小学六年级下册数学讲义第五章 数学广角-鸽巢问题 人教新课标版（含解析）

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1、人教版小学六年级数学下册同步复习与测试讲义人教版小学六年级数学下册同步复习与测试讲义 第五章第五章 数学广角数学广角-鸽巢问题鸽巢问题 【知识点归纳总结】【知识点归纳总结】 抽屉原理 抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在 n 个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有 2 个物体 例：把 4 个物体放在 3 个抽屉里，也就是把 4 分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况： 4=4+0+0 4=3+1+0 4=2+2+0 4=2+1+1 观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有 2 个或多于 2 个物体，也 就是说必有一个抽屉中至少放有 2 个物体 抽屉原则二：如果把

2、 n 个物体放在 m 个抽屉里，其中 nm，那么必有一个抽屉至少有： k= m n +1 个物体：当 n 不能被 m 整除时 k= m n 个物体：当 n 能被 m 整除时 理解知识点：X表示不超过 X 的最大整数 例：4.351=4；0.321=0；2.9999=2； 关键问题：构造物体和抽屉也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算 【经典例题】【经典例题】 例 1：在任意的 37 个人中，至少有（ ）人属于同一种属相 A、3 B、4 C、6 分析：把 12 个属相看做 12 个抽屉，37 人看做 37 个元素，利用抽屉原理最差情况：要使属相相同的人数最 少，只要使每个抽屉的元

3、素数尽量平均，即可解答 解：3712=31 3+1=4（人） 答：至少有 4 人的属相相同 故选：B 点评：此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑 例 2：在一个不透明的箱子里放了大小相同的红、黄、蓝三种颜色的玻璃珠各 5 粒要保证每次摸出的玻璃 珠中一定有 3 粒是同颜色的，则每次至少要摸（ ）粒玻璃珠 A、3 B、5 C、7 D、无法确定 分析：把红、黄、蓝三种颜色看做 3 个抽屉，考虑最差情况：每种颜色都摸出 2 粒，则一共摸出 23=6 粒 玻璃珠，此时再任意摸出一粒，必定能出现 3 粒玻璃珠颜色相同，据此即可解答 解：根据题干分析可得： 23+1=7（粒）

4、， 答：至少摸出 7 粒玻璃珠，可以保证取到 3 粒颜色相同的玻璃珠 故选：C 点评：此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用 【同步测试】【同步测试】 单元同步测试题单元同步测试题 一选择题（共一选择题（共 8 小题）小题） 1学校篮球队的 5 名队员练习投篮，共投进了 48 个球，总有一名队员至少投进（ ）个球 A9 B10 C11 D12 2六年级三班有 53 人，那么这个班级中至少有（ ）人的生日在同一个月 A1 B3 C5 D7 3同时抛出若干枚硬币，确保至少有 5 枚硬币朝上的面相同，最少要拿（ ）枚硬币去抛 A5 B7 C9 D11 4袋中有 60 粒大小相同的弹珠，每 15

5、 粒是同一种颜色，为保证取出的弹珠中一定有 2 粒是同色的，至少 要取出（ ）粒才行 A4 B5 C6 D7 51000 只鸽子飞进 50 个巢，无论怎么飞，我们一定能找到一个含鸽子最多的巢，它里面至少有（ ） 只鸽子 A20 B21 C22 D23 6把 25 枚棋子放入下图的三角形内，那么一定有一个小三角形中至少放入（ ）枚 A9 B8 C7 D6 7从 8 个抽屉里拿出 17 个苹果，无论怎么拿，我们一定能拿到苹果最多的那个抽屉，从它里面至少拿出 （ ）个苹果 A1 B2 C3 D4 8一个布袋中装有若干只手套，颜色有黑、红、蓝、白 4 种，至少要摸出（ ）只手套，才能保证有 3 只颜色

6、相同 A5 B8 C9 D12 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 9盒子里装有大小一样的黄、红、蓝球各 10 个，至少摸出 个球才能保证有两个颜色一样的 10 把红、 黄、 蓝三种颜色的球各 8 个放到一个袋子里 要想摸出的球一定有 2 个同色， 至少要摸出 个 球 1110 个保温瓶中有 2 个是次品，要保证取出的瓶中至少有一个是次品，则至少应取出 个 12某班要至少有 5 人是出生在同一个月里，这个班至少有 人 13某小区 2018 年共新增加了 13 辆电动清洁能源小客车，一定有 辆或 辆以上的小客车是 在同一个月内购买的 146 个小组的同学栽树 1519 个玩具，最多分给

7、个小朋友，才能保证至少有一人手上有 3 个玩具 16袋中有外形一样的红、黄、蓝三种颜色的小球各 10 个，每个小朋友只能从中摸出 1 个小球，至少有 个小朋友摸球，才能保证一定有 5 个人摸的球颜色一样 三判断题（共三判断题（共 5 小题）小题） 17 盒子里有 8 个黄球、 5 个红球， 每次只摸一个球， 摸出后放回， 至少摸 8 次一定会摸到红球 （判 断对错） 18在 367 名同一年出生的同学中，至少有 2 人是同月同日出生的 （判断对错） 1936 只鸽子飞进 5 个的笼，总有一个笼子至少飞进了 8 只鸽子 （判断对错） 20从 1 开始的连续 10 个奇数中任取 6 个，一定有两个

8、数的和是 20 （判断对错） 21六（1）班有 54 名学生，至少有 5 人是同一个月出生的 （判断对错） 四应用题（共四应用题（共 7 小题）小题） 22在一个不透明的袋子里有同样大小的红、黑、白、黄球各 10 个，至少要取出多少个球，才能保证取到 4 个颜色相同的球？ 23某班有个小书架，40 名学生可以任意借阅图书，小书架上至少要有多少本书，才保证总有一名同学至 少借到两本书？ 24从一副扑克牌（大王、小王除外）中至少要抽取几张牌，才能保证其中至少有 2 张牌有相同的点数？ 25一个鱼缸里有 4 种花色的金鱼，每种花色各有 10 条，从中任意捞鱼 （1）至少捞出多少条鱼，才能保证有 3

9、条花色相同的金鱼？ （2）至少捞出多少条鱼，才能保证有 3 种花色不同的金鱼？ 26在同一年出生的 13 个小朋友中，至少有几个小朋友是同一个月出生的？ 27作文比赛中，六年级共有 7 名选手获奖，已知六年级有 6 个班，你能不能肯定选手至少有 2 名来自同 一个班？为什么？ 2810 封信投入 3 个信箱里，至少有 4 封信投入同一个信箱里，为什么？ 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题）小题） 1 【分析】 将 5 名队员投进的球作为抽屉， 将 48 个球放入抽屉中， 根据抽屉原理， 4859 （个） 3 （个） ， 所以至少有一个抽屉中放了（9+1）个

10、球；据此解答 【解答】解：4859（个）3（个） 9+110（个） 答：一定有一名队员至少投进了 10 个球 故选：B 【点评】在此抽屉问题中，至少数物体数除以抽屉数的商+1（有余的情况下） 2 【分析】把 12 个月看作 12 个抽屉，把 53 个人看作 53 个元素，那么每个抽屉需要放 53124（人） 5（人），所以每个抽屉需要放 4 人，剩下的 4 人再不论怎么放，总有一个抽屉里至少有：4+15（人）， 所以，至少有 5 人的生日在同一个月 【解答】解：53124（人）5（人） 4+15（人） 答：这个班级中至少有 5 人的生日在同一个月 故选：C 【点评】本题考查抽屉原理，解答思路是

11、：要从最不利情况考虑，确定抽屉个数和元素个数，然后根据 “至少数元素个数抽屉个数+1（有余数的情况下）”解答即可 3【分析】考虑最差情况：假设正、反两种情况都出现 4 了次，共需投掷 248 枚硬币，那么再任意投 掷 1 枚硬币，落地后只能是正、反两种情况中的任意一种情况，所以至少：8+15（枚） 【解答】解：24+1 8+1 9（枚） 答：最少要拿 9 枚硬币去抛 故选：C 【点评】本题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，这里要注意考虑最差情况 4【分析】袋中有 60 粒大小相同的弹珠，每 15 粒是同一种颜色，60154，所以一共有 4 种不同的颜 色，为保证取出的弹珠中一定有 2

12、粒是同色的，从最不利情况考虑，四种颜色的弹珠各取出 1 粒，共取 出 4 粒， 那么再取一粒， 不论是什么颜色， 总有一粒的颜色和它是同色的， 所以至少要摸出： 4+14 （粒） ， 据此即可解答问题 【解答】解：60154（种） 所以一共有 4 种不同的颜色， 4+15（粒） 答：至少要取出 5 粒才行 故选：B 【点评】此题属于抽屉问题，关键是找出“最坏情况”，然后进行分析进而得出结论 5【分析】把 50 个巢看作 50 个抽屉，把 1000 只鸽子看作 1000 个元素，那么每个抽屉需要放 100050 20（只），所以每个抽屉需要放 20 只，所以至少有一个鸽巢要飞进 20 只鸽子，据

13、此解答 【解答】解：10005020（只）， 答：它里面至少有 20 只鸽子 故选：A 【点评】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，然 后根据“至少数元素的总个数抽屉的个数+1（有余数的情况下）”解答 6【分析】把 4 个小三角形看作 4 个抽屉，把 25 枚棋子看作 25 个元素，那么每个抽屉需要放 2546 （枚）1（枚），所以每个抽屉需要放 6 枚，剩下的 3 枚不论怎么放，总有一个抽屉里至少有：6+17 （枚），所以，至少有一个小三角形内至少有 9 枚棋子，据此解答 【解答】解：2546（枚）1（枚）， 6+17（枚） 答：有一个小三角形内至

14、少有 7 枚棋子 故选：C 【点评】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，然 后根据“至少数元素的总个数抽屉的个数+1（有余数的情况下）”解答 7【分析】有 8 个抽屉，把 17 个苹果看作 17 个元素，那么每个抽屉需要拿 1782（个）1（个）， 所以每个抽屉需要拿 2 个，剩下的 1 个再不论怎么拿，总有一个抽屉里至少有：2+13（个），所以， 最多的抽屉有 3 个苹果，据此解答 【解答】解：1782（个）1（个）， 2+13（个） 所以最多的抽屉里面有 3 个苹果 答：拿出苹果最多的抽屉，从它里面至少拿出 3 个苹果 故选：C 【点评】本题考查

15、了抽屉原理即把 m 个元素任意放入 n（nm）个集合，则一定有一个集合至少要有 k 个元素其中 kmn（当 n 能整除 m 时）或 kmn+1 （当 n 不能整除 m 时） 8【分析】可以把四种不同的颜色看成是 4 个抽屉，把手套看成是元素，要保证有 3 只同色的，就是 1 个 抽屉里至少有 3 只手套，根据抽屉原理，考虑最差情况：每个抽屉都摸出 248 只手套，此时再任意 摸出 1 只，必定保证有一个抽屉有 3 只颜色相同的手套 【解答】解：根据题干分析可得： 24+19（只） 答：至少要摸出 9 只手套，才能保证有 3 只颜色相同 故选：C 【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活

16、应用，关键是从最差情况考虑 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 9【分析】最坏的打算是首先每种球都摸出 1 个，那么摸了 3 个，再摸一个，就能得到 2 个颜色相同，进 而计算得出结论 【解答】解：3+14（个）； 答：至少摸出 4 个球才能保证有两个颜色一样的 故答案为：4 【点评】此题属于抽屉问题，关键是找出“最坏情况”，然后进行分析进而得出结论 10【分析】考虑最差情况，每次摸到的球颜色都不一样，则需要摸出 3 个球，再摸出 1 个球，一定和另 外 3 个球其中的一个颜色相同所以至少需要摸 3+14（个）球，才能保证摸出的球一定有 2 个同色的 【解答】解：3+14（个） 答：要

17、想摸出的球一定有 2 个同色，至少要摸出 4 个球 故答案为：4 【点评】本题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，这里要注意考虑最差情况 11【分析】根据题意，从最坏的结果入手，假设取的前 8 个都是合格产品，则再取 1 个一定是次品，所 以，只数取 9 个，才能保证一定至少有 1 个次品 【解答】解：从最坏的结果入手，假设取的前 8 个都是合格产品，则再取 1 个一定是次品，所以，只数 取 9 个，才能保证一定至少有 1 个次品 故答案为：9 【点评】本题主要考查找抽屉原理，关键从最坏的结果入手，利用假设法做题 12【分析】一年中共有 12 个月，将这 12 个月当做 12 个抽屉，根

18、据抽屉原理可知，每个抽屉里放 4 个元 素，共需要 41248 个元素，再加上 1 个元素，即则该班中至少有 48+149 人；据此解答 【解答】解：412+1 48+1 49（人） 答：这个班至少有 49 人 故答案为：49 【点评】抽屉原理一：把多于 n 个的物体放到 n 个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件 抽屉原理二：把多于 mn（m 乘以 n）个的物体放到 n 个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于 m+1 的物 体 13【分析】1 年有 12 个月，把这 13 辆电动清洁能源小客车平均分在 12 个月里面，每个月分到 1 辆，还 余 1 辆，余下的 1 辆无论是分到哪个月，这

19、个月都至少有 2 辆，由此求解 【解答】解：13121（辆）1（辆） 11+12（辆） 一定有 2 辆或 2 辆以上的小客车是在同一个月内购买的 故答案为：2，2 【点评】在此类抽屉问题中，至少数物体数除以抽屉数的商+1（有余数的情况下） 14【分析】先使平均每个小组栽 4 棵，再加上 1 棵，这一棵无论放在哪个小组，这个小组都会有 5 棵， 由此求解 【解答】解：（51）6+1 24+1 25（棵） 答：这些树至少有 25 棵 故答案为：25 【点评】先使每个小组分到 4 棵树，求出一共多少棵，再加上 1 棵 15【分析】根据最差原理，只有一人手上有 3 个玩具，其他每个人手上有 312 个

20、玩具，即先求出 19 316 里面有几个 2，就有几个人分得 2 个玩具，然后再加上 1 即可 【解答】解：根据分析可得， （193）（31）+1 162+1 8+1 9（个） 答：19 个玩具，最多分给 9 个小朋友，才能保证至少有一人手上有 3 个玩具 故答案为：9 【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑 16【分析】把红、黄、蓝三种颜色看作 3 个抽屉，小朋友看作个元素，利用抽屉原理最差情况：每个抽 屉里先放 4 个元素，共需要 4312 个，再取一个即可满足一定有 5 个人摸的球颜色一样 【解答】解：根据分析可得， 43+113（个） 答：至少有 1

21、3 个小朋友摸球，才能保证一定有 5 个人摸的球颜色一样 故答案为：13 【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑 三判断题（共三判断题（共 5 小题）小题） 17【分析】利用抽屉原理最差情况，由于每次摸出后放回，有可能无论摸多少次都不会出现红球，据此 解答即可 【解答】解：因为由于每次摸出后放回，所以有可能无论摸多少次都不会出现红球，所以原题说法错误 故答案为： 【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑 18【分析】从最不利的情况考虑：每天都有一个人过生日，一年最多有 366 天，即 366 个人生日不同， 那么还剩一个人无

22、论在哪一天过，总有另外的一个人和他同一天过生生日，据此解答 【解答】解：3673661（人）1（人）， 1+12（人）， 所以至少有 2 人是同月同日出生的，原题说法正确 故答案为： 【点评】抽屉原理问题关键的是建立抽屉和确定元素的个数，然后从最不利的情况考虑解答，公式是： 元素的个数抽屉数商余数，至少数商+1 19 【分析】 把 5 个鸽笼看作 5 个抽屉， 把 36 只鸽子看作 36 个元素， 那么每个抽屉需要放 3657 （个） 1（个），所以每个抽屉需要放 7 个，剩下的 1 个再不论怎么放，总有一个抽屉里至少有：7+18（个）， 所以，至少有一个鸽笼要飞进 8 只鸽子，据此解答 【解

23、答】解：3657（只）1（只）， 7+18（只）； 总有一个笼子至少飞进了 8 只鸽子，原题说法正确 故答案为： 【点评】在此类抽屉问题中，至少数物体数除以抽屉数的商+1（有余数的情况下） 20【分析】根据题意，依次写出这 10 个奇数：1、3、5、7、9、11、13、15、17、19可以把这 10 个奇 数分为 5 个抽屉：（1，19），（3，17），（5，15），（7，13），（9，11）；利用抽屉原理，从中任 取 6 个，必定有两个数的和为 20 【解答】解：可以把这 10 个奇数分为 5 个抽屉：（1，19），（3，17），（5，15），（7，13），（9， 11）； 从中任取 6 个

24、，必定有两个数的和为 20所以原说法是正确的 故答案为： 【点评】本题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用 21 【分析】一年有 12 个月，那么把这 12 个月看作 12 个抽屉，要求至少有多少名同学是同一个月出生的， 可以考虑最差情况：54 名尽量平均分配在 12 个抽屉中，利用抽屉原理即可解答 【解答】解：建立抽屉：一年有 12 个月分别看作 12 个抽屉， 541246 4+15（人） 答：至少有 5 人是同一个月出生的 原题说法正确 故答案为： 【点评】此题考查了抽屉原理解决实际问题的灵活应用 四应用题（共四应用题（共 7 小题）小题） 22【分析】由题意可知，袋中共有红、黑、白

25、、黄四种颜色的球，最坏的情况是，取出 4312 个球后， 每种颜色的球各有 3 个，此时只要再任意拿出一个球，就能保证取到的球中有 4 个颜色相同的球即至 少要取 43+113 个 【解答】解：43+113（个） 答：至少要摸出 13 个才能保证有 4 个球的颜色相同 【点评】此题考查了抽屉原理的灵活应用，要注意考虑最坏情况 23【分析】根据题干，若每人都借 1 本，需要 40 本，此时若再多出 1 本，无论借给哪个同学，都能使这 个同学能借到 2 本书 【解答】解：根据题干分析可得：40+141（本） 答：小书架上至少要有 41 本书，才保证总有一名同学至少借到两本书 【点评】此题考查了利用

26、抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑 24【分析】一副扑克牌中（去掉大、小王），还有 52 张，从 A 到 K 分成四组，每组有 52413 张牌， 只要拿 1 组再加一张就能保证其中 2 张牌的点数相同，由此即可解决问题 【解答】解：52413（张） 13+114（张） 答：至少要抽出 14 张，方能保证其中至少有 2 张牌是相同的点数 【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑 25【分析】（1）把 4 种花色看做 4 个抽屉，考虑最差情况：每个抽屉都有 2 条，捞出 248 条，那么 再任意捞出 1 条无论放到哪个抽屉都会出现一个抽屉里有

27、3 条相同花色的金鱼，据此解答 （2）利用抽屉原理最差情况：把其中的两种花色全部捞出，即 10+1020 条，那么再任意捞出 1 条，才 能保证有 3 种花色不同的金鱼；即可解答 【解答】解：（1）24+19（条） 答：至少捞出 9 条鱼，才能保证有 3 条花色相同的金鱼 （2）10+10+121（条） 答：至少捞出 21 条鱼，才能保证有 3 种花色不同的金鱼 【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑 26【分析】把 12 个月份看作 12 个抽屉，把 25 小朋友看作 25 个元素，那么每个抽屉需要放 13121 （个）1（个），所以每个抽屉需要放 1 个

28、，剩下的 1 个再不论怎么放，总有一个抽屉里至少有：1+1 2（个），所以，至少有 2 个小朋友在同一个月出生，据此解答 【解答】解：根据分析可得， 13121（个）1（个） 1+12（人） 答：至少有 2 个小朋友在同一个月出生 【点评】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，然 后根据“至少数元素的总个数抽屉的个数+1（有余数的情况下）”解答 27【分析】把 6 个班看做 6 个抽屉，7 人看做 7 个元素，利用抽屉原理最差情况：要使属相相同的人数最 少，只要使每个抽屉的元素数尽量平均，即可解答 【解答】解：761（名）1（名） 1+12（名） 答：

29、肯定有选手至少有 2 名来自同一个班 【点评】本题考查了抽屉原理：把 m 个元素任意放入 n（nm）个集合，则一定有一个集合至少要有 k 个元素其中 kmn（当 n 能整除 m 时）或 kmn+1 （当 n 不能整除 m 时） 28【分析】10 封信投入 3 个邮箱里，1033（封）1（封），即平均每个邮箱放 3 封，还余 1 封，根 据抽屉原理可知，总有一个信箱里至少放 3+14 封；据此解答 【解答】解：1033（封）1（封） 3+14（封） 答：至少有 4 封信投入同一个信箱里；因为平均每个邮箱放 3 封，还余 1 封，这 1 封无论怎么放，都至 少有 4 封信投入同一个信箱里 【点评】把多于 mn（m 乘以 n）个的物体放到 n 个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于 m+1 的物体