完成最后的解答由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式 或套路，但是可以从以下几个角度考虑： 1利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般， 从而得出规律 2反演推理法（反证法） ，即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条 件一致 3分类讨论法当命题的题设和结论

3、不唯一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做 到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果 4类比猜想法即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法， 并加以严密的论证 以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运 用 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、探索规律探索规律 1如图所示，ABC 面积为 1，第一次操作，分别延长 AB，BC，CA 至点 A1，B1，C1，使得 A1BAB， B1CBC，C1ACA，顺次连接 A1B1，B1C1，C1A1，得到A1B1C1 第 2 页 共 12

4、 页 第二次操作，分别延长 AB1，B1C1，C1A1至点 A2，B2，C2，使 A2B1A1B1，B2C1B1C1，C2A1C1A，顺次连 接 AB2，B2C2，C2A2，得到A2B2C2，；按此规律，要使得到三角形的面积超过 2014，最少需经过_ 次操作 【思路点拨】 先根据已知条件求出A1B1C1及A2B2C2的面积，再根据两三角形的倍数关系求解即可 【答案与解析】 解：ABC 与A1BB1底相等（AB=A1B） ，高为 1：2（BB1=2BC） ，故面积比为 1：2， ABC 面积为 1， SA1B1B=2 同理可得，SC1B1C=2，SAA1C=2， SA1B1C1=SC1B1C+

5、SAA1C+SA1B1B+SABC=2+2+2+1=7； 同理可证 SA2B2C2=7SA1B1C1=49， 第三次操作后的面积为 749=343， 第四次操作后的面积为 7343=2401 故按此规律，要使得到的三角形的面积超过 2014，最少经过 4 次操作 【总结升华】 本题是“操作规律”探索问题，解答此题的关键是找出相邻两次操作之间三角形面积的关系，再根 据此规律求解即可这类问题的难点在于有一种趋向于无穷的状态，使得学生产生畏难情绪，所以首先 要克服这种心理状态，其次要在抓好始状态下的数理关系上下功夫，从中挖掘并找到规律 举一反三：举一反三： 【变式变式】如图，对面积为 1 的ABC

6、逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长 AB，BC，CA 至点 A1，B1， C1，使得 A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接 A1，B1，C1，得到A1B1C1，记其面积为 S1；第二次操作， 分别延长 A1B1，B1C1，C1A1至点 A2，B2，C2，使得 A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次连接 A2，B2，C2， 得到A2B2C2，记其面积为 S2；按此规律继续下去，可得到A5B5C5，则其面积 S5 = 【答案】 解：连接 A1C，根据 A1B=2AB，得到：AB：A1A=1：3， 第 3 页 共 12 页 因而若过点 B，A1

7、作ABC 与AA1C 的 AC 边上的高，则高线的比是 1：3， 因而面积的比是 1：3，则A1BC 的面积是ABC 的面积的 2 倍， 设ABC 的面积是 a，则A1BC 的面积是 2a， 同理可以得到A1B1C 的面积是A1BC 面积的 2 倍，是 4a， 则A1B1B 的面积是 6a， 同理B1C1C 和A1C1A 的面积都是 6a， A1B1C1的面积是 19a， 即A1B1C1的面积是ABC 的面积的 19 倍， 同理A2B2C2的面积是A1B1C1的面积的 19 倍， 即A1B1C1的面积是 19，A2B2C2的面积 19 2， 依此类推，A5B5C5的面积是 S5=19 5=24

8、76099 类型二、类型二、条件开放型、条件开放型、结论开放型结论开放型 2在平面直角坐标系中，等腰三角形 ABC 的顶点 A 的坐标为（2，2） （1）若底边 BC 在 x 轴上，请写出一组满足条件的点 B、点 C 的坐标： ； （2）若底边 BC 的两端点分别在 x 轴、y 轴上，请写出一组满足条件的点 B、点 C 的坐标： . 【思路点拨】 （1）首先由 BC 在 x 轴上，在等腰ABC 中，即可过顶点 A 作 ADBC 交 BC 于 D，根据三线合一的性质， 可得 BD=CD，即 B，C 关于点 D 对称，则可求得满足条件的点 B、点 C 的坐标； （2）连接 OA，由等腰三角形 AB

9、C 的顶点 A 的坐标为（2，2） ，易证得AOBAOC，则可知 OB=OC，继 而可得满足条件的点 B、点 C 的坐标 【答案与解析】 解：（1）BC 在 x 轴上，在等腰ABC 中，过顶点 A 作 ADBC 交 BC 于 D， 顶点 A 的坐标为（2，2）， D 的坐标为（2，0）， 在等腰ABC 中，有 BD=CD， B，C 关于点 D 对称， 一组满足条件的点 B、点 C 的坐标为：B（0，0），C（4，0）； （2）连接 OA， 等腰三角形 ABC 的顶点 A 的坐标为（2，2）， 第 4 页 共 12 页 AOC=AOB=45， 当 OB=OC 时， 在AOB 与AOC 中， OB

10、=OC AOB= AOC OA=OA AOBAOC， AB=AC， 即ABC 是等腰三角形， 一组满足条件的点 B、点 C 的坐标：（0，1），（1，0） 【总结升华】 此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识此题难度适中，解题的关键是注意数 形结合思想的应用，注意辅助线的作法 举一反三：举一反三： 【变式变式】在平面直角坐标系中，等腰三角形 ABC 的顶点 A 的坐标为(2，2) (1)若底边 BC 在 x 轴上，请写出一组满足条件的点 B，点 C 的坐标：_；设点 B， 点 C 的坐标分别为(m，0)，(n，0)，你认为 m，n 应满足怎样的条件？ (2)若底边 BC 的两

11、个端点分别在 x 轴，y 轴上，请写出一组满足条件的点 B，点 C 的坐标： _；设点 B，点 C 的坐标分别为(m，0)，(0，n)，你认为 m，n 应满足怎样的条件? 【答案】 解：可以通过等腰三角形的作法来探求符合题意的条件：由于 ABAC，故点 B 和点 C 在以 A 为圆心的同 一个圆上 (1)如图(a)， 作 AEx 轴于 E， 以大于 AE 的长度为半径画弧， 与 x 轴的交点即为符合题意的点 B 和点 C 易 知 E(2，0)为线段 BC 的中点，故 CEEB，即 n22m；如：点 B(0，0)，点 C(4，0)；m+n4 且 m n (2)类似于(1)作 OA，与两条坐标轴分

12、别交于 B1，B2，C1，C2，显然当 A，B，C 三点不共线时这样确定的 点 B，C 均符合题意如：点 B(1，0)，点 C(0，1)，或点 B(3，0)，点 C(0，1)；mn，且 m，n 不为 0 和 4；或 m+n4 类型三、条件和结论类型三、条件和结论都开放的问题都开放的问题 3如图(1)，四边形 ABCD 中，AD 与 BC 不平行，现给出三个条件：CABDBA，ACBD， 第 5 页 共 12 页 ADBC请你从上述三个条件中选择两个条件，使得加上这两个条件后能够推出 ABCD 是等腰梯形， 并加以证明(只需证明一种情况) 【思路点拨】 有两种方法，第一种是：CAB=DBA，AC

13、=BD；第二种是：AC=BD，AD=BC，均可利用等腰梯形 的判定方法进行验证 【答案与解析】 解：第一种选择： CABDBA，ACBD 证明：由ACBBDA， 可得 ADBC，ABCBAD 如图(2)作 DEBC 交 AB 于点 E，则DEACBA DAEDEA，ADEDBC 由 EDBC 及 DEBC 知， 四边形 DEBC 是平行四边形，所以 ABCD AD 与BC 不平行， 四边形 ABCD 是等腰梯形 第二种选择：ACBD，ADBC 证明：如图(3)，延长 AD、BC 相交于点 E 由DABCBA，可得DABCBA， EAEB 由 ADBC，可得 DECE，EDCECD 再由三角形内

14、角和定理可得EDCEAB， DCAB AD 与 BC 不平行， 四边形 ABCD 是等腰梯形 【总结升华】此题一道开放性的题目，主要考查学生对等腰梯形的判定的掌握情况 举一反三：举一反三： 【变式变式】如图，ABCD 是一张矩形纸片，AD=BC=1,AB=CD=5在矩形 ABCD 的边 AB 上取一点 M，在 CD 上取 第 6 页 共 12 页 一点 N，将纸片沿 MN 折叠，使 MB 与 DN 交于点 K，得到MNK （1）若1=70，求MNK 的度数 （2）MNK 的面积能否小于 1 2 ？若能，求出此时1 的度数；若不能，试说明理由 （3）如何折叠能够使MNK 的面积最大？请你利用备用

15、图探究可能出现的情况，求出最大值 （备用图） 【答案】 解： （1）ABCD 是矩形， AMDN KNM=1 1=70， KNM=KMN=70 （2）不能 过 M 点作 MEDN，垂足为 E，则 ME=AD=1 KNM=KMN， MK=NK， 又 MKME， NK1 MNK 的面积= NKME MNK 的面积不可能小于 （3）分两种情况： 情况一：将矩形纸片对折，使点 B 与 D 重合，此时点 K 也与 D 重合 MK=MD=x，则 AM=5x 由勾股定理得 1 2+（5x）2=x2， 解得 x=2.6 MD=ND=2.6 SMNK=SMND=1.3 情况二：将矩形纸片沿对角线 AC 对折，此

16、时折痕即为 AC 第 7 页 共 12 页 MK=AK=CK=x，则 DK=5-x 同理可得 MK=NK=2.6 MD=1 SMNK=SMND=1.3 MNK 的面积最大值为 1.3 类型四、动态探究型类型四、动态探究型 4如图 1，将三角板放在正方形 ABCD 上，使三角板的直角顶点 E 与正方形 ABCD 的顶点 A 重合， 三角板的一边交 CD 于点 F另一边交 CB 的延长线于点 G （1）求证：EF=EG； （2）如图 2，移动三角板，使顶点 E 始终在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，其他条件不变， （1）中的结论 是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立请说明理由： （3）

17、如图 3，将（2）中的“正方形 ABCD”改为“矩形 ABCD”，且使三角板的一边经过点 B，其他条件 不变，若 AB=a、BC=b，求 EF EG 的值 【思路点拨】 （1）由GEB+BEF=90，DEF+BEF=90，可得DEF=GEB，又由正方形的性质，可利用 SAS 证 得 RtFEDRtGEB，则问题得证； （2）首先点 E 分别作 BC、CD 的垂线，垂足分别为 H、I，然后利用 SAS 证得 RtFEIRtGEH，则问 题得证； （3）首先过点 E 分别作 BC、CD 的垂线，垂足分别为 M、N，易证 EMAB，ENAD，则可证得CEN CAD，CEMCAB，又由有两角对应相等的

18、三角形相似，证得GMEFNE，根据相似三角形的对应 边成比例，即可求得答案 【答案与解析】 解： （1）证明：GEB+BEF=90，DEF+BEF=90， DEF=GEB， 又ED=BE， 第 8 页 共 12 页 RtFEDRtGEB， EF=EG； （2）成立 证明：如图，过点 E 分别作 BC、CD 的垂线，垂足分别为 H、I， 则EH=EI，HEI=90， GEH+HEF=90，IEF+HEF=90， IEF=GEH， RtFEIRtGEH， EF=EG； （3）解：如图，过点 E 分别作 BC、CD 的垂线，垂足分别为 M、N， 则MEN=90， EMAB，ENAD CENCAD，C

19、EMCAB， , NECE EMCE ADCAABCA ， NEEM ADAB ，即 NEADb EMABa ， IEF+FEM=GEM+FEM=90， GEM=FEN， GME=FNE=90， GMEFNE， EFEN EGEM ， EFb EGa 【总结升华】此题考查了正方形、矩形的性质，以及全等三角形与相似三角形的判定与性质此题综合 性较强，注意数形结合思想的应用 举一反三：举一反三： 第 9 页 共 12 页 【变式变式 1 1】已知：如图(a)，在 RtACB 中，C90，AC4cm，BC3cm，点 P 由 B 出发沿 BA 方向向 点 A 匀速运动，速度为 1cm/s；点 Q 由

20、A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动，速度为 2cms；连接 PQ若 设运动的时间为 t(s)(0t2)，解答下列问题： (1)当 t 为何值时，PQBC? (2)设AQP 的面积为 y(cm 2)，求 y 与 t 之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻 t，使线段 PQ 恰好把 RtACB 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时 t 的值若不存在，说明理由； (4)如图(b)，连接 PC，并把POC 沿 QC 翻折，得到四边形 PQPC，那么是否存在某一时刻 t，使 四边形 PQPC 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由 【答案】 解：(1)在 RtABC 中，AB

21、5 由题意知 AP5-t，AQ2t 若 PQBC，则APQABC AQAP ACAB 25 45 tt 解得 10 7 t (2)过点 P 作 PHAC 于 H，如图(c) APHABC， PHAP BCAB 5 35 PHt 解得 3 3 5 PHt 第 10 页 共 12 页 2 1113 2(3)3 2255 yAQPHtttt (3)若 PQ 把ABC 周长平分， 则 AP+AQBP+BC+CQ (5-t)+2tt+3+(4-2t) 解得 t1 若 PQ 把ABC 面积平分， 则 1 2 APQABC SS ，即 2 3 33 5 tt t1 代入上述方程不成立， 不存在这一时刻 t，

22、使线段 PQ 把 RtACB 的周长和面积同时平分 (4)过点 P 作 PMAC 于 M，PNBC 于 N，如图(d) 若四边形 PQPC 是菱形，那么 PQPC PMAC 于 M，QMCM PNBC 于 N，易知PBNABC PNBP ACAB ， 45 PNt 解得 4 5 t PN QMCM 4 5 t 44 24 55 ttt 解得 10 9 t 当 10 9 t 时，四边形 PQPC 是菱形 此时 37 3 53 PMt， 48 59 CMt 在 RtPMC 中， 22 4964505 9819 PCPMCM 菱形 PQPC 的边长为 505 9 举一反三：举一反三： 【变式变式 2

23、 2】如图，点 D，E 在ABC 的边 BC 上，连接 AD，AE. ABAC；ADAE；BDCE.以此三个 等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：； . （1）以上三个命题是真命题的为（直接作答） ； （2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）. 第 11 页 共 12 页 【答案】 解： （1）三个都是真命题； （2）解法一 如图,过点A作ADBC于点F. ABAC, BFCF. ADAE, DFEF. BDCE. 解法二 ABAC, ABDACE. BDCE, ABDACE(SAS). ADAE. 解法三 ADAE, ADEAED, 即ADBAE

24、C BDCE, ABDACE(SAS). ABAC 类型五、创新型类型五、创新型 5先阅读下列材料，然后解答问题：从A BC， ，三张卡片中选两张，有三种不同选法，抽象成 数学问题就是从 3 个元素中选取 2 个元素组合，记作 2 3 3 2 C3 2 1 一般地，从m个元素中选取n个 元素组合，记作： EDCB A 第 12 页 共 12 页 (1)(1) C (1)3 2 1 n m m mmn n n 例从 7 个元素中选 5 个元素，共有 5 7 7 6 5 4 3 C21 5 4 3 2 1 种不同的选法 问题：从某学习小组 10 人中选取 3 人参加活动，不同的选法共有 种 【思路

25、点拨】 本题需要学生读懂m个元素中选取n个元素的计算规则，然后针对具体的从 10 人中选取 3 人参加 的计算 【答案与解析】 由给出的公式可知从 10 个人中取 3 个人参加活动，有 3 10 10 9 8 C120 3 2 1 种不同的选法 【总结升华】 本题构思精妙、 情境新颖.从试题的情境来看， 本题以初中数学中的整数的乘除运算等基本运算为素 材，以高中数学中组合数的定义及其计算公式为背景，展示给学生的是一个全新的问题，试题具有较大 的自由度和思维空间，考查了阅读理解、知识迁移等多种数学能力，体现了主动探究精神，呈现出研究 性学习的特点，从而进一步考查了学生自学高中数学知识的能力从试题的解答来看，直接以组合数的 定义及其计算公式为背景的试题在各种复习资料和模拟试题中从未见过，解决这个问题没有现成的“套 路”和“招式” ，需要学生自主学习组合数的定义及其计算公式的定义，综合运用多种数学思想方法， 才能解决问题