北京四中数学中考冲刺：代几综合问题--知识讲解（基础）

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1、第 1 页 共 11 页 中考冲刺：中考冲刺：代几综合问题代几综合问题知识讲解（基础知识讲解（基础） 【中考展望】【中考展望】 代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型近几年的中考压轴题多以代几综合题的 形式出现解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解 代几综合题必须要有科学的分析问题的方法数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题 中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题 转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键 题型一般分为： （1）方程与几何综合的问题； （2）函数

2、与几何综合的问题； （3）动态几何中的函数 问题； （4）直角坐标系中的几何问题； （5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题. 题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方 程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化以形导数，由数思形， 从而寻找出解题捷径. 解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要 从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口. 【方法点拨】【方法点拨】 方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关 系为背景，结合代数式的

3、恒等变形、解方程（组） 、解不等式（组） 、函数等知识其基本形式有：求代 数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明 函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题 中的热点题型主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题解题时要注意 函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根； 点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等 函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学 生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生

4、的综合能力，有较好的 区分度，因此是各地中考的热点题型 几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力， 对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力 1 几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以 证明、计算等题型出现 2 几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函 数值的计算，以及各种图形面积的计算等 3 几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力 4 解几何综合题应注意以下几点： （1） 注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找

5、数量关系和相等关系； （2） 注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化； （3） 注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法； （4） 注意灵活地运用数学的思想和方法 【典型例题】【典型例题】 类型一类型一、方程与几何综合的问题方程与几何综合的问题 1如图所示，在梯形 ABCD 中，ADBC（BCAD） ，D90，BCCD12，ABE45，若 AE 10，则 CE 的长为_. 第 2 页 共 11 页 【思路点拨】 过 B 作 DA 的垂线交 DA 的延长线于 M，M 为垂足，延长 DM 到 G，使 MG=CE，连接 BG求证BEC BGM，ABEABG，设 CE=x，在直角ADE 中，根据

6、AE 2=AD2+DE2求 x 的值，即 CE 的长度 【答案与解析】 解：过 B 作 DA 的垂线交 DA 的延长线于 M，M 为垂足，延长 DM 到 G，使 MG=CE，连接 BG， AMB=90， ADCB，DCB=90， D=90， AMB=DCB=D=90， 四边形 BCDM 为矩形 BC=CD， 四边形 BCDM 是正方形， BC=BM，且ECB=GMB，MG=CE， RtBECRtBGM BG=BE，CBE=GBM， CBE+EBA+ABM=90，且ABE=45 CBE+ABM=45 ABM+GBM=45 ABE=ABG=45， ABEABG，AG=AE=10 设 CE=x，则

7、AM=10-x， AD=12-（10-x）=2+x，DE=12-x， 在 RtADE 中，AE 2=AD2+DE2， 100=（x+2） 2+（12-x）2， 即 x 2-10x+24=0； 解得：x1=4，x2=6 故 CE 的长为 4 或 6 【总结升华】 本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了全等三角形的判定和性质，本题中求证ABE ABG，从而说明 AG=AE=10 是解题的关键 类型二类型二、函数与几何问题函数与几何问题 第 3 页 共 11 页 2如图，二次函数 y =（x-2） 2+m 的图象与 y 轴交于点 C，点 B 是点 C 关于该二次函数图象的对称 轴对称的点已知一

8、次函数 y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上点 A（1，0）及点 B （1）求二次函数与一次函数的解析式； （2）根据图象，写出满足 kx+b（x-2） 2+m 的 x 的取值范围 【思路点拨】 （1）将点 A（1，0）代入 y=（x-2） 2+m 求出 m 的值，根据点的对称性，将 y=3 代入二次函数解析式 求出 B 的横坐标，再根据待定系数法求出一次函数解析式； （2）根据图象和 A、B 的交点坐标可直接求出满足 kx+b（x-2） 2+m 的 x 的取值范围 【答案与解析】 解： （1）将点 A（1，0）代入 y=（x-2） 2+m 得， （1-2） 2+m=0， 1+m=0， m

9、=1，则二次函数解析式为 y=（x-2） 2-1 当 x=0 时，y=4-1=3， 故 C 点坐标为（0，3） ， 由于 C 和 B 关于对称轴对称，在设 B 点坐标为（x，3） ， 令 y=3，有（x-2） 2-1=3，解得 x=4 或 x=0 则 B 点坐标为（4，3） 设一次函数解析式为 y=kx+b，将 A（1，0） 、B（4，3）代入 y=kx+b 中，得 ，解得， 则一次函数解析式为 y=x-1； （2）A、B 坐标为（1，0） ， （4，3） ， 当 kx+b（x-2） 2+m 时，1x4 【总结升华】 本题考察了待定系数法求二次函数,一次函数函数解析式以及数形结合法解不等式.求

10、出 B 点坐标是 解题的关键 举一反三举一反三： 【变式变式】如图，二次函数 2 (0)yaxbxc a的图象与 x 轴交于 A、B 两点，其中 A 点坐标为（1，0） ， 点 C（0，5） 、D（1，8）在抛物线上，M 为抛物线的顶点 第 4 页 共 11 页 （1）求抛物线的解析式 （2）求MCB 的面积 【答案】 解：(1)设抛物线的解析式为 2 yaxbxc，根据题意，得 0 5 8 abc c abc ， 解之，得 1 4 5 a b c 所求抛物线的解析式为 2 45yxx （2）C 点的坐标为（0，5） OC5令0y ，则 2 450xx ，解得 12 1,5xx B 点坐标为（

11、5，0） OB5 22 45(2)9yxxx ，顶点 M 坐标为（2，9） 过点 M 作 MNAB 于点 N，则 ON2，MN9 11 (59) 9 (52)5 515 22 MCBBNMOBCOCMN SSSS 梯形 . 类型三类型三、动态几何中的函数问题动态几何中的函数问题 3如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（-2，-4） ，OB=2，抛物线 y=ax 2+bx+c 经过点 A、O、B 三点 （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点 M 是抛物线对称轴上一点，试求 AM+OM 的最小值； （3）在此抛物线上，是否存在点 P，使得以点 P 与点 O、A、B 为顶点的四边形是梯形？若存在，

12、求点 第 5 页 共 11 页 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【思路点拨】 （1）把 A、B、O 的坐标代入到 y=ax 2+bx+c 得到方程组，求出方程组的解即可； （2）根据对称求出点 O 关于对称轴的对称点 B，连接 AB,根据勾股定理求出 AB 的长，就可得到 AM+OM 的最小值. （3）若 OBAP，根据点 A 与点 P 关于直线 x=1 对称，由 A（-2，-4） ，得出 P 的坐标；若 OABP， 设直线 OA 的表达式为 y=kx， 设直线 BP 的表达式为 y=2x+m， 由 B （2， 0） 求出直线 BP 的表达式为 y=2x-4， 得到方程组，求出方程组的解即可

13、；若 ABOP，设直线 AB 的表达式为 y=kx+m，求出直线 AB，得到方 程组求出方程组的解即可. 【答案与解析】 解： （1）由 OB=2，可知 B（2，0） ， 将 A（-2，-4） ，B（2，0） ，O（0，0）三点坐标代入抛物线 y=ax 2+bx+c，得 442 042 0 abc abc c 解得： 1 , 2 1, 0. a b c 抛物线的函数表达式为 y= 2 1 2 xx （2）由 y= 2 1 2 xx= 2 11 (1) 22 x x可得，抛物线的对称轴为直线 x=1，且对称轴 x=1 是线段 OB 的垂直平分线，连接 AB 交直线 x=1 于点 M，M 点即为所

14、求 MO=MB，则 MO+MA=MA+MB=AB, 作 ACx 轴，垂足为 C，则|AC|=4，|BC|=4，AB=4 2, MO+MA 的最小值为4 2. 答：MO+MA 的最小值为4 2. 第 6 页 共 11 页 （3）如图 1，若 OBAP，此时点 A 与点 P 关于直线 x=1 对称，由 A（-2，-4） ，得 P（4，-4） ，则得 梯形 OAPB 如图 2，若 OABP， 设直线 OA 的表达式为 y=kx，由 A（-2，-4）得，y=2x 设直线 BP 的表达式为 y=2x+m，由 B（2，0）得，0=4+m，即 m=-4， 直线 BP 的表达式为 y=2x-4. 由 1 2

15、， 解得 x1=-4，x2=2（不合题意，舍去）, 当 x=-4 时，y=-12，点 P（-4，-12） ，则得梯形 OAPB 如图 3，若 ABOP，设直线 AB 的表达式为 y=kx+m，则 42 02 km km ， 解得 1 2 k m ， AB 的表达式为 y=x-2 ABOP， 直线 OP 的表达式为 y=x 由 2 , 1 2 yx yxx 得 x 2=0，解得 x=0， （不合题意，舍去） ，此时点 P 不存在 第 7 页 共 11 页 综上所述，存在两点 P（4，-4）或 P（-4，-12）,使得以点 P 与点 O、A、B 为顶点的四边形是梯形 【总结升华】 本题主要考查对梯

16、形，解二元二次方程组，解一元二次方程，二次函数的性质，用待定系数法求一 次函数的解析式等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行计算是解此题的关键 举一反三举一反三： 【变式变式】如图，直线4 3 4 xy与 x 轴、y 轴的交点分别为 B、C，点 A 的坐标是（-2，0） （1）试说明ABC 是等腰三角形； （2）动点 M 从 A 出发沿 x 轴向点 B 运动，同时动点 N 从点 B 出发沿线段 BC 向点 C 运动，运动的速度均 为每秒 1 个单位长度当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动设 M 运动 t 秒时，MON 的面积 为 S 求 S 与 t 的函数关系式； 设点 M 在线段 OB

17、上运动时，是否存在 S4 的情形？若存在，求出对应的 t 值；若不存在，请说 明理由； 在运动过程中，当MON 为直角三角形时，求 t 的值 【答案】 （1）证明：y= 4 4 3 x 当 x=0 时，y=4； 当 y=0 时，x=3， B（3，0） ，C（0，4） ， A（-2，0） ， 第 8 页 共 11 页 由勾股定理得：BC= 22 345 AB=3-（-2）=5， AB=BC=5， ABC 是等腰三角形； （2）解：C（0，4） ，B（3，0） ，BC=5， sinB= 4 0.8 5 OC BC 过 N 作 NHx 轴于 H 点 M 从 A 出发沿 x 轴向点 B 运动，同时动点

18、 N 从点 B 出发沿线段 BC 向点 C 运动，运动的速度 均为每秒 1 个单位长度， 又AB=BC=5， 当 t=5 秒时，同时到达终点， MON 的面积是 S= 1 2 OMNH S=20.4tt 点 M 在线段 OB 上运动时，存在 S=4 的情形理由如下： C（0，4） ，B（3，0） ，BC=5， sinB= 4 0.8 5 OC BC 根据题意得：S=4， |t-2|0.4t=4， 点 M 在线段 OB 上运动，OA=2， t-20， 即（t-2）0.4t=4，化为 t 2-2t-10=0， 解得：111,111(tt 舍去） 点 M 在线段 OB 上运动时，存在 S=4 的情形

19、，此时对应的 t 是（111t ）秒 C（0，4）B（3，0）BC=5， cosB= 3 0.6 5 OB BC 分为三种情况： I、当NOM=90时，N 在 y 轴上，即此时 t=5； 第 9 页 共 11 页 II、当NMO=90时，M、N 的横坐标相等，即 t-2=3-0.6t，解得：t=3.125， III、MNO 不可能是 90， 即在运动过程中，当MON 为直角三角形时，t 的值是 5 秒或 3.125 秒 类型四类型四、直角坐标系中的几何问题直角坐标系中的几何问题 4已知，如图所示，在平面直角坐标系中，四边形 ABC0 为梯形，BCA0，四个顶点坐标分别为 A （4，0） ，B（

20、1，4） ，C（0，4） ，O（0，O） 一动点 P 从 O 出发以每秒 1 个单位长度的速度沿 OA 的方向 向 A 运动；同时，动点 Q 从 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 ABC 的方向向 C 运动两个动点 若其中一个到达终点，另一个也随之停止设其运动时间为 t 秒 （1）求过 A，B，C 三点的抛物线的解析式； （2）当 t 为何值时，PB 与 AQ 互相平分； （3）连接 PQ，设PAQ 的面积为 S，探索 S 与 t 的函数关系式求 t 为何值时，S 有最大值？最大值是 多少？ 【思路点拨】 （1）设出抛物线的解析式，运用待定系数法可以直接求出抛物线的解析式 （2）根据

21、PB 与 AQ 互相平分可以得出四边形 BQPA 是平行四边形，得出 QB=PA 建立等量关系可以求出 t 值 （3）是一道分段函数，分为 Q 点在 AB 上和在 BC 上讨论，根据三角形的面积公式表示出 S 与 t 的关系 式，就可以求出答案. 【答案与解析】 解： （1）设抛物线的解析式为 y=ax 2+bx+c（a0） ，代入 A、B、C 三点的坐标，得 16a40 4 4 bc abc c 解得： 1 3 1 3 4 a b c y= 2 11 4 33 yxx （2）PB 与 AQ 互相平分， 四边形 BQPA 是平行四边形， BQ=PA， 2t-5=4-t， 解得：t=3 第 10

22、 页 共 11 页 当 t 为 3 时，PB 与 AQ 互相平分. （3）由已知得 AB=5，CB=1 当 0t 5 2 时，点 Q 在线段 AB 上运动， 设 P（xP，0） ，Q（xQ，yQ） ，OAB=，sin= 4 5 1 (4). 2 PAQQp Syx 8 2 sin, 5 Qp ytt xt 2 1 84 (4)(4). 2 55 PAQ St ttt . 当 t=2 时，SPAQ有最大值为16. 5 当 5 3 2 t ，点 Q 在线段 BC 上运动，则 SPAQ= 1 4 (4)82 2 tt 当 t= 5 2 时，SPAQ有最大值为 3 综上所述，当 t=2 时，SPAQ有

23、最大值为16. 5 【总结升华】本题是一道二次函数综合题.考察了二次函数的最值，待定系数法求二次函数解析式以及 三角形面积的求解等. 类型五类型五、几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题 5一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到(01)，然后接着按图 中箭头所示方向运动,即(0 0)(01)(11)(10)，且每秒移动一个单位，那么第 35 秒时质 点所在位置的坐标是_. 0 1 2 3 x y 1 2 3 第 11 页 共 11 页 【思路点拨】 由题目中所给的质点运动的特点找出规律，到（2，0）用 4 秒，到（2，2）用 6

24、秒，到（0，2）用 8 秒，到（0，3）用 9 秒，到（3，3）用 12 秒，即可得出第 35 秒时质点所在位置的坐标 【答案与解析】 解：质点运动的速度是每秒运动一个单位长度， （0，0）（0，1）（1，1）（1，0）用的秒 数分别是 1 秒，2 秒，3 秒，到（2，0）用 4 秒，到（2，2）用 6 秒，到（0，2）用 8 秒，到（0，3） 用 9 秒，到（3，3）用 12 秒，到（4，0）用 16 秒，依此类推，到（5，0）用 35 秒故第 35 秒时质点 所在位置的坐标是（5，0） 【总结升华】 此题主要考查了数字变化规律，解决本题的关键是正确读懂题意，能够正确确定点运动的顺序，确 定

25、运动的距离，从而可以得到到达每个点所用的时间. 举一反三举一反三： 【变式变式】如图，一粒子在区域（x，y）|x0，y0内运动，在第 1 秒内它从原点运动到点 B1（0，1） ， 接着由点 B1C1A1，然后按图中箭头所示方向在 x 轴，y 轴及其平行线上运动，且每秒移动 1 个单位长 度，求该粒子从原点运动到点 P（16，44）时所需要的时间 【答案】 解：设粒子从原点到达 An、Bn、Cn时所用的时间分别为 an、bn、cn，则有： a1=3，a2=a1+1， a3=a1+12=a1+34，a4=a3+1， a5=a3+20=a3+54，a6=a5+1， a2n-1=a2n-3+（2n-1）4，a2n=a2n-1+1， a2n-1=a1+43+5+（2n-1）=4n 2-1， a2n=a2n-1+1=4n 2， b2n-1=a2n-1-2（2n-1）=4n 2-4n+1， b2n=a2n+22n=4n 2+4n， c2n-1=b2n-1+（2n-1）=4n 2-2n， c2n=a2n+2n=4n 2+2n=（2n）2+2n， cn=n 2+n， 粒子到达（16，44）所需时间是到达点 c44时所用的时间，再加上 44-16=28（s） ， 所以 t=44 2+447+28=2008（s）