北京四中数学中考冲刺：动手操作与运动变换型问题--知识讲解（基础）

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1、第 1 页 共 12 页 中考中考冲刺冲刺：动手操作与运动变换型问题动手操作与运动变换型问题知识讲解（基础）知识讲解（基础） 【中考展望中考展望】 1对于实践操作型问题，在解题过程中学生能够感受到数学学习的情趣与价值，经历“数学化” 和“再创造”的过程，不断提高自己的创新意识与综合能力，这是全日制义务教育数学课程标准(实 验稿)的基本要求之一，因此，近年来实践操作性试题受到命题者的重视，多次出现. 2估计在今年的中考题中，实践操作类题目依旧是出题热点，仍符合常规题型，与三角形的全等 和四边形的性质综合考查需具备一定的分析问题能力和归纳推理能力 图形的设计与操作问题，主要分为如下一些类型： 1已

2、知设计好的图案，求设计方案(如：在什么基本图案的基础上，进行何种图形变换等) 2利用基本图案设计符合要求的图案(如：设计轴对称图形，中心对称图形，面积或形状符合特定 要求的图形等) 3图形分割与重组(如：通过对原图形进行分割、重组，使形状满足特定要求) 4动手操作(通过折叠、裁剪等手段制作特定图案) 解决这样的问题，除了需要运用各种基本的图形变换(平移、轴对称、旋转、位似)外，还需要综合 运用代数、几何知识对图形进行分析、计算、证明，以获得重要的数据，辅助图案设计 另外，由于折叠操作相当于构造轴对称变换，因此折叠问题中，要充分利用轴对称变换的特性，以 获得更多的图形信息必要时，实际动手配合上理

3、论分析比单纯的理论分析更为快捷有效 从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的.动态问题一般分两类，一类 是代数综合题，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解.另一类就是几何综合题， 在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考查.所以说， 动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分. 【方法点拨方法点拨】 实践操作问题：实践操作问题： 解答实践操作题的关键是要学会自觉地运用数学知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题， 揭示其数学本质，并转化为我们所熟悉的数学问题解答实践操作题的基本步骤为：从实例或实物

4、出发， 通过具体操作实验，发现其中可能存在的规律，提出问题，检验猜想在解答过程中一般需要经历操作、 观察、思考、想象、推理、探索、发现、总结、归纳等实践活动过程，利用自己已有的生活经验和数学 知识去感知发生的现象，从而发现所得到的结论，进而解决问题 动态几何问题：动态几何问题： 第 2 页 共 12 页 1、动态几何常见类型 （1）点动问题（一个动点） （2）线动问题（二个动点） （3）面动问题（三个动点） 2、运动形式 平移、旋转、翻折、滚动 3、数学思想 函数思想、方程思想、分类思想、转化思想、数形结合思想 4、解题思路 （1）化动为静，动中求静 （2）建立联系，计算说明 （3）特殊探路，

5、一般推证 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、图形的折叠图形的折叠 1如图所示，一个平行四边形纸片 ABCD 中，E，F 分别为 BC，CD 边上的点，将纸片沿 AE，EF 折 叠，使 B，C 的对应点 B，C及点 E 在同一直线上，则AEF_ 【思路点拨】 纸片沿 AE 折叠， 折叠前后的两个图形关于直线 AE 对称， 所以AEB 与AEB全等， 对应角相等 同 理沿 EF 折叠的两个三角形的对应角也相等 【答案】AEF90 【解析】 解: 由轴对称的性质，知AEBAEB，CEFCEF， 而AEBAEBCEFCEF=180 所以AEFAEB+CEF90 【总结升华】 图形的折叠实质上就

6、是轴对称的一种变形应用解题时应抓住折叠前后的图形全等找出对应关系 第 3 页 共 12 页 举一反举一反三：三： 【变式变式】如图所示，已知四边形纸片 ABCD，现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片， 如果限定裁剪线最多有两条，能否做到：_ (用“能”或“不能”填空)若填“能” ，请确定裁 剪线的位置，并说明拼接方法；若填“不能” ，请简要说明理由 【答案】 解：能.如图所示，取四边形 ABCD 各边的中点 E，F，G，H，连接 EG，FH，交点为 O 以 EG，FH 为裁剪线，EG，FH 将四边形 ABCD 分成，四部分，拼接时图中的不动，将 ，分别绕 E，H 旋转 180，将

7、平移，拼成的四边形 OO1O2O3即为所求沿 CA 方向平移，将点 C 平移到点 A 位置 类型二、类型二、实践操作实践操作 2如图,在等腰梯形 ABCD 中 ABCD,AB3 2,DC2,高 CE2 2,对角线 AC、BD 交于 H，平 行于线段 BD 的两条直线 MN、RQ 同时从点 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速平移，分别交等腰梯形 ABCD 的边 于 M、N 和 R、Q，分别交对角线 AC 于 F、G；当直线 RQ 到达点 C 时，两直线同时停止移动.记等腰梯形 ABCD 被直线 MN 扫过的面积为 1 S，被直线 RQ 扫过的面积为 2 S，若直线 MN 平移的速度为 1 单位

8、/秒,直线 RQ 平移的速度为 2 单位/秒,设两直线移动的时间为 x 秒. (1)填空:AHB_；AC_； (2) 若 21 3SS,求 x； (3) 若 21 SmS,求 m 的变化范围. 第 4 页 共 12 页 【思路点拨】 (1) 如例 2 图-1 所示,平移对角线 DB,交 AB 的延长线于 P.则四边形 BPCD 是平行四边形,BDPC,BPDC 2.因为等腰梯形 ABCD,ABCD,所以 ACBD. 所以 ACPC.又高 CE2 2, AB3 2,所以 AEEP 2 2.所以AHB90AC4； 直线移动有两种情况: 3 0 2 x及 3 2 2 x,需要分类讨论. 当 3 0

9、2 x时, 有 2 2 1 4 SAG SAF . 21 3SS 当 3 2 2 x时,先用含有 x 的代数式分别表示 1 S, 2 S,然后由 21 3SS列出方程,解之可得 x 的值； (3) 分情况讨论: 当 3 0 2 x时, 2 1 4 S m S . 当 3 2 2 x时,由 21 SmS,得 2 2 2 1 88 2 2 3 xS m S x 2 12 364 3x .然后讨论这个函数 的最值,确定 m 的变化范围. 【答案与解析】 第 5 页 共 12 页 解：解： (1) 90,4； (2)直线移动有两种情况: 3 0 2 x和 3 2 2 x. 当 3 0 2 x时,MNB

10、D,AMNARQ,ANFAQG. 2 2 1 4 SAG SAF . 21 3SS 当 3 2 2 x时, 如例 2 图-2 所示, CG42x,CH1, 1 4 12 2 BCD S . 2 242 28 2 1 CRQ x Sx 2 1 2 3 Sx, 2 2 88 2Sx 由 21 3SS,得方程 2 2 2 88 23 3 xx, 解得 1 6 5 x (舍去), 2 2x . x2. (3) 当 3 0 2 x时,m4 当 3 2 2 x时, 由 21 SmS,得 2 2 88 2 2 3 x m x 2 3648 12 xx 2 12 364 3x . M 是 1 x 的二次函数,

11、 当 3 2 2 x时, 即当 112 23x 时, M 随 1 x 的增大而增大. 当 3 2 x 时,最大值 m4. 当 x2 时,最小值 m3. 3m4. 【总结升华】 第 6 页 共 12 页 本题是一道几何代数综合压轴题,重点考查等腰梯形, 相似三角形的性质,二次函数的增减性和最 值及分类讨论,由特殊到一般的数学思想等的综合应用.解题时, (1)小题,通过平移对角线,将等腰梯形转化为等腰三角形,从而使问题得以简化,是我们解决梯形问题常 用的方法. (2) 小题直线移动有两种情况: 3 0 2 x及 3 2 2 x,需要分类讨论.这点万不可忽略,解题时用到的 知识点主要是相似三角形面积

12、比等于相似比的平方. (3) 小题仍需要分情况讨论.对于函数 2 12 364 3 m x ,讨论它的增减性和最值是个难点. 讨论 之前点明我们把这个函数看作“M 是 1 x 的二次函数”对顺利作答至关重要. 3已知等边三角形纸片 ABC 的边长为 8，D 为 AB 边上的点，过点 D 作 DGBC 交 AC 于点 G，DE BC 于点 E，过点 G 作 GFBC 于点 F，把三角形纸片 ABC 分别沿 DG、DE、GF 按图所示方式折叠点 A、 B、C 分别落在 A、B、C处若点 A、B、C在矩形 DEFG 内或其边上且互不重合，此时我们 称ABC (即图中阴影部分)为“重叠三角形” (1)

13、若把三角形纸片 ABC 放在等边三角形网格图中(图中每个小三角形都是边长为 l 的等边三角形)， 点 A、B、C、D 恰好落在网格图中的格点上，如图所示，请直接写出此时重叠三角形 ABC的面积； (2)实验探究： 设 AD 的长为 m， 若重叠三角形 ABC存在， 试用含 m 的代数式表示重叠三角形 A BC的面积，并写出 m 的取值范围(直接写出结果，备用图供实验探究使用) 【思路点拨】 本题是折叠与对称类型操作题，折叠实质为对称变换，故轴对称的性质运用是解本类型题的关 第 7 页 共 12 页 键另外，本题对新概念“重叠三角形”的理解正确才能求得 m 的取值范围 【答案与解析】 解：(1)

14、重叠三角形 ABC的面积为3 理由：如题图，ABC是边长为 2 的等边三角形 其高为3，面积为 1 233 2 (2)用含 m 的代数式表示重叠三角形 ABC的面积为 2 3(4)m，m 的取值范围是 8 3 m4 理由：如图(1)，ADm，则 BDGC8-m， 由轴对称的性质知 DBDB8-mDADAm ABDBDA8mm2(4m)， 由ABC 是等边三角形及折叠过程知 AABC是等边三角形 它的高是 3 2(4)3(4) 2 mm 2 1 2(4)3(4)3(4) 2 A B C Smmm 以下求 m 的取值范围： 如图(1)，若 B与 F 重合，则 C与 E 重合 由折叠过程知 BEEB

15、EF CFFCFEBEEFFC 8 3 B60，BD2BE16 3 ， 168 8 33 AD ，即 8 3 m 若 8 3 m ，如图(2)，点 B、C落在矩形 DEFG 外，不合题意 第 8 页 共 12 页 8 3 m 又由 AB2(4-m)0，得 m4 m 的取值范围是 8 4 3 m 【总结升华】亲自操作实验有助于突破难点 举一反三：举一反三： 【变式变式】阅读下面问题的解决过程： 问题：已知ABC 中，P 为 BC 边上一定点，过点 P 作一直线，使其等分ABC 的面积 解决：情形 1：如图，若点 P 恰为 BC 的中点，作直线 AP 即可 情形 2：如图，若点 P 不是 BC 的

16、中点，则取 BC 的中点 D，联结 AP，过点 D 作 DEAP 交 AC 于 E，作直线 PE，直线 PE 即为所求直线 问题解决： 如图，已知四边形 ABCD，过点 B 作一直线（不必写作法） ，使其等分四边形 ABCD 的面积，并证明 第 9 页 共 12 页 【答案】 解：如图，取对角线AC的中点 O，联结 BO、DO、BD, 过点O作OEBD交CD于 E, 直线BE即为所求直线 类型三、类型三、动态数学问题动态数学问题 4如图，有一张矩形纸片，将它沿对角线 AC 剪开，得到ACD 和ABC. (1)如图，将ACD 沿 AC边向上平移，使点 A 与点 C重合，连接 AD 和 BC，四边

17、形 ABCD 是 形； （2）如图，将ACD 的顶点 A 与 A点重合，然后绕点 A 沿逆时针方向旋转，使点 D、A、B 在同一直 线上，则旋转角为 度；连接 CC，四边形 CDBC是 形； （3）如图，将 AC 边与 AC边重合，并使顶点 B 和 D 在 AC 边的同一侧，设 AB、CD 相交于 E，连接 BD，四边形 ADBC 是什么特殊四边形？请说明你的理由. 【思路点拨】 （1）利用平行四边形的判定，对角线互相平分的四边形是平行四边形得出即可； （2）利用旋转变换的 性质以及直角梯形判定得出即可； （3）利用等腰梯形的判定方法得出 BDAC，AD=CE，即可得出答案 【答案与解析】 解

18、： （1）平行四边形； 证明：AD=AB，AA=AC，AC 与 BD 互相平分， 第 10 页 共 12 页 四边形 ABCD 是平行四边形； （2）DA 由垂直于 AB，逆时针旋转到点 D、A、B 在同一直线上， 旋转角为 90 度； 证明：D=B=90，A，D，B 在一条直线上， CDBC，四边形 CDBC是直角梯形； 故答案为：90，直角梯； （3）四边形 ADBC 是等腰梯形； 证明：过点 B 作 BMAC，过点 D 作 DNAC，垂足分别为 M，N， 有一张矩形纸片，将它沿对角线 AC 剪开，得到ACD 和ABCACDABC， BM=ND，BDAC， AD=BC，四边形 ADBC 是

19、等腰梯形 【总结升华】 此题主要考查了图形的剪拼与平行四边形的判定和等腰梯形的判定、直角梯形的判定方法等知识， 熟练掌握判定定理是解题关键 举一反三：举一反三： 【变式变式】ABC 三个顶点的坐标分别为 A(2，2)，B(4，2)，C(6，4)，以原点 O 为位似中心，将ABC 缩 小，使变换后得到的DEF 与ABC 对应边的比为 12，则线段 AC 的中点 P 变换后对应的点的坐标为 _ 【答案】（ 3 2 2 ，）或（ 3 -2 - 2 ，）. 5 如图， 在梯形 ABCD 中， ADBC， A=60， 动点 P 从 A 点出发， 以 1cm/s 的速度沿着 ABCD 的方向不停移动，直到

20、点 P 到达点 D 后才停止已知PAD 的面积 S（单位：cm 2）与点 P 移动的时间（单 位：s）的函数如图所示，则点 P 从开始移动到停止移动一共用了 秒（结果保留根号） 第 11 页 共 12 页 【思路点拨】 根据图判断出 AB、BC 的长度，过点 B 作 BEAD 于点 E，然后求出梯形 ABCD 的高 BE，再根据 t=2 时PAD 的面积求出 AD 的长度，过点 C 作 CFAD 于点 F，然后求出 DF 的长度，利用勾股定理列式求出 CD 的长度，然后求出 AB、BC、CD 的和，再根据时间=路程速度，计算即可得解 【答案】 （4+2） 【解析】 解：由图可知，t 在 2 到

21、 4 秒时，PAD 的面积不发生变化， 在 AB 上运动的时间是 2 秒，在 BC 上运动的时间是 4-2=2 秒， 动点 P 的运动速度是 1cm/s， AB=2cm，BC=2cm， 过点 B 作 BEAD 于点 E，过点 C 作 CFAD 于点 F， 则四边形 BCFE 是矩形， BE=CF，BC=EF=2cm， A=60， BE=ABsin60=2=， AE=ABcos60=2 =1， ADBE=3， 即 AD=3， 解得 AD=6cm， DF=AD-AE-EF=6-1-2=3， 在 RtCDF 中，CD=2， 第 12 页 共 12 页 所以，动点 P 运动的总路程为 AB+BC+CD=2+2+2=4+2， 动点 P 的运动速度是 1cm/s， 点 P 从开始移动到停止移动一共用了（4+2）1=4+2（秒） 故答案为： （4+2） 【总结升华】 本题考查了动点问题的函数图象，根据图的三角形的面积的变化情况判断出 AB、BC 的长度是解题 的关键，在梯形的问题中，作过梯形的上底边的两个顶点的高线是常见的辅助线