北京四中数学中考冲刺：代几综合问题--知识讲解（提高）

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1、 第 1 页 共 12 页 中考冲刺：代几综合问题中考冲刺：代几综合问题知识讲解（知识讲解（提高提高） 【中考展望】【中考展望】 代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型近几年的中考压轴题多以代几综合题的 形式出现解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解 代几综合题必须要有科学的分析问题的方法数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题 中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题 转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键 题型一般分为： （1）方程与几何综合的问题； （2）函

2、数与几何综合的问题； （3）动态几何中的函数 问题； （4）直角坐标系中的几何问题； （5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题. 题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方 程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化，从函数关系中点与线 的位置、方程根的情况得出图形中的几何关系.以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径. 解代几综 合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结 合点，从而发现解题的突破口. 【方法点拨】【方法点拨】 方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，

3、主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关 系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组） 、解不等式（组） 、函数等知识其基本形式有：求代 数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明 函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题 中的热点题型主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题解题时要注意 函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化例如函数图象与 x 轴交点的横坐标即为相应方程的根； 点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等 函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学

4、生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的 区分度，因此是各地中考的热点题型 几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力， 对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力 1 几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以 证明、计算等题型出现 2 几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函 数值的计算，以及各种图形面积的计算等 3 几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力 4 解几何综合题应注意以下几

5、点： （1） 注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系； （2） 注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化； （3） 注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法； （4） 注意灵活地运用数学的思想和方法 【典型例题】【典型例题】 类类型一、方程与几何综合的问题型一、方程与几何综合的问题 1.如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，A=90，AB=7，AD=2，BC=3问：线段 AB 上是否存在点 P， 使得以 P、A、D 为顶点的三角形与以 P、B、C 为顶点的三角形相似？若存在，这样的总共有几个？并求 出 AP 的长；若不存在，请说明理由 第 2 页 共 12

6、 页 A B D C P 【思路点拨】 由于以 P、A、D 为顶点的三角形与以 P、B、C 为顶点的三角形相似时的对应点不能确定，故应分两 种情况讨论 【答案与解析】 解：存在 ADBC，A=90， B=90， 当PADPBC 时，. PAAD PBBC AD=2，BC=3，设 AP=x，PB=7-x，则 2 , 73 x x 14 5 AP 当ADPBPC 时，. PAAD BCBP AD=2，BC=3，设设 AP=x，PB=7-x，则 2 37 x x AP=1 或 AP=6 由可知，P 点距离 A 点有三个位置： 14 5 AP ，AP=1，AP=6 【总结升华】 本题考查的是相似三角形

7、的判定，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解 举一反三：举一反三： 【变式】【变式】有一张矩形纸片 ABCD，已知 AB=2，AD=5把这张纸片折叠，使点 A 落在边 BC 上的点 E 处，折 痕为 MN，MN 交 AB 于 M，交 AD 于 N （1）若 BE=2，试画出折痕 MN 的位置，并求这时 AM 的长； （2）点 E 在 BC 上运动时，设 BE=x，AN=y，试求 y 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的取值范围； （3）连接 DE，是否存在这样的点 E，使得AME 与DNE 相似？若存在，请求出这时 BE 的长；若不存 在，请说明理由 第 3 页 共 12 页 【答案】 (1)

8、画出正确的图形 （折痕 MN 必须与 AB、AD 相交） 设 AM=t，则 ME=t，MB=2-t，由 BM 2+BE2=ME2，得 t=3 2 ，即 AM= 3 2 （2）如图（a） ，BE=x，设 BM=a， 则 a 2+x2=（2-a）2， a 2+x2=4-4a+a2， a= 2 4 4 x ， AM=2-BM=2- 2 4 4 x = 2 4 4 x 由AMNBEA，得 ANAM ABBE ，y= 2 4 2 x x ， 0x2，0y5， x 的取值范围为：5212x （3）如图（b） ，若AME 与DNE 相似，不难得DNE=AME 又AM=ME，DN=NE=NA= 5 2 ， 2

9、 4 2 x x 5 2 解得：x=1 或 x=4 又5212x，故 x=1 或者由DEN=AEM，得AED=90， 推出ABEECD， 从而得 BE=1 类型二、函数与几何类型二、函数与几何综合综合问题问题 2.如图，在平面直角坐标系中，点 P 从原点 O 出发，沿 x 轴向右以每秒 1 个单位长的速度运动 t（t 0）秒，抛物线 y=x 2bxc 经过点 O 和点 P已知矩形 ABCD 的三个顶点为 A（1，0） 、B（1，5） 、D （4，0） 求 c、b（可以用含 t 的代数式表示） ； 当 t1 时，抛物线与线段 AB 交于点 M在点 P 的运动过程中，你认为AMP 的大小是否会变化

10、？若变 第 4 页 共 12 页 化，说明理由；若不变，求出AMP 的值； 在矩形 ABCD 的内部 （不含边界） ， 把横、 纵坐标都是整数的点称为“好点” 若抛物线将这些“好点” 分成数量相等的两部分，请直接 写出 t 的取值范围 【思路点拨】 （1）由抛物线 y=x 2+bx+c 经过点 O 和点 P，将点 O 与 P 的坐标代入方程即可求得 c，b； （2）当 x=1 时，y=1-t，求得 M 的坐标，则可求得AMP 的度数； （3）根据图形，可直接求得答案 【答案与解析】 解： （1）把 x=0，y=0 代入 y=x 2+bx+c，得 c=0， 再把 x=t，y=0 代入 y=x 2

11、+bx，得 t2+bt=0， t0， b=-t； （2）不变 抛物线的解析式为：y=x 2-tx，且 M 的横坐标为 1， 当 x=1 时，y=1-t， M（1，1-t） ， AM=|1-t|=t-1， OP=t，AP=t-1， AM=AP， PAM=90，AMP=45； （3） 7 2 11 3 左边 4 个好点在抛物线上方，右边 4 个好点在抛物线下方：无解； 左边 3 个好点在抛物线上方，右边 3 个好点在抛物线下方： 则有-4y2-3，-2y3-1， 即-44-2t-3，-29-3t-1， 7 2 且10 3 11 3 ，解得 7 2 11 3 ； 左边 2 个好点在抛物线上方，右边

12、2 个好点在抛物线下方：无解； 左边 1 个好点在抛物线上方，右边 1 个好点在抛物线下方：无解； 左边 0 个好点在抛物线上方，右边 0 个好点在抛物线下方：无解； 综上所述，t 的取值范围是： 7 2 11 3 【总结升华】 此题考查了二次函数与点的关系此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与方程 第 5 页 共 12 页 思想的应用 类型三、动态几何中的函数问题类型三、动态几何中的函数问题 3. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数 2+2 yaxaxc的图象与y轴交于(0,3)C， 与x轴交于 A、B 两点，点 B 的坐标为(-3,0) （1）求二次函数的解析式及顶

13、点 D 的坐标； （2）点 M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线 OM 把四边形 ACDB 分成面积为 1:2 的两部分， 求出此时点M的坐标； （3）点 P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点 P 在何处时CPB的面积最大？最大面积是多 少？并求出此时点 P 的坐标. 【思路点拨】 （1）抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此只需将点 B、C 的坐标代入其中求解即可 （2）先画出相关图示，连接 OD 后发现：SOBD：S四边形 ACDB=2：3，因此直线 OM 必须经过线段 BD 才有可 能符合题干的要求；设直线 OM 与线段 BD 的交点为 E，根据题干可知：OBE、多边形 OEDC

14、A 的面积比应 该是 1：2 或 2：1，即OBE 的面积是四边形 ACDB 面积的 12 33 或，所以先求出四边形 ABDC 的面积，进 而得到OBE 的面积后，可确定点 E 的坐标，首先求出直线 OE（即直线 OM）的解析式，联立抛物线的解 析式后即可确定点 M 的坐标（注意点 M 的位置） （3）此题必须先得到关于CPB 面积的函数表达式，然后根据函数的性质来求出CPB 的面积最大 值以及对应的点 P 坐标； 通过图示可发现， CPB 的面积可由四边形 OCPB 的面积减去OCB 的面积求得， 首先设出点 P 的坐标，四边形 OCPB 的面积可由OCP、OPB 的面积和得出 【答案与解

15、析】 解： （1）由题意，得： 3, 9 -60. c aac 解得： -1, 3. a c 所以，二次函数的解析式为： 2 -23yxx ，顶点 D 的坐标为（-1，4）. （2）画图由、四点的坐标，易求四边形 ACDB 的面积为 9.直线 BD 的解析式为 y=2x+6. 第 6 页 共 12 页 设直线 OM 与直线 BD 交于点 E，则OBE 的面积可以为 3 或 6. 当 1 =9=3 3 OBE S时，如图，易得E 点坐标（-2，-2），直线OE 的解析式为y=-x. E M x y O AB C D 设 M 点坐标（x，-x） ， 2 12 23 113113 ,(). 22 x

16、xx xx 舍 113 113 M, 22 （） 当时，同理可得M 点坐标 M 点坐标为（-1，4） （3）如图，连接OP，设 P 点的坐标为,m n， 点 P 在抛物线上， 2 32nmm ， PBPOOPBOB SSSS CCC 111 | 222 OCmOB nOC OB 3393 3 2222 mnnm 2 2 33327 3. 2228 mmm 30m ，当 3 2 m 时， 15 4 n . CPB的面积有最大值 27 . 8 当点 P 的坐标为 3 15 (,) 24 时，CPB的面积有最大值，且最大值为 27 . 8 第 7 页 共 12 页 【总结升华】 此题主要考查了二次函

17、数解析式的确定、图形面积的解法以及二次函数的应用等知识； （2）问中， 一定先要探究一下点 M 的位置，以免出现漏解的情况 举一反三：举一反三： 【变式】【变式】如图所示，四边形 OABC 是矩形，点 A、C 的坐标分别为（3，0） ， （0，1） ，点 D 是线段 BC 上的 动点（与端点 B、C 不重合） ，过点 D 作直线y 1 2 xb交折线 OAB 于点 E （1）记ODE 的面积为 S，求 S 与b的函数关系式； （2）当点 E 在线段 OA 上时，若矩形 OABC 关于直线 DE 的对称图形为四边形 OA1B1C1，试探究 OA1B1C1 与矩形 OABC 的重叠部分的面积是否发

18、生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由. y x D E C O A B 【答案】 （1）由题意得 B（3，1） 若直线经过点 A（3，0）时，则 b 3 2 若直线经过点 B（3，1）时，则 b 5 2 若直线经过点 C（0，1）时，则 b1. 若直线与折线 OAB 的交点在 OA 上时，即 1b 3 2 ，如图 1，此时点 E（2b，0）. S1 2 OECO 1 2 2b1b. 第 8 页 共 12 页 若直线与折线 OAB 的交点在 BA 上时，即 3 2 b 5 2 ，如图 2， 此时点 E（3， 3 2 b） ，D（2b2，1）. SS矩(SOCDSOAE SDB

19、E ) 3 1 2 (2b1)1 1 2 (52b)( 5 2 b) 1 2 3( 3 2 b) （2）如图 3，设 O1A1与 CB 相交于点 M，C1B1与 OA 相交于点 N，则矩形 O1A1B1C1与矩形 OABC 的重叠部 分的面积即为四边形 DNEM 的面积由题意知，DMNE，DNME，四边形 DNEM 为平行四边形, 根据轴对称知， MEDNED, 又MDENED， MEDMDE，MDME， 平行四边形 DNEM 为菱形 过点 D 作 DHOA，垂足为 H，设菱形 DNEM 的边长为 a，由题可知， D（2b-2，1） ，E（2b，0） ， DH=1，HE=2b-（2b-2）=2

20、， HN=HE-NE=2-a，则在 RtDHM 中，由勾股定理知： 222 (2)1aa，a= 5 . 4 . S四边形 DNEMNEDH 5 4 矩形 OA1B1C1与矩形 OABC 的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为 5 4 第 9 页 共 12 页 类型四、类型四、直角坐标系中的几何问题直角坐标系中的几何问题 4. 如图所示，以矩形 OABC 的顶点 O 为原点，OA 所在的直线为 x 轴，OC 所在的直线为 y 轴，建立 平面直角坐标系已知 OA3，OC2，点 E 是 AB 的中点，在 OA 上取一点 D，将BDA 沿 BD 翻折，使点 A 落在 BC 边上的点 F 处 （1）直接

21、写出点 E、F 的坐标； （2）设顶点为 F 的抛物线交 y 轴正半轴 于点 P，且以点 E、F、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求 该抛物线的解析式； （3）在 x 轴、y 轴上是否分别存在点 M、N，使得四边形 MNFE 的周长最小？如果存在，求出周长的 最小值；如果不存在，请说明理由 【思路点拨】 （1）由轴对称的性质，可知FBD=ABD，FB=AB，可得四边形 ABFD 是正方形，则可求点 E、F 的 坐标； （2）已知抛物线的顶点，则可用顶点式设抛物线的解析式. 因为以点 E、F、P 为顶点的等腰三角 形没有给明顶角的顶点，而顶角和底边都是唯一的，所以要抓住谁是顶角的顶点进行分类，可

22、分别以 E、 F、P 为顶角顶点； （3）求周长的最小值需转化为利用轴对称的性质求解. 【答案与解析】 解：(1)E(3,1)；F(1,2)； (2)连结 EF，在 RtEBF 中,B=90，EF=521 2222 BFEB. 设点 P 的坐标为(0,n),n0,顶点 F(1,2), 设抛物线的解析式为 y=a(x-1) 2+2，(a0) 如图 1，当 EF=PF 时，EF 2=PF2，12+(n-2)2=5，解得 n 1=0(舍去)，n2=4. P(0，4)， 4=a(0-1) 2+2，解得 a=2， 抛物线的解析式为 y=2(x-1) 2+2 第 10 页 共 12 页 如图 2，当 EP

23、=FP 时，EP 2=FP2， (2-n) 2+1=(1-n)2+9，解得 n= 2 5 (舍去) 当 EF=EP 时，EP=53，这种情况不存在. 综上所述，符合条件的抛物线为 y=2(x-1) 2+2 (3)存在点 M、N，使得四边形 MNFE 的周长最小 如图 3，作点 E 关于 x 轴的对称点 E，作点 F 关于 y 轴的对称点 F，连结 EF，分别与 x 轴、 y 轴交于点 M、N，则点 M、N 就是所求. 连结 NF、ME. E(3，-1)、F(-1，2)，NF=NF，ME=ME. BF=4，BE=3. FN+NM+ME=FN+NM+ME=FE= 22 43 =5. 又EF=5，F

24、N+MN+ME+EF=5+5， 此时四边形 MNFE 的周长最小值为 5+5. . 【总结升华】 第 11 页 共 12 页 本题考查了平面直角坐标系、等腰直角三角形、抛物线解析式的求法、利用轴对称求最短距离以及 数形结合、分类讨论等数学思想. 分类讨论的思想要依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意 分类原则是不重不漏，最简分类常见的依据是：一是依据概念分类，如判断直角三角形时明确哪个角可 以是直角，两个三角形相似时分清哪两条边是对应边；二是依运动变化的图形中的分界点进行分类，如 一个图形在运动过程中，与另一个图形重合部分可以是三角形，也可以是四边形、五边形等. 几何与函 数的综合题是中

25、考常见的压轴题型，解决这类问题主要分为两步：一是利用线段的长确定出几何图形中 各点的坐标；二是用待定系数法求函数关系式 类型五、类型五、几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题 5. 如图所示，以等腰三角形 AOB 的斜边为直角边向外作第 2 个等腰直角三角形 ABA1，再以等腰直 角三角形 ABA1的斜边为直角边向外作第 3 个等腰直角三角形 A1BB1，如此作下去，若 OA=OB=1， 则第 n 个等腰直角三角形的面积 _（n 为正整数） B2 B1 A1 B O A 【思路点拨】 本题要先根据已知的条件求出 S1、S2的值，然后通过这两个面积的求解过程

26、得出一般性的规律，进 而可得出 Sn的表达式 【答案与解析】 根据直角三角形的面积公式，得 S1= -1 1 =2 2 ； 根据勾股定理，得：AB=2，则 S2=1=2 0； A1B=2，则 S3=2 1， 依此类推，发现： n S= n-2 2 【总结升华】 本题要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值 举一反三：举一反三： 【变式】【变式】阅读下面的文字，回答后面的问题 求 3+3 2+33+3100的值 解：令 S=3+3 2+33+3100（1） ， 将等式两边提示乘以 3 得到：3S=3 2+33+34+3101（2） ， （2）-（1）得到：2S=3 1

27、01-3 第 12 页 共 12 页 S= 101 3-3 2 3+3 2+33+3100= 101 3-3 2 问题： （1）2+2 2+22011的值为_； （直接写出结果） （2）求 4+12+36+43 50的值； （3）如图，在等腰 RtOAB 中，OA=AB=1，以斜边 OB 为腰作第二个等腰 RtOBC，再以斜边 OC 为腰作 第三个等腰 RtOCD，如此下去一直作图到第 8 个图形为止求所有的等腰直角三角形的所有斜边之 和 （直接写出结果） 【答案】 解： （1）2 2012-2 （2）令 S=4+12+36+43 50 ， 将等式两边提示乘以 3 得到： 3S=12+36+108+43 51 ， -得到：2S=43 41-4 S=23 51-2 4+12+36+43 50=2351-2 （3） 9 2 - 2 2-1 （）