著名机构五年级数学暑假讲义第14讲.必胜策略.超常体系

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1、1第 9级上 超常体系教师版 第 14 讲 四年级春季 操作类智巧趣题 五年级暑假 棋盘中的数学 五年级暑假 必胜策略 五年级秋季 神奇的 9 五年级春季 从反面情况考虑 拿火柴（包括质数类） ，石子，划方格等游戏中的必胜策略； 对称思想 知识站牌知识站牌 漫画释义漫画释义 第十四讲第十四讲 必胜策略必胜策略 2第 9级上超常体系 教师版 我国古代有一个“田忌赛马”的故事；齐王经常要求将军田忌和他赛马。规定各从自己的马中 选上等马、中等马、下等马各一匹，进行三场比赛，每场各出一匹马。每胜一场可得一千金。田忌 的这三个等级的马都不如齐王的好。但田忌的上等马要优于齐王的中等马，田忌的中等马要优于齐

2、 王的下等马。田忌的朋友孙膑给他出了一个主意，叫田忌用下等马对齐王的上等马，上等马对齐王 的中等马，中等马对齐王的下等马。结果，田忌先负一场然后连胜两场，反而赢了一千金。这个故 事是对策的一个典型例子。他告诉我们：在竞争时，要认真分析研究、寻求并制定尽可能好的方案。 利用它取得尽可能大的胜利，或在胜利无望的时候，也不至于输得太惨。这种思想在 20 世纪形成了 对策论这门新兴学科。今天我们将研究游戏中的必胜策略。 1.掌握对策问题寻找胜局的方法掌握对策问题寻找胜局的方法； 2.利用数论的知识解决相关的对策问题利用数论的知识解决相关的对策问题 小学数学中的对策问题小学数学中的对策问题，主要是研究在

3、两人的游戏过程中如何使自己取胜的策略问题主要是研究在两人的游戏过程中如何使自己取胜的策略问题对策问对策问 题研究的是一个题研究的是一个“ 活的活的” 对手对手，因而在考虑问题时往往需要设想对手可能采取的各种方案因而在考虑问题时往往需要设想对手可能采取的各种方案，并使己方并使己方 的策略能在对手所采取的各种可能的方案中都占据有利的局面的策略能在对手所采取的各种可能的方案中都占据有利的局面这种局面称作这种局面称作“ 胜局胜局” ，那么在一种那么在一种 游戏规则下游戏规则下，是否存在是否存在“ 胜局胜局” ？怎样找寻胜局和如何把握胜局就成了研究对策问题的关键怎样找寻胜局和如何把握胜局就成了研究对策问

4、题的关键概括起概括起 来来，我们把用数学的观点和方法来研究取胜的策略叫做对策问题我们把用数学的观点和方法来研究取胜的策略叫做对策问题 对策问题的对策问题的 3个最基本要素个最基本要素： 局中人局中人，在一场竞赛或在一场竞赛或争斗中的参与者争斗中的参与者他们为了在对策中取得最终胜利他们为了在对策中取得最终胜利，必须制定出对付必须制定出对付 对手的行动计划对手的行动计划，这种有决策权的参加者称为局中人这种有决策权的参加者称为局中人局中人并不是特指某一个人局中人并不是特指某一个人，而是指参加竞而是指参加竞 争的各个阵营争的各个阵营只有两个局中人的对策问题为只有两个局中人的对策问题为“双人对策双人对策

5、”，而多于两个局中人的对策问题为而多于两个局中人的对策问题为“多人对多人对 策策” 策略策略，是指某一局中人的一个是指某一局中人的一个“自始至终通盘筹划自始至终通盘筹划”的可行方案的可行方案，在一局对策中在一局对策中，各个局中人各个局中人 可以有一个策略可以有一个策略，也可以有多个策略也可以有多个策略 一局对策的得失一局对策的得失在一局对策中在一局对策中，必有胜利者和失败者必有胜利者和失败者比赛成绩的好坏比赛成绩的好坏，我们称之为我们称之为“得得 失失”每个局中人在一局对策中的得失与全体局中人所采取的策略的优劣有每个局中人在一局对策中的得失与全体局中人所采取的策略的优劣有着直接的关系着直接的关

6、系 经典精讲经典精讲 课堂引入课堂引入 教学目标教学目标 3第 9级上 超常体系教师版 第 14 讲 模块模块 1：例例 1- 3:奇偶性奇偶性 模块模块 2：例例 4- 5：整除性整除性 模块模块 3：例例 6- 8：因倍质合因倍质合 桌子上放着桌子上放着 55 根火柴根火柴，巍巍巍巍、涛涛二人轮流取涛涛二人轮流取，每次可取走每次可取走 1 根根、3根或根或 5 根根，规定谁取走最后一规定谁取走最后一 根火柴谁获胜根火柴谁获胜如果双方都采用最佳方法如果双方都采用最佳方法，巍巍先取巍巍先取，那么谁将获胜那么谁将获胜？ 【分析分析】法 1：抓不变量，巍巍每次都能保证二人每轮都拿走 6 根，于是

7、556=91，所以先取 1 根，接下来对方取 a根，巍巍就取 6-a根即可；(复习之前的凑数法，之后老师可讲解法 2) 法 2（重点） ：奇偶性，显然，每次只能取走奇数根，55 只能是奇数个奇数的和，于是巍巍 胜。 【铺垫铺垫】有有 2012个石子个石子，甲先乙后轮流去取石子甲先乙后轮流去取石子，每次可取每次可取 1 10 个个，规定谁取走最后一个石子谁规定谁取走最后一个石子谁 获胜获胜，如果双方都采用最佳方法如果双方都采用最佳方法，那么谁将获胜那么谁将获胜？ 【分析分析】每次可以和对方凑 11。20121110，甲可以先取走 10 个，之后乙拿走 n 个，甲就拿 走 11-n个。每次甲拿完都

8、是 11的倍数。最终甲胜。 桌子上放着桌子上放着 55 根火柴根火柴，巍巍巍巍、涛涛二人轮流取涛涛二人轮流取，每次可取走每次可取走 1 根根、3根或根或 7 根根，规定谁取走最后一规定谁取走最后一 根火柴谁获胜根火柴谁获胜如果双方都采用最佳方法如果双方都采用最佳方法，巍巍先取巍巍先取，那么谁将获胜那么谁将获胜？ (学案对应学案对应：带号带号 1) 【分析分析】显然，每次只能取走奇数根，55 只能是奇数个奇数的和，于是巍巍胜。 右图是一个右图是一个46的方格棋盘的方格棋盘，左上角有一枚棋子左上角有一枚棋子甲先乙后甲先乙后，二人轮流走这枚棋子二人轮流走这枚棋子，每人每次只能每人每次只能 向下向下，

9、向右或向右下走一格向右或向右下走一格如图中棋子可以走入如图中棋子可以走入A、B、C三格之一三格之一，谁将棋子走入右下角方格谁将棋子走入右下角方格 中谁获胜中谁获胜如果都按最佳方法走如果都按最佳方法走，那么谁将获胜那么谁将获胜？有什么必胜的策略有什么必胜的策略？ (学案对应学案对应：超常超常 1) A CB 3 44 4 66 56 12 22 34 44 56 66A CB 例题思路例题思路 例 3 例 2 例 1 4第 9级上超常体系 教师版 【分析分析】法 1:（奇偶，重点）甲先走到B 处，还需向下走 4格，向右走 2 格，都是偶数，接下来甲 保证每次走之后向下和向右都是偶数格，就行了，甲

10、必胜 法 2:（倒推法，选讲）要想最后一步走到右下角的方格 1 中，必须让对方倒数第二步走入 方格 1 周围的三个方格 2 中若想达到此目的，倒数第三步必须走到两个标“3”的方格中； 倒数第四步必须让对方走到两个方格 3 附近的 6 个方格 4 中； 倒数第五步则必须走到标“5” 的方格中；依次类推，倒数第六步必须让对方走到标“6”的方格中；倒数第七步必须走到 方格B中而棋子可一步走到方格B中，因此先走的甲有必胜的策略：甲第一步先走入方 格B中，若乙走入方格 6 中，则甲第二步走入方格 5 中；若乙走入方格4 中，则甲第二步 走入方格3中 下一步乙只能走入方格4或方格 2中， 甲第三步就走入方

11、格3或方格 1中 甲 走入方格 1 中即获胜；若甲走入方格3 中，乙只能走入方格 2 中，甲第四步走入方格 1 中 获胜因此，甲就必胜 甲甲、乙两人玩数字游戏乙两人玩数字游戏，他们他们按甲先乙后的顺序按甲先乙后的顺序轮流在轮流在 “”的的任一任一方框里填方框里填 19 中的中的 一个数字一个数字(数字可重复数字可重复)。规则是规则是：填完的六位数如果是填完的六位数如果是 N 的倍数的倍数，则则乙乙获胜获胜，否则甲获胜否则甲获胜问问：当当 N 为为 1 到到 15 中的哪些自然数时中的哪些自然数时，甲能获胜甲能获胜？ (学案对应学案对应：超常超常 2，带号带号 2) 【分析分析】N=1,乙胜.

12、N=2,4,6,8,10,12,14 时，甲胜，甲只要在个位填奇数即可 例 4 博弈论中诺贝尔奖博弈论中诺贝尔奖 从 1994 年诺贝尔经济学奖授予3 位博弈论专家开始， 之后共有 5 届的诺贝尔经济学奖与博 弈论的研究有关，分别为： 1994 年，授予美国伯克利加利福尼亚大学的约翰海萨尼（J.Harsanyi） 、普林斯顿大学约 翰纳什（J.Nash）和德国波恩大学的赖因哈德泽尔滕（Reinhard Selten） 。 1996 年，授予英国剑桥大学的詹姆斯莫里斯（James A. Mirrlees）与美国哥伦比亚大学 的威廉维克瑞（William Vickrey） 。 2001年，授予美国

13、伯克利加利福尼亚大学的乔治阿克尔洛夫（George A. Akerlof ）生于 1940年、美国斯坦福大学的迈克尔斯宾塞（A. Michael Spence ）和美国纽约哥伦比亚大 学的约瑟夫斯蒂格利茨（Joseph E. Stiglitz） 。 2005年，授予美国马里兰大学的托马斯克罗姆比谢林(Thomas Crombie Schelling)和耶路 撒冷希伯来大学的罗伯特约翰奥曼(Robert John Aumann） 。 2007 年，授予美国明尼苏达大学的里奥尼德赫维茨（Leonid Hurwicz） 、美国普林斯顿大 学的埃里克马斯金(Eric S. Maskin）以及美国芝加哥

14、大学的罗杰迈尔森(Roger B. Myerson） 。 2012 年，授予美国经济学家埃尔文罗斯（Alvin E. Roth）与罗伊德沙普利因（Lloyd S. Shapley） 。 作为一门工具学科能够在经济学中如此广泛运用并得到学界垂青实为罕见。 5第 9级上 超常体系教师版 第 14 讲 N=3,9时，乙胜，乙可以在最后一个数字控制是否为 3 或 9 的倍数 N=5，15 时，甲胜，只要个位不填 5 即可 N=7， 11， 13 时， 乙胜， 乙可以根据甲的填法， 填出abcabc形式的数 (11 时， 也可填出aabbcc) 【巩固巩固】甲甲、乙两人玩数字游戏乙两人玩数字游戏，甲先乙

15、后甲先乙后，他们轮流用他们轮流用 19 中任一数字中任一数字（数字可重复使用数字可重复使用）代表代表 五位数五位数ABCDE中的一个中的一个，如果最后这个五位数能被如果最后这个五位数能被 4 整除整除，则甲胜则甲胜，如果不能被如果不能被 4 整除整除，则乙胜则乙胜， 谁有必胜策略谁有必胜策略？ 【分析分析】甲一上来必填 E，否则乙在 E 填 1，肯定不是 4 的倍数，于是甲需要在 E 填一偶数，如果 填 2 或 6，乙在 D 处填 2，肯定不是 4 的倍数；如果填 4 或 8，乙在 D 处填1 就可，所以 乙有必胜策略。 如下图如下图，将将 2008个方格排成一行个方格排成一行，在最左边的方格

16、中放有一枚棋子在最左边的方格中放有一枚棋子，甲甲、乙二人交替地移动这枚棋乙二人交替地移动这枚棋 子子，甲先乙后甲先乙后，每人每次可将棋子向右移动若干格每人每次可将棋子向右移动若干格，但移动的格数不能是合数但移动的格数不能是合数，将棋子移到最右将棋子移到最右边边 格子的人获胜格子的人获胜如果甲先移如果甲先移，甲是否有制胜的策略甲是否有制胜的策略？ 2008200765432 (学案对应学案对应：超常超常 3，带号带号 3) 【分析分析】由于每人每次移动的格数都不能是合数，所以移动的格数有以下情况：1；唯一的偶质 数 2；奇质数所以每次移动 1、2 或者3 格是符合题意的，而移动 4 或者 4的倍

17、数格不 合题意 那么每次移动的格数除以 4的余数为 1、2 或 3所以甲有必胜策略：甲先移 3 格， 这样还剩下 2004 格(4的倍数格)； 以后乙每移动4nk格(1k 、 2 或 3)， 甲就移动4k格， 这样每次甲移动后还剩下 4 的倍数格，而乙每次移动后剩下的格数都不是 4 的倍数，所以 要移完 2004 格，最后肯定是由甲完成，所以甲获胜 【拓展拓展】有一堆石子有一堆石子，小张和小刘两人玩取石子游戏小张和小刘两人玩取石子游戏，两人轮流取两人轮流取，轮到自己取的时候轮到自己取的时候，可以取可以取 1 颗颗、3颗或颗或 4 颗颗，谁取到最后一颗谁赢谁取到最后一颗谁赢。第一局一开始只有第一

18、局一开始只有 1颗石子颗石子，以后每一局开始的石子颗数以后每一局开始的石子颗数 都比上一局多都比上一局多 1 颗颗，总共玩了总共玩了 76 局局。第一局小张先取第一局小张先取，第二局小刘先取第二局小刘先取 两个人轮流先取两个人轮流先取。现在现在 假设小张和小刘都是足够聪明的人假设小张和小刘都是足够聪明的人，都会选择最优的策略都会选择最优的策略，小张一共赢了多少小张一共赢了多少局局？ 【分析分析】先从比较简单的石子数讨论，找出输赢的规律。 若石子数是 1，3 或 4，则先取者可以全取走，从而先取者赢。 若石子数是 2，则先取者只能取 1颗，后取者取剩下的 1颗，从而后取者赢。 若石子数是 5，6

19、，则先取者可以分别取 3 颗、4 颗，后取者只能取 1 颗，先取者再取剩下的1 颗，从而先取者赢。 若石子数是 7，则先取者取后可能剩下6 颗、4 颗或 3 颗。根据上面的结论，可推得都是后取者 赢。 若石子数是 8，10，11，则先取者可以分别先取1 颗、3颗和 4 颗，给后取者留下 7 颗，从而先 取者赢。 若石子数是 9，则先取者取后可能剩下8 颗、6 颗或 5 颗。根据上面的结论，可推得都是后取者 赢。 若石子数是 12，13，则先取者分别取 3 颗、4颗，给后取者留下9 颗，从而先取者赢。 若石子数是 14，先取者取后可能剩下 13 颗、11 颗或 10 颗。根据上面的结论，可推得都

20、是后取 者赢。 这样推算下去，我们发现，当石子数被 7 整除或被7 除余 2 时，后取者赢，否则先取者赢。 例 5 6第 9级上超常体系 教师版 由于两人轮流先取，所以两人赢输每隔 14 局重复一次。即小张在第 1，2，3，5，11，13，14 局赢， 小刘在第 4， 6， 7， 8， 9， 10， 12 局赢。 76 14=5 6， 在前5 个完整周期中小张赢得 7 5=35(局); 剩下的 6 局中，小张赢得 4局。所以，小张共赢得的局数是 7 5+4=39(局)。 黑板上写有黑板上写有 1、2、3、 、100 这这 100 个自然数个自然数，甲甲、乙二人轮流每次每人划去一个数乙二人轮流每

21、次每人划去一个数，直到剩下两直到剩下两 个数为止个数为止如剩下的两数互质则判甲胜如剩下的两数互质则判甲胜，否则判乙胜否则判乙胜 乙先划甲后划乙先划甲后划，谁有必胜策略谁有必胜策略?必胜策略是怎样的必胜策略是怎样的? 甲先划乙后划甲先划乙后划，谁有必胜策略谁有必胜策略?必胜策略是怎样的必胜策略是怎样的? (学案对应学案对应：超常超常 4) 【分析分析】甲有必胜策略将这 100 个数分成（1，2） ， （3，4） ， ， （99，100）这 50 组，乙每 划一个数，甲就划去与乙划去的数同组的数，这样最后必然剩下两个在同一组的数由于 同组的数都是互质的，所以甲必胜 乙有必胜策略无论甲如何划，乙在前

22、 47 次只划去奇数，并且留下 3，9，15 这三个奇 数如果乙做不到这一点，即甲在前 47 次中划了奇数，那么乙只要一直划奇数即可使最后 剩下的两个数都是偶数，这样乙必胜如果乙能做到这一点，则甲前 47 次都划了偶数，此 时还剩下 3，9，15 和三个偶数如果接下来甲划掉了奇数，那么乙只要在剩下的两次中都 划去奇数即可保证剩下两个偶数；如果接下来甲划掉了偶数，那么乙接下来也要划去偶数， 这样即可保证 3，9，15 这三个数最后必然能剩下两个，所以乙必胜 一个盒子里有一个盒子里有 100 粒棋子粒棋子，甲甲、乙两人轮流从中取棋子乙两人轮流从中取棋子，要求每人每次取出的棋子数必须是盒中当要求每人

23、每次取出的棋子数必须是盒中当 时的棋子数的因数时的棋子数的因数，规定谁取完盒中的棋子谁输规定谁取完盒中的棋子谁输，如果甲先取如果甲先取，谁有必胜的策略谁有必胜的策略？ 【分析分析】根据“奇偶数的性质”， 甲采用“每次取奇数粒棋子”的策略必胜 100 粒是偶数， 甲取走奇数， 余下奇数粒，因为奇数的因数一定是奇数，所以乙只能取走奇数粒，于是余下偶数粒甲 再取奇数粒，乙只能再取奇数粒，如此下去，甲每次取棋子时盒中都有偶数粒棋子，因而 甲必定不会取走最后一粒，因为每次余下的棋子数逐次减少，而 1 又是任何整数的因数， 所以必定有一人取走最后一粒棋子，而这个人只能是乙至于甲每次取棋子的粒数，可以 根据

24、每次余下棋子数的具体情况来取，也可以采取更简单的方法：每次取 1 粒棋子由于 1 是任何整数的因数，又是奇数，所以这种方法满足上面的必胜策略 甲甲、乙两人轮流在黑板上写乙两人轮流在黑板上写 27 之间的正整数之间的正整数，规定在黑板上写过的数规定在黑板上写过的数，它的任何倍数就不它的任何倍数就不能再写能再写 了了，最后不能写的人为失败者最后不能写的人为失败者。如果甲第一个写数如果甲第一个写数，那么谁有必胜策略那么谁有必胜策略？如果是写如果是写28 之间的正整之间的正整 数呢数呢？ (学案对应学案对应：带号带号 4) 【分析分析】27 乙胜，如果甲取 2，那么乙取3，还剩 5、7，一人写一个，乙

25、胜； 如果甲取3，那么乙取 2，还剩 5、7，一人写一个，乙胜； 如果甲取4，那么乙取 6，还剩 2、3、5、7，一人写两个，乙胜； 如果甲取5，那么乙取 2，还剩 3、7，一人写一个，乙胜； 如果甲取6，那么乙取 4，还剩 2、3、5、7，一人写两个，乙胜； 如果甲取7，那么乙取 2，还剩 3、5，一人写一个，乙胜； 例 7 例 6 例 8 7第 9级上 超常体系教师版 第 14 讲 28 甲胜，因为甲取了 8，就相当于 27，乙先取，后者胜，甲胜。 【铺垫铺垫】甲甲、乙两人轮流在黑板上写乙两人轮流在黑板上写 120 之间的正整数之间的正整数，规定在黑板上写过的数规定在黑板上写过的数，它的任

26、何倍数它的任何倍数 就不能再写了就不能再写了，最后不能写的人为失败者最后不能写的人为失败者。如果甲第一个写数如果甲第一个写数，那么谁有必胜策略那么谁有必胜策略？ 【分析分析】甲先写 1，那么乙什么都不能写了，甲胜 【拓展拓展】现有棋子现有棋子 100 颗颗，甲先乙后轮流取走棋子甲先乙后轮流取走棋子，每次可以取每次可以取 1颗或颗或 5 颗或颗或 6 颗颗，谁无法按规定谁无法按规定 取走棋取走棋子谁就败子谁就败甲要保证必胜甲要保证必胜，第一次该取走第一次该取走颗棋子颗棋子 【分析分析】到某个人取时，首先取完后剩 0 颗就可以获胜，这样记 0 是他的一个获胜点同样可以推 出 2 是获胜点，4 是获

27、胜点能 1 次取到获胜点的数字位置都是失败点，比如1、3、5、6、 7、8、9、10这样 11 应该是获胜点，因为这个点的三种取法都只能取到失败点这样很 容易看出失败点是比获胜点多的将 1-100 的获胜和失败点全部推出，其中有下划线的数 为获胜点：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、 20、21、22，可以看出每连续 11 个数中的第 1、3、5 个是获胜点，离 100 比较近的获胜点 就是 88、90、92、99、101其中一次能取到的只有 99应该取 1 个 对策问题的对策问题的 3个最基本要素个最基本要素： 局中人局中人，

28、在一场竞赛或争斗中的参与者在一场竞赛或争斗中的参与者他们为了在对策中取得最终胜利他们为了在对策中取得最终胜利，必须制定出对付必须制定出对付 对手的行动计划对手的行动计划，这种有决策权的参加者称为局中人这种有决策权的参加者称为局中人局中人并不是特指某一个人局中人并不是特指某一个人，而是指参加竞而是指参加竞 争的各个阵营争的各个阵营只有两个局中人的对策问题只有两个局中人的对策问题为为“双人对策双人对策”，而多于两个局中人的对策问题为而多于两个局中人的对策问题为“多人对多人对 策策” 策略策略，是指某一局中人的一个是指某一局中人的一个“自始至终通盘筹划自始至终通盘筹划”的可行方案的可行方案，在一局对

29、策中在一局对策中，各个局中人各个局中人 可以有一个策略可以有一个策略，也可以有多个策略也可以有多个策略 一局对策的得失一局对策的得失在一局对策中在一局对策中，必有胜利者和失败者必有胜利者和失败者比赛成绩的好坏比赛成绩的好坏，我们称之为我们称之为“得得 智猪博弈智猪博弈 假设猪圈里有一头大猪、一头小猪。猪圈的一头有猪食槽，另一头安装着控制猪食供应 的按钮， 按一下按钮会有 10 个单位的猪食进槽， 但是谁按按钮就会首先付出2 个单位的成本， 若大猪先到槽边，大小猪吃到食物的收益比是 91；同时到槽边，收益比是 73；小猪先到 槽边，收益比是 64。那么，在两头猪都有智慧的前提下，最终结果小猪选择

30、等待还是按控 制按钮。 答案：小猪选择等待，让大猪去按控制按钮，而自己选择等待的原因很简单：在大猪选择行 动的前提下，小猪选择等待的话，小猪可得到 4 个单位的纯收益，而小猪行动的话，则仅仅 可以获得大猪吃剩的 1 个单位的纯收益，所以等待优于行动；在大猪选择等待的前提下，小 猪如果行动的话，小猪的收入将不抵成本，纯收益为-1 单位，如果小猪也选择等待的话，那 么小猪的收益为零，成本也为零，总之，等待还是要优于行动。 知识点总结知识点总结 8第 9级上超常体系 教师版 失失”每个局中人在一局对策中的得失与全体局中人所采取的策略的优劣有着直接的关系每个局中人在一局对策中的得失与全体局中人所采取的

31、策略的优劣有着直接的关系 1.两只蜘蛛同处在一个正方体的顶点两只蜘蛛同处在一个正方体的顶点 A，而一只爬虫处在而一只爬虫处在 A的对顶点的对顶点 G，假设蜘蛛和爬虫假设蜘蛛和爬虫 均以同样的速度沿正方体的棱均以同样的速度沿正方体的棱移移动动，任何时候它们都知道彼此的位置任何时候它们都知道彼此的位置，蜘蛛能预判爬虫的爬蜘蛛能预判爬虫的爬 行方向行方向，试给出一个两只蜘蛛必定捉住爬虫试给出一个两只蜘蛛必定捉住爬虫的方案的方案。 【分析分析】1、其中一只蜘蛛先不动，控制正方体的其中一个面，我们定义这个面为 A1 面。 2、另一只蜘蛛开始向 A1 面的相对的面爬行，我们定义这个相对的面为 A2 面。

32、3、这时 2只蜘蛛，每个蜘蛛控制一个面，不论爬虫如何移动，必然会移动到 A1 面或者 A2 面。 4、于是必然有一个蜘蛛和爬虫处于一个面，这时处于一个面的蜘蛛（设追击的蜘蛛为 B1） 开始追击爬虫，另一个面的蜘蛛则不动，不论爬虫如何逃跑，爬虫和追击的蜘蛛始终能保 持的最大距离为 2 个棱的长度，随着爬虫的移动，爬虫必然和等待的蜘蛛会出现最小距离 为 1 个棱的长度，这时等待的蜘蛛出击，必然能抓到爬虫。 2.桌子上放着两堆糖果桌子上放着两堆糖果，一堆一堆 x 颗颗，一堆一堆 y 颗颗，A 和和 B 轮流对这些糖果进行轮流对这些糖果进行如下如下操作操作。 操作者操作者先选择先选择吃掉其中一堆糖果吃

33、掉其中一堆糖果； 如果另一堆只有一颗糖果如果另一堆只有一颗糖果，那么吃掉这颗糖果那么吃掉这颗糖果，获胜获胜 ；否则否则把另一堆糖果分成两堆把另一堆糖果分成两堆（可以不可以不 相等相等）留给对方操作留给对方操作。 游戏如此进行下去游戏如此进行下去，直到一方吃掉最后一颗糖果获胜为止直到一方吃掉最后一颗糖果获胜为止。现在现在。如果如果A 先操作先操作，请问什么情请问什么情 况下况下 A 有必胜策略有必胜策略？A 的必胜策略是什么的必胜策略是什么？ 【分析分析】从简单想起： 如果（1、n） （1 和 n 表示两堆数量，较少的写左边） ，A 直接赢； 如果（2、2） ， （2、3） 、 （3、3） ，A

34、 在吃掉一堆后，只能分成（1、n）的形式，因此 A 必输； 如果（4、n） 、 （5、n） 、 （6、n） ，A 先吃掉 n，然后把另一堆分成（2、2） ， （2、3） 、 （3、3） 必胜； 同理（2、7） 、 （2、8） 、 （3、7） 、 （3、8） 、 （7、7） 、 （7、8） 、 （8、8） ，A 必输； （9、n） （9 分成 2 和 7，让对方必输） 、 （10，n） 、 （11，n） ，A 必赢； 找到规律，只要其中一堆是 1、4、5、6、9、10、11、14、15、16（被 5 除余4、0、1） 的时候，A 必胜。必胜策略是：吃掉另一堆，并把剩余的一堆（被 5 除余 4、0

35、、1 的）分 成两个被 5 除余 2 或余 3 的数。如果两堆都是 2、3、7、8、12、13 （被 5 除余 2、3） 里面的数时，A 必输。 【深思深思】其实能够发现，被 5 除余 2 或 3 的数拆成两个正整数时一定至少有一堆会是被 5 除余 4、0、1 的，而被 5 除余 4、0、1 的数都可以拆成全是被 5 除余 2 或 3 的数，因此胜 者控制的就是每次都让两堆数量除以 5 都余2 或 3，那么不可能出现 1，自己必胜。 附加题附加题 9第 9级上 超常体系教师版 第 14 讲 3.桌上有桌上有 15 根火柴根火柴，甲乙两人轮流取火柴甲乙两人轮流取火柴，每人每次可以取一根或质数根每

36、人每次可以取一根或质数根，取到最后一根者为胜取到最后一根者为胜 方方，问甲应如何取才能取得胜利问甲应如何取才能取得胜利？ 【分析分析】从简单情况入手分析寻求一般规律： （1）当这堆火柴为 1 根时，甲先取，必胜； （2）当这堆火柴为 2 根时，甲先取 2根必胜； （3）当这堆火柴为 3 根时，甲先取 3根必胜； （4）当这堆火柴为 4根时，甲先取 1、2 或 3 根时，乙可以相应取3、2或 1根，因此乙胜； （5）当这堆火柴为5 根时，甲先取 5 根必胜；另一种取法是：甲先取 1 根，剩下4 根，变 成 （4） ，但乙先取，甲胜. （6）当这堆火柴为 6 根时，甲先取 2根，剩下 4 根，变为

37、（4） ，但乙先取，甲胜 （7）当这堆火柴为7 根时，由于 7 为质数，甲先取 7 根，甲胜；当然甲也可以取 3 根，剩 下 4 根，变为（4） ，但乙先取，甲胜 （8）当这堆火柴为 8 根时，甲先取，无论如何取法，乙都有必胜的策略 从上面分析已经看出：如果火柴根数是 4的倍数4根、8 根、12 根、16 根4k根，甲先 取， 不存在必胜策略 如果火柴根数不是 4 的倍数时， 即火柴根数是41k ，42k ，43k 形式的数时，甲先取， 就存在必胜策略 本题15 不是质数，甲先取 11 根（质数） ，还剩下 4 根，这时甲必胜 1.桌子上放着桌子上放着 80 根火柴根火柴， 甲甲、 乙二人轮流

38、每次取走乙二人轮流每次取走 19 根根 规定谁取走最后一根火柴谁获胜规定谁取走最后一根火柴谁获胜 如如 果双方都采用最佳方法果双方都采用最佳方法，甲先取甲先取，那么谁将获胜那么谁将获胜？ 【分析分析】80（1+9）0，甲不管先取几根，乙都能和甲凑10，最终乙胜。 2.右图是一个右图是一个46的方格棋盘的方格棋盘，左上角有一枚棋子左上角有一枚棋子甲先乙后甲先乙后，二人轮流走这枚棋子二人轮流走这枚棋子，每人每次每人每次 只能向下只能向下或或向右走一格向右走一格如图中棋子可以走入如图中棋子可以走入A、C两格之一两格之一，谁将棋子走入右下角方格中谁谁将棋子走入右下角方格中谁 获胜获胜如果都按最佳方法走

39、如果都按最佳方法走，那么谁将获胜那么谁将获胜？有什么必胜的策略有什么必胜的策略？ A CB 【分析分析】一共差 8 个格，每次走一个格，所以肯定要走 8 次，肯定乙赢。 3.如图如图，在棋盘的右上角放有一枚棋子在棋盘的右上角放有一枚棋子，每一步只能向左每一步只能向左、向下或向左下对角线走一格向下或向左下对角线走一格二人交二人交 替走替走，谁先到达左下角谁先到达左下角，谁为胜者谁为胜者问必胜的策略是什么问必胜的策略是什么？ 家庭作业家庭作业 10第 9级上超常体系 教师版 【分析分析】先走者胜，可知每走一步，行或者列要走一个奇数格，那么现在距离胜利剩 9 行 9 列，可 以先走一步对角线，现在差

40、 8 行 8 列，对方无论怎么走，一定会让行或者列差奇数个，先 手的任务就是把奇数个都变成偶数个，最后就胜利了。 4.请你参加一种游戏请你参加一种游戏：有有 2011 个棋子个棋子，两人轮流取棋子两人轮流取棋子，每次允许取其中每次允许取其中 1 个个、2 个个、4 个或个或 8 个个，谁最后把棋子取完谁最后把棋子取完，就算获胜就算获胜如果你先取如果你先取，那么第一次你取多少个那么第一次你取多少个？先取的人有一个必先取的人有一个必 胜的办法胜的办法，如果你已想出这个办法如果你已想出这个办法，请写出来请写出来 【分析分析】由于每次只能拿 1 个、2 个、4 个或 8个，如果先拿者每次拿后剩下的棋子

41、数能被 3 整除， 这样对方拿后剩下的数一定不能被 3 整除，由于8412 ，1+89，426 ，1+23.因 此不论对方拿了几个，先拿者再拿时又一定能使剩下的数被 3 整除因为 0 能被 3 整除， 所以先拿者一定获胜 而要使 2011 个棋子拿一次后剩下的棋子数能被 3 整除，第一次可以 拿 1 个或 4 个。 5.甲甲、乙两人玩数字游戏乙两人玩数字游戏，甲先乙后甲先乙后，他们轮流用他们轮流用 19 中任一数字中任一数字（数字可重复使用数字可重复使用）代表五位代表五位 数数ABCDE中的一个中的一个，如果最后这个五位数能被如果最后这个五位数能被 9 整除整除，则甲胜则甲胜；如果不能被如果不

42、能被 9 整除整除，则乙胜则乙胜. 谁有必胜策略谁有必胜策略？ 【分析分析】甲，因为甲写最后一个数字，19 中必有一个能让数字和是 9 的倍数，所以甲胜。 6.99 张卡片上分别写着张卡片上分别写着 199甲先从中抽走一张甲先从中抽走一张，然后乙再从中抽走一张然后乙再从中抽走一张，如此轮流下去如此轮流下去若若 最后的两张上的数是互质数最后的两张上的数是互质数，则甲胜则甲胜；若最后剩下的两个数不是互质数若最后剩下的两个数不是互质数，则乙胜则乙胜问问：甲要想甲要想 获胜应该怎样抽取卡片获胜应该怎样抽取卡片？ 【分析分析】甲抽，把剩下的数两两分组为 2,3， 4,5，98,99，无论乙抽何数，甲都抽

43、同组 中的另一个数这样最后将剩下同一组中的两个数，这两数相邻，必定互质，甲胜 从上面的分组方法可以看出，甲第一次不一定要抽 1，实际上第一次他可以抽其中的任何 一个奇数，然后把剩下的数每相邻的两数分为一组即可 7.甲甲，乙轮流从乙轮流从117 这这 17 个数中标记数个数中标记数，规定规定： （1）每次标记一个数每次标记一个数； （； （2）不能标记已标记的数不能标记已标记的数； （； （3）不能标记已标记数的不能标记已标记数的 2 倍倍； （4）不能标记已标记数的不能标记已标记数的 1 2 ； （； （5）谁没数可标记谁就输谁没数可标记谁就输。 现在甲先标记了现在甲先标记了 8，乙要保证自己

44、必胜乙要保证自己必胜，乙接着应该标记乙接着应该标记_。 【分析分析】甲标记了 8 后，4 和 16 就不能再标记。剩下的数分成以下几组： 第一组（3，6，12） 第二组（1，2） （5，10） （7，14） 第三组（9） （11） （13） （15） （17） 其中第一组是可选的，当选 6 时，就不能选其他数，而选3 或 12 时还可以再选一个。第一 组数决定了最终的局数。根据奇偶性，乙应该选 6，这样就可以总共 10 轮。因此甲先，所 以最后一个可标记数是乙标记的。乙必胜。 11第 9级上 超常体系教师版 第 14 讲 8.甲甲、乙两人轮流在黑板上写乙两人轮流在黑板上写 38 之间之间的正整

45、数的正整数，规定每次在黑板上写的数要满足以下条件规定每次在黑板上写的数要满足以下条件： 它它 的任何因数都不能是黑板上已写的数的任何因数都不能是黑板上已写的数。最后不能写的人为失败者最后不能写的人为失败者。如果甲第一个写数如果甲第一个写数，那么谁那么谁 能胜能胜？必胜策略是什么必胜策略是什么？39 呢呢？ 【分析分析】38，乙胜，可分组， （3、6） 、 （4、8） 、5、7，甲取 3 或 4，乙就对应取 4或 3，能写的只 剩下 5、7，乙胜；甲取 6 或 8，乙就对应取 8 或 6，剩下没关系的 3、4、5、7，乙胜；甲 取 5 或 7，乙取 7 或 5，下面还是对称的，所以乙胜。 39，

46、甲胜，先写 9，剩下的就相当于乙先写38，甲胜。 【超常班超常班学案学案1】在在 4 4的方格纸上有一粒石子的方格纸上有一粒石子，它放在左下角的方格里它放在左下角的方格里.甲甲、乙二人玩游戏乙二人玩游戏，由甲由甲 开始开始，二人交替地移动这粒石子二人交替地移动这粒石子，每次只能向上每次只能向上、向右或向右上方移动一格向右或向右上方移动一格，谁把石子移到右上角谁把石子移到右上角 谁胜谁胜.问甲能取胜吗问甲能取胜吗？如果要取胜如果要取胜，应采取什么办法应采取什么办法？ 【分析分析】甲要取胜，必须向右上走一格，还剩下 2 上 2 右.然后，乙如果向上走，甲也向上走，还剩 2 右；乙向右走，甲也向右走

47、；乙向右上走，甲也向右上走，就能发现甲走完之后向上和 向右都差偶数格.总之，甲走完第一步以后，乙朝哪个方向走，甲就朝哪个方向走，这样甲 就能取胜 【超常班学案超常班学案 2】甲甲、乙两人玩数字游戏乙两人玩数字游戏，他们轮流在数他们轮流在数“7826”的方框里填一个数字的方框里填一个数字。规则是规则是： 甲先填一个数字甲先填一个数字，如果乙再填一个数字使这个六位数是如果乙再填一个数字使这个六位数是 11 的倍数的倍数，则乙获胜则乙获胜；反之反之，如果乙填出来如果乙填出来 的数字没有使这个六位数是的数字没有使这个六位数是 11的倍数的倍数，则甲获胜则甲获胜。问问：先填的甲有没有必胜的策略先填的甲有没有必胜的策略？如果有如果有，应该应该 怎么填怎么填；如果没有如果没有，说明理由说明理由。 【分析分析】根据 11 的整除规律，现在的奇数位数字和为268 ，现在的偶数位数字和8715 ，甲 只要在较小的和中填一个数是较大的和比较小的和大1，甲就获胜。所以甲在左边的方框 里填 6.此时这个六位数变成了 76826, 从而所有奇数位数字的和是62614 , 偶数位 数字和为78 15，现在乙想让奇数位上的数字和与偶数们上的数字和的差是 11 的倍数，只能