北京四中数学中考冲刺：代几综合问题--巩固练习（提高）

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1、第 1 页 共 14 页 中考冲刺：代几综合问题中考冲刺：代几综合问题知识讲解（提高）知识讲解（提高） 【巩固练习巩固练习】 一、一、 选择题选择题 1. 如图，正方形 ABCD 的边长为 2, 将长为 2 的线段 QF 的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动如果 点 Q 从点 A 出发，沿图中所示方向按滑动到点 A 为止，同时点 F 从点 B 出发， 沿图中所示方向按滑动到点 B 为止，那么在这个过程中，线段 QF 的中点 M 所 经过的路线围成的图形的面积为（ ） A. 2 B. 4 C D 2. 如图，夜晚，小亮从点 A 经过路灯 C 的正下方沿直线走到点 B，他的影长 y 随他与点 A

2、之间的距离 x 的变化而变化，那么表示 y 与 x 之间函数关系的图象大致为（ ） 二、二、填空题填空题 3.在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(4，0)，点 B 的坐标为(4，10)，点 C 在 y 轴上，且ABC 是直角三角形，则满足条件的 C 点的坐标为_ 4.如图，(n+1)个边长为 2 的等边三角形有一条边在同一直线上，设B2D1C1的面积为 S1，B3D2C2 的面积为 S2，Bn+1DnCn的面积为 Sn，则 S2=_；Sn=_ (用含的式子表示） 第 2 页 共 14 页 三、解答题三、解答题 5. 如图，在 RtABC 中，C=90，AC=4cm，BC=5cm，点 D 在

3、BC 上，且 CD=3cm，现有两个动点 P，Q 分别从点 A 和点 B 同时出发，其中点 P 以 1 厘米/秒的速度沿 AC 向终点 C 运动；点 Q 以 1.25 厘米/秒的 速度沿 BC 向终点 C 运动过点 P 作 PEBC 交 AD 于点 E，连接 EQ设动点运动时间为 t 秒（t0） （1）连接 DP，经过 1 秒后，四边形 EQDP 能够成为平行四边形吗？请说明理由； （2）连接 PQ，在运动过程中，不论 t 取何值时，总有线段 PQ 与线段 AB 平行为什么？ （3）当 t 为何值时，EDQ 为直角三角形 6如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是梯形，OABC，点 A

4、的坐标为（6，0） ，点 B 的坐标为 （3，4） ，点 C 在 y 轴的正半轴上动点 M 在 OA 上运动，从 O 点出发到 A 点；动点 N 在 AB 上运动，从 A 点出发到 B 点两个动点同时出发，速度都是每秒 1 个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点 也随即停止，设两个点的运动时间为 t（秒） （1）求线段 AB 的长；当 t 为何值时，MNOC？ （2）设CMN 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数解析式，并指出自变量 t 的取值范围；S 是否有最小 值？若有最小值，最小值是多少？ 第 3 页 共 14 页 7.条件：如下图，A、B 是直线l同旁的两个定点 问题：在直线

5、l上确定一点 P，使 PA+PB 的值最小 方法： 作点 A 关于直线l的对称点 A， 连接 AB 交l于点 P， 则 PA+PB=AB 的值最小 （不必证明） 模型应用： （1）如图 1，正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 AB 的中点，P 是 AC 上一动点连接 BD，由正方形对称 性可知，B 与 D 关于直线 AC 对称连接 ED 交 AC 于 P，则 PB+PE 的最小值是 ； （2）如图 2，O 的半径为 2，点 A、B、C 在O 上，OAOB，AOC=60，P 是 OB 上一动点，求 PA+PC 的最小值； （3）如图 3，AOB=45，P 是AOB 内一点，PO=10，Q、R

6、 分别是 OA、OB 上的动点，求PQR 周长 的最小值 8.如图，四边形 OABC 是一张放在平面直角坐标系的矩形纸片， O 为原点， 点 A 在 x 轴上， 点 C 在 y 轴上， OA=15，OC=9，在 AB 上取一点 M，使得CBM 沿 CM 翻折后，点 B 落在 x 轴上，记作 N 点 （1）求 N 点、M 点的坐标； （2）将抛物线 y=x 236 向右平移 a（0a10）个单位后，得到抛物线 l，l经过点 N，求抛物线l 的解析式； （3）抛物线l的对称轴上存在点 P，使得 P 点到 M、N 两点的距离之差最大，求 P 点的坐标； 若点 D 是线段 OC 上的一个动点（不与 O

7、、C 重合） ，过点 D 作 DEOA 交 CN 于 E，设 CD 的长为 m， PDE 的面积为 S，求 S 与 m 之间的函数关系式，并说明 S 是否存在最大值？若存在，请求出最大值； 若不存在，请说明理由 第 4 页 共 14 页 9.如图，直线 y=kx1 与 x 轴、y 轴分别交于 B、C 两点，tanOCB= （1）求 B 点的坐标和 k 的值； （2）若点 A（x，y）是第一象限内的直线 y=kx1 上的一个动点当点 A 运动过程中，试写出AOB 的面积 S 与 x 的函数关系式； （3）探索：在（2）的条件下： 当点 A 运动到什么位置时，AOB 的面积是 ； 在成立的情况下，

8、x 轴上是否存在一点 P，使POA 是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的 所有 P 点的坐标；若不存在，请说明理由 10.如图，已知抛物线 y=ax 2+bx+3 经过点 B（-1，0） 、C（3，0） ，交 y 轴于点 A，将线段 OB 绕点 O 顺时 针旋转 90，点 B 的对应点为点 M，过点 A 的直线与 x 轴交于点 D（4，0） 直角梯形 EFGH 的上底 EF 与线段 CD 重合，FEH=90，EFHG，EF=EH=1直角梯形 EFGH 从点 D 开始，沿射线 DA 方向匀速运 动，运动的速度为 1 个长度单位/秒，在运动过程中腰 FG 与直线 AD 始终重合，设运动时间为 t

9、 秒 （1）求此抛物线的解析式； （2）当 t 为何值时，以 M、O、H、E 为顶点的四边形是特殊的平行四边形； （3）作点 A 关于抛物线对称轴的对称点 A，直线 HG 与对称轴交于点 K，当 t 为何值时，以 A、A、 G、K 为顶点的四边形为平行四边形？请直接写出符合条件的 t 值 第 5 页 共 14 页 11.如图，已知等边三角形 ABC 中，点 D，E，F 分别为边 AB，AC，BC 的中点，M 为直线 BC 上一动点， DMN 为等边三角形（点 M 的位置改变时，DMN 也随之整体移动） （1）如图，当点 M 在点 B 左侧时，请你判断 EN 与 MF 有怎样的数量关系？点 F

10、是否在直线 NE 上？ 请直接写出结论，不必证明或说明理由； （2）如图，当点 M 在 BC 上时，其它条件不变， （1）的结论中 EN 与 MF 的数量关系是否仍然成立？ 若成立，请利用图 2 证明；若不成立，请说明理由； （3）若点 M 在点 C 右侧时，请你在图中画出相应的图形，并判断（1）的结论中 EN 与 MF 的数量 关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由 【答案与解析】【答案与解析】 一、选择题一、选择题 1.【答案】B. 2.【答案】A. 三、填空题三、填空题 3.【答案】 （0，0） ， （0，10） ， （0，2） ， （0，8） 4 【答案】； ；

11、【解析】由于各三角形为等边三角形，且各边长为 2，过各三角形的顶点 B1、B2、B3向对边作垂线， 垂足为 M1、M2、M3， AB1C1是等边三角形， AD1=AC1sin60=2=， B1C1B2也是等边三角形， 第 6 页 共 14 页 C1B1是AC1B2的角平分线， AD1=B2D1=， 故 S1=SB2C1ASAC1D1= 2 2=； S2=SB3C2ASAC2D2= 4 4=； 作 ABB1C1，使 AB=AB1，连接 BB1，则 B2，B3，Bn在一条直线上 Bn CnAB， =， BnDn=AD=， 则 DnCn=2BnDn=2= BnCnBn+1是边长是 2 的等边三角形，

12、因而面积是： Bn+1DnCn面积为 Sn= 即第 n 个图形的面积 Sn= 三、解答题三、解答题 5 【答案与解析】 解： （1）能，如图 1，点 P 以 1 厘米/秒的速度沿 AC 向终点 C 运动，点 Q 以 1.25 厘米/秒的速度沿 BC 向终点 C 运动，t=1 秒， AP=1，BQ=1.25， AC=4，BC=5，点 D 在 BC 上，CD=3， PC=AC-AP=4-1=3，QD=BC-BQ-CD=5-1.25-3=0.75， PEBC， 1 , 43 PEPE CD P C 解得 PE=0.75， PEBC，PE=QD， 四边形 EQDP 是平行四边形； （2）如图 2，点

13、P 以 1 厘米/秒的速度沿 AC 向终点 C 运动，点 Q 以 1.25 厘米/秒的速度沿 BC 向 终点 C 运动， 第 7 页 共 14 页 PC=AC-AP=4-t，QC=BC-BQ=5-1.25t， 45 1.25 1,1, 4454 PCtt CQtt ACBC PCCQ ACBC PQAB； （3）分两种情况讨论： 如图 3，当EQD=90时，显然有 EQ=PC=4-t， 又EQAC， EDQADC EQDQ ACDC ， BC=5，CD=3， BD=2， DQ=1.25t-2， 41.252 , 43 tt 解得 t=2.5（秒） ； 如图 4，当QED=90时，作 EMBC

14、于 M，CNAD 于 N，则 EM=PC=4-t， 在 RtACD 中， AC=4，CD=3， AD= 2222 435ACCD， 12 5 AC CD CN AD CDA=EDQ，QED=C=90， EDQCDA， 1.2525(4) , 512 DQEQtt ADCD t=3.1（秒） 综上所述，当 t=2.5 秒或 t=3.1 秒时，EDQ 为直角三角形 第 8 页 共 14 页 6.【答案与解析】 解： （1）过点 B 作 BDOA 于点 D， 则四边形 CODB 是矩形， BD=CO=4，OD=CB=3，DA=3 在 RtABD 中， 当时， ， ， ， 即（秒） （2）过点作轴于点

15、，交的延长线于点， ， ， 即， ， ， 第 9 页 共 14 页 即（） 由，得 当时，S 有最小值，且 7 【答案与解析】 解： （1）四边形 ABCD 是正方形， AC 垂直平分 BD， PB=PD， 由题意易得：PB+PE=PD+PE=DE， 在ADE 中，根据勾股定理得，DE=； （2）作 A 关于 OB 的对称点 A，连接 AC，交 OB 于 P， PA+PC 的最小值即为 AC 的长， AOC=60 AOC=120 作 ODAC 于 D，则AOD=60 OA=OA=2 AD= ； （3）分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 M、N，连接 OM、ON、MN，MN 交 OA、OB

16、 于点 Q、R，连接 PR、 PQ，此时PQR 周长的最小值等于 MN 由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10，MOA=POA，NOB=POB， MON=2AOB=245=90， 在 RtMON 中，MN=10 即PQR 周长的最小值等于 10 8.【答案与解析】 第 10 页 共 14 页 解： （1）CN=CB=15，OC=9， ON=12，N（12，0） ； 又AN=OAON=1512=3， 设 AM=x 3 2+x2=（9x）2，x=4，M（15，4） ； （2）解法一：设抛物线 l 为 y=（xa） 236 则（12a） 2=36 a1=6 或 a2=18（舍去） 抛物线 l：y=

17、（x6） 236 解法二： x 236=0， x1=6，x2=6； y=x 236 与 x 轴的交点为（6，0）或（6，0） 由题意知，交点（6，0）向右平移 6 个单位到 N 点， 所以 y=x 236 向右平移 6 个单位得到抛物线 l：y=（x6）236； （3）由“三角形任意两边的差小于第三边”知：P 点是直线 MN 与对称轴 x=6 的交点， 设直线 MN 的解析式为 y=kx+b， 则 ，解得 ， y= x16， P（6，8） ； DEOA， CDECON， 4 , 9123 mDE DEm； S= a= 0，开口向下，又 m= S 有最大值，且 S最大= 第 11 页 共 14

18、页 9.【答案与解析】 解： （1）y=kx1 与 y 轴相交于点 C， OC=1； tanOCB=，OB= ；B 点坐标为：； 把 B 点坐标为：代入 y=kx1 得：k=2； （2）S=，y=kx1， S= |2x1|；S=| x |； （3）当 S= 时， x = ，x=1，y=2x1=1； A 点坐标为（1，1）时，AOB 的面积为 ； 存在 满足条件的所有 P 点坐标为：P1（1，0） ，P2（2，0） ，P3（，0） ，P4（，0） 10.【答案与解析】 解： （1）抛物线 y=ax 2+bx+3 经过点 B（1，0） 、C（3，0） ， ，解得 a=1，b=2， 抛物线的解析式为

19、：y=x 2+2x+3 （2）在直角梯形 EFGH 运动的过程中： 四边形 MOHE 构成矩形的情形，如图 1 所示： 此时边 GH 落在 x 轴上时，点 G 与点 D 重合 由题意可知，EH，MO 均与 x 轴垂直，且 EH=MO=1，则此时四边形 MOHE 构成矩形此时直角梯形 EFGH 平移的距离即为线段 DF 的长度 过点 F 作 FNx 轴于点 N，则有 FN=EH=1，FNy 轴， ，即，解得 DN= 在 RtDFN 中，由勾股定理得：DF= ，t= ； 第 12 页 共 14 页 四边形 MOHE 构成正方形的情形 由图 1 可知，OH=ODDNHN=4 1= ，即 OHMO，

20、所以此种情形不存在； 四边形 MOHE 构成菱形的情形，如图 2 所示： 过点 F 作 FNx 轴于点 N，交 GH 于点 T，过点 H 作 HRx 轴于点 R易知 FNy 轴，RN=EF=FT=1， HR=TN 设 HR=x，则 FN=FT+TN=FT+HR=1+x； FNy 轴，即，解得 DN= （1+x） OR=ODRNDN=41 （1+x）= x 若四边形 MOHE 构成菱形，则 OH=EH=1， 在 RtORH 中，由勾股定理得：OR 2+HR2=OH2， 即： （ x） 2+x2=12， 解得 x= ， FN=1+x= ，DN= （1+x）= 在 RtDFN 中，由勾股定理得：DF

21、=3 由此可见，四边形 MOHE 构成菱形的情形存在，此时直角梯形 EFGH 平移的距离即为线段 DF 的长度， t=3 综上所述，当 t= s 时，四边形 MOHE 构成矩形；当 t=3s 时，四边形 MOHE 构成菱形 （3）当 t=s 或 t=s 时，以 A、A、G、K 为顶点的四边形为平行四边形 简答如下： （注：本题并无要求写出解题过程，以下仅作参考） 由题意可知，AA=2以 A、A、G、K 为顶点的四边形为平行四边形，则 GKAA，且 GK=AA=2 当直角梯形位于OAD 内部时，如图 3 所示： 过点 H 作 HSy 轴于点 S，由对称轴为 x=1 可得 KS=1，SG=KS+G

22、K=3 第 13 页 共 14 页 由 SGx 轴，得，求得 AS= ，OS=OAAS= ， FN=FT+TN=FT+OS= ，易知 DN= FN= ， 在 RtFND 中，由勾股定理求得 DF=； 当直角梯形位于OAD 外部时，如图 4 所示： 设 GK 与 y 轴交于点 S，则 GS=SK=1，AS= ，OS=OA+AS= 过点 F 作 FNx 轴，交 GH 于点 T，则 FN=FT+NT=FT+OS= 在 RtFGT 中，FT=1，则 TG= ，FG= 由 TGx 轴，解得 DF= 由于在以上两种情形中，直角梯形 EFGH 平移的距离均为线段 DF 的长度，则综上所述，当 t=s 或 t

23、=s 时，以 A、A、G、K 为顶点的四边形为平行四边形 11.【答案与解析】 解： （1）判断：EN 与 MF 相等 （或 EN=MF） ，点 F 在直线 NE 上. 第 14 页 共 14 页 （2）成立 证明：连结 DE，DF ABC 是等边三角形， AB=AC=BC 又D，E，F 是三边的中点， DE，DF，EF 为三角形的中位线DE=DF=EF，FDE=60 又MDF+FDN=60， NDE+FDN=60， MDF=NDE 在DMF 和DNE 中，DF=DE，DM=DN， MDF=NDE， DMFDNE MF=NE （3）画出图形（连出线段 NE） ， MF 与 EN 相等的结论仍然成立（或 MF=NE 成立） N E F D B C A M