著名机构五年级数学暑假讲义第13讲.容斥原理.优秀A版

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1、1第 9级上 优秀 A 版教师版 第 13 讲 漫画释义漫画释义 四年级春季 排列组合初步 五年级暑假 枚举法进阶 五年级暑假 容斥原理 五年级秋季 排列组合进阶 五年级秋季 几何计数进阶 两量容斥原理，三量容斥原理，容斥原理中的最值问题 知识站牌知识站牌 第十三讲第十三讲 容斥原理容斥原理 2第 9级上优秀 A 版教师版 容斥，从字面上理解就是“包容”与“排斥” 。 为了计算几种物体的总个数，首先计算所有包容了的物体个数，但包含多了（出现重叠对象） ，又要 排斥某些物体，当排斥多了，又要包容若干物体，如此继续下去，最终就可以得到我们所要求 的物体个数。 容斥原理所体现的这种数学思想就是一种“

2、多退少补，逐步淘汰”的取舍思想。也许这样说比 较枯燥， 如果用图形和符号来研究这些问题就比较直观了， 那么我们就用图形和符号这两个 “拐杖” 来学习容斥原理，借用教育家苏荷姆林斯基的一句名言来说： “用直观来照亮我们认识的路途！ ” 1.熟练掌握熟练掌握两两量容斥原理并处理量容斥原理并处理两两量最值问题量最值问题； 2.会利用容斥原理处理三量重叠会利用容斥原理处理三量重叠 容斥原理容斥原理 容斥原理容斥原理I：两两量重叠问题量重叠问题 ABABAB (其中符号其中符号“” 读作读作“ 并并” ，相当于中文相当于中文“ 和和” 或者或者“ 或或” 的意思的意思；符号符号“” 读读 作作“ 交交”

3、 ，相当于中文相当于中文“ 且且“的意思的意思) 图示如下图示如下:A表示小圆部分表示小圆部分，B表示大圆部分表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分表示大圆与小圆的公共部分，记为记为：AB，即即 阴影面积阴影面积 容斥原理容斥原理II：三量重叠问题三量重叠问题 ABCABCABBCACABC 图示如下图示如下： 经典精讲经典精讲 教学目标教学目标 课堂引入课堂引入 1.先包含先包含AB 重叠部分重叠部分AB计算了计算了 2 次次，多加了多加了 1次次； 2.再排除再排除ABAB 把多加了把多加了 1 次的重叠部分次的重叠部分AB减去减去 3第 9级上 优秀 A 版教师版 第 13 讲 模块模

4、块 1：例例 1- 2，两量容斥及最值两量容斥及最值 模块模块 2：例例 3- 5，三量容斥三量容斥 对全班同学调查发现对全班同学调查发现，会游泳的有会游泳的有20人人，会打篮球的有会打篮球的有25人人两项都会的两项都会的有有10人人，两项都不两项都不 会的有会的有9人人这个班这个班一共有多少人一共有多少人？ ( (学案对应学案对应：学案学案1) ) 【分析分析】如图，用长方形表示全班人数，A圆表示会游泳的人数，B圆表示会打篮球的人数，长方 形中阴影部分表示两项都不会的人数 由图中可以看出， 全班人数至少会一项的人数两 项都不会的人数，至少会一项的人数为：20251035(人)，全班人数为：3

5、5944 (人) 想想练练想想练练：小明喜欢小明喜欢：踢足球踢足球、上网上网、游泳游泳、音乐音乐、语文语文、数学数学；小英喜欢小英喜欢：数学数学、英语英语、音乐音乐、 陶艺陶艺、 跳绳跳绳。 用圆用圆 A、 圆圆 B 分别表示小明分别表示小明、小英的爱好小英的爱好， 如图所示如图所示，则图中阴影部分表示则图中阴影部分表示_。 【分析分析】阴影部分是两人都爱好的：数学、音乐 CAB AC B BA C 会会 打打 篮篮 球球 的的 会会 游游 泳泳 的的 两两 项项 都都 会会 的的 两项都不会的两项都不会的 B A B A 例 1 例题思路例题思路 图中小圆表示图中小圆表示A的元素的个数的元素

6、的个数，中圆表示中圆表示B的元素的个数的元素的个数， 大圆表示大圆表示C的元素的个数的元素的个数 1先包含先包含 ABC 重叠部分重叠部分AB、BC、CA重叠了重叠了 2次次，多加了多加了 1 次次 2再排除再排除 ABCABBCAC 重叠部分重叠部分 ABC 重叠了重叠了 3 次次，但是在进行但是在进行 ABCABBCAC 计算时都被减掉计算时都被减掉了 3再包含再包含 ABCABBCACABC 4第 9级上优秀 A 版教师版 【铺垫铺垫】四四（1）班全体同学站成一排班全体同学站成一排，当从左向右报数时当从左向右报数时，小华报小华报：18；当从右向左报数时当从右向左报数时，小华小华 报报：1

7、3. .那么该班有学生那么该班有学生_名名. 【分析分析】30名 【铺垫铺垫】 实验小学四年级二班实验小学四年级二班， 参加语文兴趣小组的有参加语文兴趣小组的有28人人， 参加数学兴趣小组的有参加数学兴趣小组的有29人人， 有有12人人 两个小组都参加两个小组都参加这个班有这个班有_人参加了语文或数学兴趣小组人参加了语文或数学兴趣小组. 【分析分析】28291245(人) 【铺垫铺垫】芳草地小学四年级有芳草地小学四年级有58人学钢琴人学钢琴，43人学画画人学画画，37人既学钢琴又学画画人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和问只学钢琴和 只学画画的分别有多少人只学画画的分别有多少人？ 【分析分析】解包

8、含与排除题，画图是一种很直观、简捷的方法，可以帮助解决问题，画图时注意把不 同的对象与不同的区域对应清楚建议教师帮助学生画图分析，清楚的分析每一部分的含 义 如图，A圆表示学画画的人，B圆表示学钢琴的人，C表示既学钢琴又学画画的人， 图中A 圆不含阴影的部分表示只学画画的人，有：43376(人)，图中B圆不含阴影的部分表示 只学钢琴的人，有：583721(人) 【巩固巩固】 四四(二二)班有班有48名学生名学生， 在一节自习课上在一节自习课上， 写完语文作业的有写完语文作业的有30人人， 写完数学作业的有写完数学作业的有20人人， 语文数学都没写完的有语文数学都没写完的有6人人 问语文数学都写

9、完的有多少人问语文数学都写完的有多少人？ 只写完语文作业的有多少人只写完语文作业的有多少人？ 【分析分析】 由题意，有48642 (人)至少完成了一科作业，根据容斥原理，两科作业都完成的学 生有：3020428(人) 只写完语文作业的人数写完语文作业的人数- 语文数学都写完的人数，即30822 (人) ( (学生版只有前三问学生版只有前三问) ) ( (1) )有有 100 种种食品食品. .其中含钙的有其中含钙的有 68 种种，含铁的有含铁的有 43 种种，那么那么，同时含钙和铁的食品种类的最大值同时含钙和铁的食品种类的最大值 和最小值分别是和最小值分别是_、_._. ( (2) )某班共有

10、学生某班共有学生 48 人人，其中其中 27 人会游泳人会游泳，33 人会骑自行车人会骑自行车，40 人会打乒乓球人会打乒乓球那么那么，这个班三这个班三 项运动都会的人数的最项运动都会的人数的最大值和最小值分别是大值和最小值分别是_、_._. (3) )某班有某班有 46 人人，其中有其中有 40 人会骑自行车人会骑自行车，38 人会打乒乓球人会打乒乓球，35 人会打羽毛球人会打羽毛球，27 人会游泳人会游泳，那那 么么，这个班四项运动都会的人数的最这个班四项运动都会的人数的最大值和最小值分别是大值和最小值分别是_、_._. ( (4) )在阳光明媚的一天下午在阳光明媚的一天下午，甲甲、乙乙、

11、丙丙、丁四人给丁四人给100 盆花浇水盆花浇水，已知甲浇了已知甲浇了 30 盆盆，乙浇了乙浇了 75 盆盆，丙浇了丙浇了 80 盆盆，丁浇了丁浇了 90 盆盆，那么那么，恰好被恰好被 3 个人浇过的花最少有个人浇过的花最少有_盆盆. . C B A CB A 例 2 ( (5) )60 人中有人中有 2 3 的人会打乒乓球的人会打乒乓球 人人，那么那么，这三项运动都不会的最多有这三项运动都不会的最多有 ( (6) ) 甲甲、乙乙、丙都在读同丙都在读同- -一本故事书一本故事书 后读后读已知甲读了已知甲读了 75 个故事个故事，乙读了乙读了 过的故事最少有过的故事最少有_个个. . 【分析分析】

12、最大值不能超过几类中的最小值 (1) 最大值就是含铁的有 最小值可以用下图表示 (2)最大值为 27.三项都会的最少 项剩下的就是三项都会的最小值 (3)同上分析：最大值为 (4) 为了恰好被 3 个人浇过的花盆数量最少 一个人浇过的花数量都要尽量多 那么接下来就变成乙浇了 我们要让这 70 盆中恰好被 浇过的花最少有45506014015 (5) 234 6040;6045;6048 345 会两项的就应该最多 两项或 1 项运动都不会的最多有 (6)考虑甲乙两人情况 75- 35=40 个，乙单独读过的为 丙读过的书尽量分散在某端 11 铁 钙 68 100 第 9 级上 优秀 A 第 1

13、3 的人会打乒乓球的人会打乒乓球， 3 4 的人会打羽毛球的人会打羽毛球， 4 5 的人会打排球的人会打排球，这三项运动都会的人有这三项运动都会的人有 这三项运动都不会的最多有这三项运动都不会的最多有_人人. . 一本故事书一本故事书，书中有书中有 100 个故事个故事每个人都从某一个故事开始每个人都从某一个故事开始 乙读了乙读了 60 个故事个故事，丙读了丙读了 52 个故事个故事那么那么，甲甲 最大值不能超过几类中的最小值；而求最小值，则应该让次数平均分配 最大值就是含铁的有 43 种.根据容斥原理最小值 68+43- 100=11， 最小值可以用下图表示： 三项都会的最少，那么两项都会的

14、应该最多因此可以先让所有人都会两 剩下的就是三项都会的最小值27+33+40- 482=4 最大值为 27，最小值为 40+38+35+27- 463=140- 138=2 个人浇过的花盆数量最少，那么被四个人浇过的花、 一个人浇过的花数量都要尽量多，那么应该可以知道被四个人浇过的花数量最多是 那么接下来就变成乙浇了 45 盆， 丙浇了 50 盆， 丁浇了 60 盆， 这时共有 盆中恰好被 3个人浇过的花最少，这就是简单的容斥原理了 45506014015盆 234 6040;6045;6048 345 .此题中有 22 人三项全会，要让都不会的最多 (40+45+48-223)2=331因此

15、除了 22 人外 都不会的最多有 60-22-34=4 人 ，有甲乙都读过的最少为：75+60- 100=35 个，此时甲单独读过的为 乙单独读过的为 60- 35=25 个；欲使甲、乙、丙三人都读过的书最少时 丙读过的书尽量分散在某端，于是三者都读过书最少为 52- 40=12 个 32 100 5 A版 教师版 13 讲 这三项运动都会的人有这三项运动都会的人有 22 每个人都从某一个故事开始每个人都从某一个故事开始，按顺序往按顺序往 甲甲、乙乙、丙丙 3 人共同读人共同读 则应该让次数平均分配 因此可以先让所有人都会两 2人 、两个人浇过的花和 那么应该可以知道被四个人浇过的花数量最多是

16、 30 盆， 这时共有1003070盆花， 这就是简单的容斥原理了， 恰好被 3 个人 要让都不会的最多，那么 人外，至少还有 34 人会 此时甲单独读过的为 丙三人都读过的书最少时，应将 6第 9级上优秀 A 版教师版 如图如图，三角形纸板三角形纸板、正方形纸板正方形纸板、圆形纸板的面积相等圆形纸板的面积相等，都等于都等于 60 平方厘米平方厘米阴影部分的面积总和阴影部分的面积总和 是是 40 平方厘米平方厘米，3张板盖住的总面积是张板盖住的总面积是 100 平方厘米平方厘米，3 张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？ ( (学案对应学案对应：学案学案2) )

17、 【分析分析】阴影部分是有两块重叠的部分，被计算两次，而三张纸重叠部分是被计算了三次所以三 张纸重叠部分的面积60310040220 （）(平方厘米) 【铺垫铺垫】如如图图，一张长一张长8厘米厘米，宽宽6厘米厘米，另一个正方形边长为另一个正方形边长为6厘米厘米，它们中间重叠的部分是一个它们中间重叠的部分是一个 边长为边长为4厘米的正方形厘米的正方形，求这个组合图形的面积求这个组合图形的面积 【分析分析】两个图形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)， 重叠部分恰好是边长为4厘米的正方 6 4 6 8 例 3 棣莫弗的棣莫弗的传奇传奇 容斥原理有一个有趣的历史，该原理最早的数学表述是有法国数学

18、家棣莫弗在他关于概 率论的教材机会的学说中提出的。棣莫弗 1667 年 5 月 26 日生于法国维特里的弗朗 索瓦的一个乡村医生之家，其父一生勤俭，以行医所得勉强维持家人温饱棣莫弗自幼接受 父亲的教育，稍大后进入当地一所天主教学校念书，这所学校宗教气氛不浓，学生们得以在 一种轻松、自由的环境中学习，这对他的性格产生了重大影响随后，他离开农村，进入色 拉的一所清教徒学院继续求学，这里却戒律森严，令人窒息，学校要求学生宣誓效忠教会， 棣莫弗拒绝服从，于是受到了严厉制裁，被罚背诵各种宗教教义那时，学校不重视数学教 育，但棣莫弗常常偷偷地学习数学在早期所学的数学著作中，他最感兴趣的是惠更斯关于 赌博的

19、著作，特别是惠更斯于 1657 年出版的论赌博中的机会一书，启发了他的灵感写出 了代表作机会的学说 。 然而尽管棣莫弗在学术研究方面颇有成就，但却贫困潦倒 自从到了英国伦敦直至晚年， 他一直做数学方面的家庭教师棣莫弗在 87 岁时患上了嗜眠症，每天睡觉长达 20 小时。当 达到 24 小时长睡不起时，他便在贫寒中离开了人世 关于棣莫弗的死有一个颇具数学色彩的神奇传说：在临终前若干天，棣莫弗发现，他每 天需要比前一天多睡 1/4 小时，那么各天睡眠时间将构成一个算术级数，当此算术级数达到 24 小时时，棣莫弗就长眠不醒了. 7第 9级上 优秀 A 版教师版 第 13 讲 形，如果利用长方形和正方

20、形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在长方形 和正方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了所以，组合图 形的面积长方形面积正方形面积重叠部分 于是，组合图形的面积： 86664468 (平方厘米) 【铺垫铺垫】两张长两张长4厘米厘米，宽宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状厘米的长方形纸摆放成如图所示形状把它放在桌面上把它放在桌面上，覆盖面积有覆盖面积有 多少平方厘米多少平方厘米？ 【分析分析】两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)， 重叠部分恰好是边长为2厘米的正 方形，如果利用两个42的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两 个长方形

21、面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了所以，被覆盖 面积长方形面积之和- 重叠部分于是，被覆盖面积4222212 (平方厘米) 五五( (1) )班的全体学生进行了短跑班的全体学生进行了短跑、游泳游泳、篮球三个项目的测试篮球三个项目的测试，有有 4名学生在这三个项目上都没有达名学生在这三个项目上都没有达 到优秀到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目和人数如下表这部分学生达到优秀的项目和人数如下表： 短跑短跑游泳游泳篮球篮球短跑短跑 游泳游泳 游泳游泳 篮球篮球 篮球篮球 短跑短跑 短跑短跑 游泳游泳 篮球篮球 17 人人

22、18 人人15 人人6 人人6人人6 人人2人人 求全班人数求全班人数. ( (学案对应学案对应：学案学案3) ) 【分析分析】此题为容斥原理的直接应用.代入公式得可知共有 17+18+15- 6-6- 6+2=34 人得优秀.但还有 4 人不得优秀，因此全班共有 34+4=38 人 【巩固巩固】 盛夏的一天盛夏的一天， 有有 10 个同学去冷饮店个同学去冷饮店， 向服务员交了一份需要冷饮的统计表向服务员交了一份需要冷饮的统计表： 要可乐要可乐、 雪碧雪碧、 橙汁的各有橙汁的各有 5 人人；可乐可乐、雪碧都要的有雪碧都要的有 3 人人；可乐可乐、橙汁都要的有橙汁都要的有 2 人人；雪碧雪碧、橙

23、汁都要的有橙汁都要的有 2 人人； 三样都要的只有三样都要的只有 1 人人，证明其中一定有证明其中一定有 1 人这三种饮料都没有要人这三种饮料都没有要 【分析分析】根据容斥原理，至少要了一种饮料的人数(要可乐的人数要雪碧的人数要橙汁的人数) (要可乐、 雪碧的人数要可乐、 橙汁的人数要雪碧、 橙汁的人数)三种都要的人数， 即至少要了一种饮料的人数为：55532219 （）（）(人)1091 (人)，所以其 中有 1 人这三种饮料都没有要 想想练练想想练练：在某个风和日丽的日子在某个风和日丽的日子，10 个同学相约去野餐个同学相约去野餐，每个人都带了吃的每个人都带了吃的，其中其中 6个人带了汉个

24、人带了汉 堡堡，6 个人带了鸡腿个人带了鸡腿，4 个人带了蛋糕个人带了蛋糕，有有 3 个人既带了汉堡又带了鸡腿个人既带了汉堡又带了鸡腿，1个人既带了鸡腿又带了个人既带了鸡腿又带了 蛋糕蛋糕2 个人既带了汉堡又带了蛋糕个人既带了汉堡又带了蛋糕问问： 三种都带了的有几人三种都带了的有几人？ 只带了一种的有几个只带了一种的有几个？ 图图 2厘米厘米 4 厘厘 米米 例 4 8第 9级上优秀 A 版教师版 【分析分析】如图，用A圆表示带汉堡的人，B圆表示带鸡腿的人，C圆表示带芝士蛋糕的人 根据包含排除法， 总人数（带汉堡的人数带鸡腿的人数带蛋糕的人数）（带汉堡、 鸡腿的人数带汉堡、蛋糕的人数带鸡腿、蛋

25、糕的人数）三种都带了的人数，即 10664321 （）（）三种都带了的人数， 得三种都带了的人数为：10100(人) 求只带一种的人数，只需从 10 人中减去带了两种的人数，即103214 （）(人)只 带了一种的有 4 人 50 名同学面向老师站成一行名同学面向老师站成一行， 老师先让大家从左至右按老师先让大家从左至右按 1, ,2, ,3， 49, ,50 依次报数依次报数；先让报数是先让报数是5的的 倍数的同学向后转倍数的同学向后转，再让报数是再让报数是 4 的倍数的同学向后转的倍数的同学向后转，接着又让报数是接着又让报数是 6的倍数的同学向后转的倍数的同学向后转， 这时面向老师的同学还

26、有这时面向老师的同学还有_名名. . ( (学案对应学案对应：学案学案4) ) 【分析分析】 50 12 4 ； 50 8 6 ； 50 10 5 ； 50 4 12 ； 50 2 20 ； 50 1 30 ； 50 0 60 ； 最后还面向老师的有两种：转且只转过两次的以及没有转过的 转且只转过两次的有：4217 个； 转过的有：1281042123 个； 则没有转过的有：27 个 所以最后还面向老师的有：27734 个； 想想练练想想练练：写有写有 1 到到 100 编号的灯编号的灯 100 盏盏，亮着排成一排亮着排成一排，每一次把编号是每一次把编号是 3 的倍数的灯拉一次开的倍数的灯拉一

27、次开 关关，第二次把编号是第二次把编号是 5 的倍数的灯拉一次开关的倍数的灯拉一次开关，那么亮着的灯还有多少盏那么亮着的灯还有多少盏？ 【分析分析】如图，拉 0 次的亮，拉 1 次的灭，拉 2 次的亮，可见亮灯分两部分，拉 0 次部分为： 100100100 100()53 3515 盏，拉 2 次的灯为 100 6 15 盏从而亮灯数 53+6=59 盏 3的倍数 5的倍数 亮 亮 灭 灭 B A C 例 5 9第 9级上 优秀 A 版教师版 第 13 讲 体育课上体育课上，60 名学生面向老师站成一行名学生面向老师站成一行，按老师口令按老师口令，从左到右报数从左到右报数：1，2，3，60，

28、然后然后， 老师让所报的数是老师让所报的数是 4的倍数的同学向后转的倍数的同学向后转，接着又让所报的数是接着又让所报的数是 5的倍数的同学向后转的倍数的同学向后转，最后让所最后让所 报的数是报的数是 6 的倍数的同学向后转的倍数的同学向后转，现在面向老师的学生有现在面向老师的学生有_人人 【分析分析】面向老师的学生就是向后转 2 次或转 0 次的学生，如图A圆圈表示 4 的倍数的个数，B圆 圈表示 5 的倍数的个数，C圆圈表示 6 的倍数的个数，D、E、F部分表示向后转两次的 学生个数，G部分表示向后转 3 次学生的个数，4,520，4,612，5,630， 4,5,660，60415 ，60

29、512 ，60610 ，60203，60125，60302， 60601，所以向后转两次学生的个数为3521 37 （人） ，根据容斥原理求得向 后转 1 次，2 次，3 次学生共有151210352128 （人） ，所以向后转 0 次的学生 有602832（人） ，所以最后面向老师的学生有32739 (人) G F E D C B A 杯赛提高杯赛提高 消失的一块钱消失的一块钱 有 3 个人去投宿,一晚30 元.三个人每人掏了 10 元凑够30 元交给了老板.后来老板说今天 优惠只要 25 元就够了, 拿出 5 元让服务生退还给他们，服务生偷偷藏起了 2 元,然后,把剩下 的 3 元钱分给了

30、那三个人,每人分到 1 元.这样， 一开始每人掏了 10 元,现在又退回 1 元,也就是 10- 1=9,每人只花了 9 元钱，3 个人每人 9 元，39 =27 元，再加服务生藏起的2 元共 29 元， 还有 1 元钱去了那里？ 答案：这道题用了人的一种思维盲点，这种逻辑算法是本身错误的。你可以这样想的，开始 的时候那 30 块钱都被老板拿走了，这样每个人都花了 10 块钱。当老板发现打折后，他给了 服务员 5 块钱，这样现在老板就有 25，服务员有5 块。当服务员拿出 2块钱，给那三个人每 人 1 块后，这 30 块钱就变成 3 部分，老板 25，服务员 2 块，那三个人一共 3 块。现在

31、这三 个人的确是每人花了 9 块，一共27 块，可是这 27 块不正是老板和服务员手中钱的总数吗， 所以应该是他们花的那 27 块钱和他们手中有的那 3块构成了那 30 块钱。 10第 9级上优秀 A 版教师版 容斥原理容斥原理I：两两量重叠问题量重叠问题 ABABAB 容斥原理容斥原理II：三量重叠问题三量重叠问题 ABCABCABBCACABC 1.某班共有某班共有46人人，参加美术小组的有参加美术小组的有12人人，参加音乐小组的有参加音乐小组的有23人人，有有5人两个小组都参人两个小组都参 加了加了这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有

32、多少人？ 【分析分析】已知全班总人数，从反面思考，找出参加美术或音乐小组的人数，只需用全班总人数减去 这个人数，就得到既没参加美术小组也没参加音乐小组的人数根据容斥原理知，该班至 少参加了一个小组的总人数为1223530 (人)所以，该班未参加美术或音乐小组的人 数是463016(人) 2.四四（1）班有班有 46 人人，其中会弹钢琴的有其中会弹钢琴的有 30 人人，会拉小提琴的有会拉小提琴的有 28 人人，则这个班既会弹钢则这个班既会弹钢 琴又会拉小提琴的至少有琴又会拉小提琴的至少有人人。 【分析分析】至少一项不会的最多有(46- 30)+(46- 28)=34,那么两项都会的至少有 46-

33、 34=12 人 3.一个长方形长一个长方形长12厘米厘米，宽宽8厘米厘米，另一个长方形长另一个长方形长10厘米厘米，宽宽6厘米厘米，它们中间重叠的部它们中间重叠的部 分是一个边长分是一个边长4厘米的正方形厘米的正方形，求这个组合图形的面积求这个组合图形的面积 【分析分析】两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)， 重叠部分恰好是边长为4厘米的正 方形，如果利用两个长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方 形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了所以，组合图形的面 积长方形面积之和重叠部分于是，组合图形的面积12810644140 (平方 厘米)

34、 4.五年级课外活动有体育五年级课外活动有体育、 音乐音乐、书法三个小组书法三个小组， 参加的人数分别是参加的人数分别是 54 人人、46 人人、36 人人同同 时参加体育小组和音乐小组的有时参加体育小组和音乐小组的有 4 人人，同时参加体育小组和书法小组的有同时参加体育小组和书法小组的有 7 人人，同时参加同时参加 音乐小组和书法小组的有音乐小组和书法小组的有 10 人人，三组都参加的有三组都参加的有 2 人人五年级参加课外活动的一共有多五年级参加课外活动的一共有多 少人少人？ 【分析分析】根据容斥原理，参加课外活动的共有：54463647102117 （人） 10 6 4 8 12 家庭作

35、业家庭作业 知识点总结知识点总结 11第 9级上 优秀 A 版教师版 第 13 讲 5.50 名同学面向老师站成一行名同学面向老师站成一行，老师先让大家从左至右按老师先让大家从左至右按 1, ,2, ,3，49, ,50 依次报数依次报数；先让先让 报数是报数是 3 的倍数的同学向后转的倍数的同学向后转，再让报数是再让报数是 4 的倍数的同学向后转的倍数的同学向后转，这时面向老师的同学这时面向老师的同学 还有还有_名名. . 【分析分析】面向老师的同学包含没转过的，还有转过 2 次的转过 2 次的共有 50 4 12 人没转过的 共有 5050 50(4)26 34 人面向老师的同学还有 26

36、+4=30 人. 6.养牛场有养牛场有 2007头黄牛和水牛头黄牛和水牛，其中母牛其中母牛 1105 头头，黄牛黄牛 1506头头，公水牛公水牛 200 头头，那么母黄那么母黄 牛有牛有头头。 【分析分析】公牛有 2007- 1105=902 头，公黄牛有902- 200=702 头，母黄牛有1506- 702=804 头 【学案学案 1】如图如图，圆圆 A 表示表示 1 到到 50 这这 50 个自然数中能被个自然数中能被 3 整除的数整除的数，圆圆 B 表示这表示这 50 个数中能被个数中能被 5 整除的数整除的数，则阴影部分表示的数是则阴影部分表示的数是。 【分析分析】阴影部分是 A 和

37、 B 共有的， 即 1 到 50 这 50 个自然数中能被 3 5=15 整除的数， 即 15， 30， 45. 【学案学案 2】如图所示如图所示，A、B、C分别是面积为分别是面积为 12、28、16 的三张不同形状的纸片的三张不同形状的纸片，它们重叠在一它们重叠在一 起起，露在外面的总面积为露在外面的总面积为 38若若A与与B、B与与C的公共部分的面积分别为的公共部分的面积分别为 8、7，A、B、C这三这三 张纸片的公共部分为张纸片的公共部分为 3求求A与与C公共部分的面积是多少公共部分的面积是多少？ 【分析分析】设A与C公共部分的面积为x，由包含与排除原理可得： 先“ 包含” ：把图形A、

38、B、C的面积相加：12281656，那么每两个图形的公共 部分的面积都重复计算了1次，因此要排除掉 再“ 排除” ：5687x ，这样一来，三个图形的公共部分被全部减掉，因此还要再补 回 再“ 包含” ：56873x ，这就是三张纸片覆盖的面积 根据上面的分析得：5687338x ，解得：6x 【学案学案 3】 五年级三班学生参加课外兴趣小组五年级三班学生参加课外兴趣小组， 每人至少参加一项每人至少参加一项 其中有其中有 25 人参加自然兴趣小组人参加自然兴趣小组， 35 人参加美术兴趣小组人参加美术兴趣小组，27 人参加语文兴趣小组人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有参加语

39、文同时又参加美术兴趣小组的有12 人人， B A A B C A 版学案版学案 12第 9级上优秀 A 版教师版 参加自然同时又参加美术兴趣小组的有参加自然同时又参加美术兴趣小组的有 8 人人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有参加自然同时又参加语文兴趣小组的有 9 人人，语文语文、 美术美术、自然自然 3 科兴趣小组都参加的有科兴趣小组都参加的有 4 人人求这个班的学生人数求这个班的学生人数 【分析分析】这个班中至少参加一项活动的人有 25+35+27- 12- 8- 9+4=62， 而这个班每人至少参加一项 即 这个班有 62 人 【学案学案 4】50 名同学面向老师站成一行名同学面向老师

40、站成一行老师先让大家从左至右按老师先让大家从左至右按 1，2，3，49，50 依次报数依次报数； 再让报数是再让报数是 4 的倍数的同学向后转的倍数的同学向后转，接着又让报数是接着又让报数是 6 的倍数的同学向后转的倍数的同学向后转问问：现在面向老师的现在面向老师的 同学还有多少名同学还有多少名? 【分析分析】在转过两次后，面向老师的同学分成两类： 第一类是报数既不是 4 的倍数，又不是 6 的倍数；第二类是报数既是 4 的倍数又是 6 的倍 数 150之间，4的倍数有=12,6的倍数有=8，即是4的倍数又是6的倍数 的数一定是12的倍数，所以有=4于是，第一类同学有50-12-8+4=34人，第 二类同学有4人，所以现在共有34+4=38名同学面向老师 C语文 B美术A自然 50 4 50 6 50 12