著名机构五年级数学暑假讲义第13讲.容斥原理.超常体系

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1、1第 9级上 超常体系教师版 第 13 讲 四年级春季 排列组合初步 五年级暑假 枚举法进阶 五年级暑假 容斥原理 五年级秋季 排列组合进阶 五年级秋季 几何计数进阶 两量容斥原理，三量容斥原理，容斥原理中的最值问题 漫画释义漫画释义 知识站牌知识站牌 第十三讲第十三讲 容斥原理容斥原理 2第 9级上超常体系 教师版 容斥，从字面上理解就是“包容”与“排斥” 。 为了计算几种物体的总个数，首先计算所有包容了的物体个数，但包含多了（出现重叠对象） ，又要 排斥某些物体，当排斥多了，又要包容若干物体，如此继续下去，最终就可以得到我们所要求 的物体个数。 容斥原理所体现的这种数学思想就是一种“多退少

2、补，逐步淘汰”的取舍思想。也许这样说比 较枯燥，如果用图形和符号来研究这些问题就比较直观了，那么我们就用图形和符号这两个“拐杖” 来学习容斥原理，借用教育家苏荷姆林斯基的一句名言来说： “用直观来照亮我们认识的路途！ ” 1.熟练掌握熟练掌握两两量容斥原理并处理量容斥原理并处理两两量最值问题量最值问题； 2.会利用容斥原理处理三量重叠及最值问题会利用容斥原理处理三量重叠及最值问题； 3.会利用方程解决较复杂的容斥问题会利用方程解决较复杂的容斥问题 容斥原理容斥原理 容斥原理容斥原理I：两两量重叠问题量重叠问题 ABABAB (其中符号其中符号“” 读作读作“ 并并” ，相当于中文相当于中文“

3、和和” 或者或者“ 或或” 的意思的意思；符号符号“” 读读 作作“ 交交” ，相当于中文相当于中文“ 且且“的意思的意思) 图示如下图示如下:A表示小圆部分表示小圆部分，B表示大圆部分表示大圆部分，C表示大圆与表示大圆与小圆的公共部分小圆的公共部分，记为记为：AB，即即 阴影面积阴影面积 容斥原理容斥原理II：三量重叠问题三量重叠问题 ABCABCABBCACABC 图示如下图示如下： 经典精讲经典精讲 课堂引入课堂引入 教学目标教学目标 1.先包含先包含AB 重叠部分重叠部分AB计算了计算了 2 次次，多加了多加了 1次次； 2.再排除再排除ABAB 把多加了把多加了 1 次的重叠部分次的

4、重叠部分AB减去减去 3第 9级上 超常体系教师版 第 13 讲 CAB AC B BA C 模块模块 1：两量的容斥两量的容斥例例 1- -3 例例 1：两量容斥两量容斥 例例 2：容斥最值容斥最值( (利用线段图利用线段图) ) 例例 3：容斥最值容斥最值( (需要判断需要判断) ) 模块模块 2：三量容斥三量容斥 例例 4：截长度截长度 例例 5：开关灯开关灯 例例 6：容斥最值容斥最值( (浇花浇花，答题答题) ) 模块模块 3：容斥综合容斥综合 例例 7：普通方程解容斥普通方程解容斥 例例 8：不定方程解容斥不定方程解容斥 在游艺会上在游艺会上， 有有 100 名同学抽到了标签分别为

5、名同学抽到了标签分别为 1至至 100 的奖券的奖券按奖券标签号发放奖品的规则如下按奖券标签号发放奖品的规则如下： （1）标签号为标签号为 2 的倍数的倍数，奖奖 2 支铅笔支铅笔； （2）标签号为标签号为 3 的倍数的倍数，奖奖 3 支铅笔支铅笔； （3）标签号既是标签号既是 2 的倍数的倍数，又是又是 3 的倍数可重复领奖的倍数可重复领奖； （4）其他标签号均奖其他标签号均奖 1 支铅笔支铅笔 那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支? 【分析分析】1100，2 的倍数有 100 2 =50，3 的倍数有 100 3 =33 个，因为既是 2

6、 的倍数，又是3 的倍 数的数一定是 6 的倍数，所以标签为这样的数有 100 6 =16 个于是，既不是 2 的倍数， 例题思路例题思路 例 1 图中小圆表示图中小圆表示A的元素的个数的元素的个数，中圆表示中圆表示B的元素的个数的元素的个数， 大圆表示大圆表示C的元素的个数的元素的个数 1先包含先包含 ABC 重叠部分重叠部分AB、BC、CA重叠了重叠了 2次次，多加了多加了 1 次次 2再排除再排除 ABCABBCAC 重叠部分重叠部分 ABC 重叠了重叠了 3 次次，但是在进行但是在进行 ABCABBCAC 计算时都被减掉计算时都被减掉了 3再包含再包含 ABCABBCACABC 4第

7、9级上超常体系 教师版 又不是 3 的倍数的数在 1100 中有 100- 50- 33+16=33所以，游艺会为该项活动准备的奖 品铅笔共有：50 2+33 3+33 1=232 支. (1)有有 100 种食品种食品.其中含钙的有其中含钙的有 68 种种，含铁的有含铁的有 43 种种，那么那么，同时含钙和铁的食品种类的最大值和同时含钙和铁的食品种类的最大值和 最小值分别是最小值分别是_、_. (2)某班共有学生某班共有学生 48 人人，其中其中 27 人会游泳人会游泳，33 人会骑自行车人会骑自行车，40 人会打乒乓球人会打乒乓球那么那么，这个班三这个班三 项运动都会的人数项运动都会的人数

8、的最大值和最小值分别是的最大值和最小值分别是_、_. (3)某班有某班有 46 人人，其中有其中有 40 人会骑自行车人会骑自行车，38 人会打乒乓球人会打乒乓球，35 人会打羽毛球人会打羽毛球，27人会游泳人会游泳， 那么那么，这个班四项运动都会的人数的最大值和最小值分别是这个班四项运动都会的人数的最大值和最小值分别是_、_. (4)在阳光明媚的一天下午在阳光明媚的一天下午，甲甲、乙乙、丙丙、丁四人给丁四人给 100 盆花浇水盆花浇水，已知甲浇了已知甲浇了 30 盆盆，乙浇了乙浇了 75 盆盆，丙浇了丙浇了 80 盆盆，丁浇了丁浇了 90 盆盆，那么那么，恰好被恰好被 3 个人浇过的花最少有

9、个人浇过的花最少有_盆盆. (5)60 人中有人中有 2 3 的人会打乒乓球的人会打乒乓球，3 4 的人会打羽毛球的人会打羽毛球，4 5 的人会打排球的人会打排球，这三项运动都会的人有这三项运动都会的人有 22 人人，那么那么，这三项运动都不会的最多有这三项运动都不会的最多有_人人. (6) 甲甲、乙乙、丙都在读同一本故事书丙都在读同一本故事书，书中有书中有 100 个故事个故事每个人都从某一个故事开始每个人都从某一个故事开始，按顺按顺 序往后读序往后读已知甲读了已知甲读了 75 个故事个故事，乙读了乙读了 60 个故事个故事，丙读了丙读了 52个故事个故事那么那么，甲甲、乙乙、丙丙 3 人共

10、同读过的故事最少有人共同读过的故事最少有_个个. 【分析分析】最大值不能超过几类中的最小值；而求最小值，则应该让次数平均分配 (1) 最大值就是含铁的有 43 种.根据容斥原理最小值 68+43- 100=11， 最小值可以用下图表示： 1132 铁 钙 68 100 (2)最大值为 27.三项都会的最少，那么两项都会的应该最多因此可以先让所有人都会两 项剩下的就是三项都会的最小值27+33+40- 48 2=4 (3)同上分析：最大值为27，最小值为 40+38+35+27- 46 3=140- 138=2 人 (4) 为了恰好被 3 个人浇过的花盆数量最少，那么被四个人浇过的花、两个人浇过

11、的花数 量都要尽量多，那么应该可以知道被四个人浇过的花数量最多是 30 盆， 那么接下来就变成 乙浇了 45 盆，丙浇了 50 盆，丁浇 60 盆了，这时共有1003070盆花，我们要让这 70 盆中恰好被 3 个人浇过的花最少，这就是简单的容斥原理了，恰好被 3 个人浇过的花最少 有45506070215 盆 (5) 234 6040;6045;6048 345 .此题中有 22 人三项全会，要让都不会的最多，那么会 两项的就应该最多(40+45+48- 22 3) 2=331因此除了22 人外，至少还有 34 人会 2项 或 1 项运动都不会的最多有 60- 22- 34=4 人 (6)考

12、虑甲乙两人情况，有甲乙都读过的最少为：75+60- 100=35 个，此时甲单独读过的为 75- 35=40 个，乙单独读过的为 60- 35=25 个；欲使甲、乙、丙三人都读过的书最少时，应将 丙读过的书尽量分散在某端，于是三者都读过书最少为 52- 40=12 个 例 2 5第 9级上 超常体系教师版 第 13 讲 (1) 参加语文竞赛的有参加语文竞赛的有 8 人人，参加数学竞赛的有参加数学竞赛的有 9 人人，参加英语竞赛的有参加英语竞赛的有 11人人， 每人最多参加两科每人最多参加两科， 那么至少有那么至少有人参加这次竞赛人参加这次竞赛 (2)某班有某班有50名学生名学生，参加语文竞赛的

13、有参加语文竞赛的有28人人，参加数学竞赛的有参加数学竞赛的有23人人，参加英语竞赛的有参加英语竞赛的有20人人， 每人最多参加两科每人最多参加两科，那么参加两科的最多有那么参加两科的最多有人人 (3) 参加语文竞赛的有参加语文竞赛的有 8 人人，参加数学竞赛的有参加数学竞赛的有 9 人人， 参加英语竞赛的有参加英语竞赛的有 21 人人， 每人最多参加两科每人最多参加两科， 那么至少有那么至少有人参加这次竞赛人参加这次竞赛 【分析分析】此类问题算出最值后，一定要检验是否能办到原因可见(3)小题 (1) 由于每人最多参加2 科， 也就是说有参加 2科的，有参加 1 科的，要求参加的人最少， 那么尽

14、可能让每人都参加 2 科，所以理论上至少有(8911)214 人参加竞赛， 1495 ，14113，参加语文和英语竞赛的有 5 人，参加语文和数学竞赛的有 3 人，参 加数学和英语竞赛的有 6 人，符合题意，因此至少有 14 人参加竞赛 (2)根据题意可知，该班参加竞赛的共有28232071人次由于每人最多参加2 科，也 就是说有参加 2 科的，有参加 1 科的，也有不参加的，共是 71 人次要求参加2 科的人数 最多，则让这71人次尽可能多地重复，而712351 ，所以至多有35人参加 2 科， 此时还有 1 人参加 1 科 那么是否存在 35 人参加两科的情况呢？由于此时还有 1人是只参加

15、一科的， 假设这个人只 参加数学一科，那么可知此时参加语文、数学两科的共有(282220)215 人，参加语 文、英语两科的共有281513人，参加数学、英语两科的共有20137人也就是说， 此时全班有 15 人参加语文、数学两科，13 人参加语文、英语两科，7人参加数学、英语 2 科，1 人只参加数学 1 科，还有 14 人不参加检验可知符合题设条件所以 35 人是可以 达到的，则参加 2 科的最多有 35 人 （当然本题中也可以假设只参加一科的参加的是语文 或英语） (3) 由于每人最多参加 2科，也就是说有参加 2科的，有参加 1 科的，要求参加的人最少， 那么尽可能让每人都参加 2 科

16、，所以理论上至少有(8921)219 人参加竞赛，但参加 英语竞赛的有 21 人，因此至少应该有 21 人参加竞赛. 例 3 6第 9级上超常体系 教师版 一根一根 1001 厘米长的木棒厘米长的木棒，从同一端开始从同一端开始，第一次每隔第一次每隔 7 厘米画一个刻度厘米画一个刻度，第二次每隔第二次每隔 11 厘米画一厘米画一 个刻度个刻度，第三次每隔第三次每隔 13 厘米画一个刻度厘米画一个刻度，如果按刻度把木棒截断如果按刻度把木棒截断，那么可以截出多少段那么可以截出多少段? (学案对应学案对应：超常超常1，带号带号 1) 【分析分析】要求出截出的段数，应当先求出木棒上的刻度数， 而木棒上的

17、刻度数，相当于 1、2、 3、 、 1000、1001这 1001 个自然数中 7 或 11 或 13 的倍数的个数，为： 1001100110011001100110011001 281 711137 117 1311 137 11 13 ，故木棒上共有 281 个刻度，可以截出 281 段 (注：此题中 1001 恰好是 7，11，13 的倍数，因此最后一个刻度不需要截若是 1002，那 么刻度还是 281 个，但截成的是 282 段) 有有 2000盏亮着的电灯盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着各有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为现按其顺序编号为 1，2，3，2000，然后将然后将

18、 编号为编号为 2 的倍数的灯线拉一下的倍数的灯线拉一下，再将编号为再将编号为 3 的倍数的灯线拉一的倍数的灯线拉一下下，最后将编号为最后将编号为 5的倍数的灯线的倍数的灯线 拉一下拉一下，三次拉完后三次拉完后，亮着的灯有多少盏亮着的灯有多少盏？ 棣莫弗的棣莫弗的传奇传奇 容斥原理有一个有趣的历史，该原理最早的数学表述是有法国数学家棣莫弗在他关于概 率论的教材机会的学说中提出的。棣莫弗 1667 年 5 月 26 日生于法国维特里的弗朗 索瓦的一个乡村医生之家，其父一生勤俭，以行医所得勉强维持家人温饱棣莫弗自幼接受 父亲的教育，稍大后进入当地一所天主教学校念书，这所学校宗教气氛不浓，学生们得以

19、在 一种轻松、自由的环境中学习，这对他的性格产生了重大影响随后，他离开农村，进入色 拉的一所清教徒学院继续求学，这里却戒律森严，令人窒息，学校要求学生宣誓效忠教会， 棣莫弗拒绝服从，于是受到了严厉制裁，被罚背诵各种宗教教义那时，学校不重视数学教 育，但棣莫弗常常偷偷地学习数学在早期所学的数学著作中，他最感兴趣的是惠更斯关于 赌博的著作，特别是惠更斯于 1657 年出版的论赌博中的机会一书，启发了他的灵感写出 了代表作机会的学说 。 然而尽管棣莫弗在学术研究方面颇有成就，但却贫困潦倒 自从到了英国伦敦直至晚年， 他一直做数学方面的家庭教师棣莫弗在 87 岁时患上了嗜眠症，每天睡觉长达 20 小时

20、。当 达到 24 小时长睡不起时，他便在贫寒中离开了人世 关于棣莫弗的死有一个颇具数学色彩的神奇传说：在临终前若干天，棣莫弗发现，他每 天需要比前一天多睡 1/4 小时，那么各天睡眠时间将构成一个算术级数，当此算术级数达到 24 小时时，棣莫弗就长眠不醒了. 例 4 例 5 7第 9级上 超常体系教师版 第 13 讲 5 3 2 G F E D C B A (学案对应学案对应：超常超常2，带号带号 2) 【分析分析】三次拉完后，亮着的灯包括不是 2、3、5 的倍数的数以及是 6、10、15 的倍数但不是 30 的 倍数的数12000 这 2000 个正整数中，2 的倍数有1000 个，3 的倍

21、数有666 个，5 的倍 数有 400 个，6 的倍数有 333 个，10 的倍数有 200 个，15 的倍数有 133 个，30 的倍数有 66 个，亮着的灯一共有 20001000666400+2 （333+200+133）4 66=1002盏 【铺垫铺垫】写有写有 1 到到 100 编编号的灯号的灯 100 盏盏，亮着排成一排亮着排成一排，每一次把编号是每一次把编号是 3 的倍数的灯拉一次开关的倍数的灯拉一次开关， 第二次把编号是第二次把编号是 5 的倍数的灯拉一次开关的倍数的灯拉一次开关，那么亮着的灯还有多少盏那么亮着的灯还有多少盏？ 【分析分析】如图，拉 0 次的亮，拉 1 次的灭，

22、拉 2 次的亮，可见亮灯分两部分，拉 0 次部分为： 100100100 100()53 3515 盏，拉 2 次的灯为 100 6 15 盏从而亮灯数 53+6=59 盏 3的倍数5的倍数 亮 亮 灭 灭 在阳光明媚的一天下午在阳光明媚的一天下午，甲甲、乙乙、丙丙、丁丁四人给四人给 100 盆花浇水盆花浇水，已知甲浇了已知甲浇了 30 盆盆，乙浇了乙浇了 75 盆盆， 丙浇了丙浇了 80 盆盆，丁浇了丁浇了 90 盆盆，恰好被恰好被 1个人浇过的花最多有多少盆个人浇过的花最多有多少盆？ (学案对应学案对应：超常超常3，带号带号 3) 【分析分析】法 1： 首先， 应该让尽量多的花被浇了 4

23、次.那么有 30 盆花被浇了 4 次.这时还剩下 70 盆花， 乙还要浇 45 盆、丙还要浇 50 盆，丁还要浇60 盆. 然后，要让尽量多的花被浇 3 次，那么，有 45 盆花被浇了 3次.这时还剩下 25 盆花没浇， 丙还要浇 5 盆，丁还要浇15 盆. 如果丙、丁浇的都不是一盆花，那么有 20 盆花被浇了 1 次，还有 5 盆花没有浇.拿出 3 盆 被浇了 3 次的花，和这 5 盆没被浇过的花放在一起，那么，可以让其中 7 盆花浇一次，1 盆浇两次.那么最多有 27 盆花恰好被浇了 1 次. 法 2：100 盆花共被浇水 275 次，平均每盆被浇 2.75 次，为了让被浇 1 次的花多，

24、我们也 需要被浇 4 次的花尽量多，为 30 盆，那么余下 70 盆共被浇155 次，平均每盆被浇2.21次， 说明需要一些花被浇 3 次才可以我们假设 70 盆都被浇 3 次，那么多出 55 次，每盆花少 浇 2 次变为被浇 1 次最多可以变 27 次，所以本题答案为 27 盆 法 3：设被浇过 1 次，2 次，3 次，4 次的花盆数量分别为啊，a，b，c，d.那么： 100,2343075809027523175abcdabcdbcd . 100bcda ，所以要让 a 尽可能大，那么bcd 尽量小.23175bcd，于是 d 例 6 8第 9级上超常体系 教师版 尽 可 能 大 .30,

25、30285ddbc. 那 么 要 让bc尽 量 小 ， c 要 尽 量 大 . 于 是 42,1cb.1423073bcd ，27a .即恰好被 1人浇过的花最多有 27 盆. 五年级五年级 2 班有班有 46 名学生参加三项课外兴趣活动名学生参加三项课外兴趣活动，每人至少参加一项每人至少参加一项其中其中 24 人参加了数学小组人参加了数学小组， 20 人参加了语文小组人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组又参加文艺小组人数的参加文艺小组的人数是既参加数学小组又参加文艺小组人数的 3.5 倍倍，又是又是 三项活动都参加人数的三项活动都参加人数的 7倍倍，既参加文艺小组又参加语文小

26、组相当于三项活动都参加人数的既参加文艺小组又参加语文小组相当于三项活动都参加人数的 2 倍倍， 既参加数学小组又参加语文小组的学生有既参加数学小组又参加语文小组的学生有 10 人人。请问请问：参加文艺小组的学生有多少人参加文艺小组的学生有多少人？ 10- x x x x 语语20 文文7x 数数24 (学学案对应案对应：超常超常4) 【分析分析】这里涉及了三个对象：数学小组、语文小组、文艺小组，然而从题目的叙述来看，在容斥 原理的等式中都涉及了一个关键的量，即三项活动都参加人数。因而必须先求出这个三项 活动都参加人数。再利用参加文艺小组的人数与它的关系即可求解。 设三项活动都参加人数为 x，根

27、据题意得参加文艺小组的人数为 7x，既参加数学小组又参 加文艺小组的人数为 7x 3.5=2x，既参加文艺小组又参加语文小组的人数为 2x。如图可得 464242010x，3x ，所以：参加文艺小组的学生有7x=21 人。 【拓展拓展】全班有全班有25个学生个学生，其中其中17人会骑自行车人会骑自行车，13人会游泳人会游泳，8人会滑冰人会滑冰，这三个运动项目没这三个运动项目没 有人全会有人全会，至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀但又都不是优秀若全班有若全班有6个人数个人数 学不及格学不及格，那么那么， 数学成绩优秀的有几个学生数

28、学成绩优秀的有几个学生？ 有几个人既会游泳有几个人既会游泳，又会滑冰又会滑冰？ 【分析分析】 有6个数学不及格，那么及格的有：25619 (人)，即最多不会超过19人会这三项运 动之一而又因为没人全会这三项运动，那么，最少也会有：17138219 （）(人)至少 会这三项运动之一于是，至少会三项运动之一的只能是19人，而这19人又不是优秀，说 明全班25人中除了19人外，剩下的6名不及格，所以没有数学成绩优秀的 上面分析可知，及格的19人中，每人都会两项运动：会骑车的一定有一部分会游泳， 一部分会滑冰；会游泳的人中若不会骑车就一定会滑冰，而会滑冰的人中若不会骑车就一 定会游泳，但既会游泳又会滑

29、冰的人一定不会骑自行车所以，全班有19172(人)既会 游泳又会滑冰 【拓展拓展】六年级六年级 (2) 班参加一次智力竞赛班参加一次智力竞赛，共共 a、b、c 三题三题.每题或者得满分或者得每题或者得满分或者得 0分分，其中题其中题 a 满分满分 20 分分，题题 b、c 满分各是满分各是 25 分分.竞赛结果竞赛结果，每个学生至少答对了一题每个学生至少答对了一题，三题全答对的有三题全答对的有 1 人人， 答对其中两题的有答对其中两题的有 15 人人.答对题答对题 a 与答对题与答对题 b 的人数之和为的人数之和为 29；答对题答对题 a与答对题与答对题 c 的人数之和为的人数之和为 25；答

30、对题答对题 b 与答对题与答对题 c 的人数之和为的人数之和为 20，那么这个班的平均成绩是那么这个班的平均成绩是_分分. 【分析分析】设答对 a 题的有 x 人，答对b 题的有 y 人，答对c 题的有 z人，根据已知条件可列出方程 组 29 25 20 xy xz yz 解得 17 12 8 x y z 根据容斥原理， 这个班的总人数为： （17128） 152=20. 所以，这个班的平均分为： （17 2012 258 25） 20=42. 例 7 9第 9级上 超常体系教师版 第 13 讲 在某次大赛的决赛中只有三道题在某次大赛的决赛中只有三道题. 已知已知： （1）某校某校 25 名学

31、生参加竞赛名学生参加竞赛，每个学生至少解出一道题每个学生至少解出一道题； （2）在所有没有解出第一题的学生中在所有没有解出第一题的学生中，解出第二题的人数是解出第三题的人数的解出第二题的人数是解出第三题的人数的 2 倍倍； （3）只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多 1 人人； （4）只解出一道题的学生中只解出一道题的学生中，有一半没有解出第一题有一半没有解出第一题，那么只解出第二题的学生人数是那么只解出第二题的学生人数是_ (学案对应学案对应：带号带号4) 【分析分析】如下设未知数其中阴影部分的总面积为 a+b- 1 根据题意可

32、列出如下式子： 2() ()(1)25 axbx abababx 化简后得： 20(1) 3326(2) bax bax 因为0x ,且所有数均为整数，由(2)式可知8ab 两式相减得：426ba，整数解只有 6 2 a b 因此只解出第二题的学生人数是 6 人. 例 8 10第 9级上超常体系 教师版 容斥原理容斥原理I：两两量重叠问题量重叠问题 ABABAB 容斥原理容斥原理II：三量重叠问题三量重叠问题 ABCABCABBCACABC 1.以以 105 为分母的最简真分数共有多少个为分母的最简真分数共有多少个？ 【分析分析】以 105 为分母的最简真分数的分子与 105 互质，105=3

33、 5 7，所以也是求 1到 105 不是 3、 5、7倍数的数有多少个，3 的倍数有35 个，5 的倍数有 21 个，7的倍数有 15 个，15 的倍 数有 7 个，21 的倍数有5 个，35 的倍数有 3 个，105 的倍数有 1 个，所以105 以内与 105 互质的数有 105- 35- 21- 15+7+5+3- 1=48 个. 2.分母是分母是 385 的最简真分数有多少个的最简真分数有多少个？ 【分析分析】385=5 7 11，不超过 385 的正整数中被 5 整除的数有 77 个；被 7整除的数有 55 个；被 11 整除的数有 35 个； 被 77 整除的数有 5 个； 被 3

34、5 整除的数有 11 个； 被 55 整除的数有 7个； 被 385 整除的数有 1 个；最简真分数的分子可以有 385- 77- 55- 35+5+11+7- 1=240. 3.在一个自助果园里在一个自助果园里，只摘山莓者两倍于只摘李子者只摘山莓者两倍于只摘李子者；摘了草莓摘了草莓、山莓和李子的人数比只摘李子山莓和李子的人数比只摘李子 消失的一块钱消失的一块钱 有 3 个人去投宿,一晚30 元.三个人每人掏了 10 元凑够30 元交给了老板.后来老板说今天 优惠只要 25 元就够了, 拿出 5 元让服务生退还给他们，服务生偷偷藏起了 2 元,然后,把剩下 的 3 元钱分给了那三个人,每人分到

35、 1 元.这样， 一开始每人掏了 10 元,现在又退回 1 元,也就是 10- 1=9,每人只花了 9 元钱，3 个人每人 9 元，39 =27 元，再加服务生藏起的2 元共 29 元， 还有 1 元钱去了那里？ 答案：这道题用了人的一种思维盲点，这种逻辑算法是本身错误的。你可以这样想的，开始 的时候那 30 块钱都被老板拿走了，这样每个人都花了 10 块钱。当老板发现打折后，他给了 服务员 5 块钱，这样现在老板就有 25，服务员有5 块。当服务员拿出 2块钱，给那三个人每 人 1 块后，这 30 块钱就变成 3 部分，老板 25，服务员 2 块，那三个人一共 3 块。现在这三 个人的确是每

36、人花了 9 块，一共27 块，可是这 27 块不正是老板和服务员手中钱的总数吗， 所以应该是他们花的那 27 块钱和他们手中有的那 3块构成了那 30 块钱。 附加题附加题 知识点总结知识点总结 11第 9级上 超常体系教师版 第 13 讲 的人数多的人数多3个个； 只摘草莓者比摘了山莓和草莓但没有摘李子者多只摘草莓者比摘了山莓和草莓但没有摘李子者多4人人；50个人没有摘草莓个人没有摘草莓；11个个 人摘了山莓和李子但没有摘草莓人摘了山莓和李子但没有摘草莓；总共有总共有60人摘了李子人摘了李子.如果参与采摘水果的总人数是如果参与采摘水果的总人数是100，你你 能回答下列问题吗能回答下列问题吗？

37、 有有_人摘了山莓人摘了山莓； 有有_人同时摘了三种水果人同时摘了三种水果； 有有_人只摘人只摘 了山莓了山莓； 有有_人摘了李子和草莓人摘了李子和草莓，而没有摘山莓而没有摘山莓； 有有_人只摘了草莓人只摘了草莓. 草莓 李子 山莓 G F ED C B A 【分析分析】如图，根据题意有 2AC 3GC 4BE 50ADC 11D 60CDFG 40ABE 代入求解：26A ，9B ，13C ，11D ，5E ，20F ，16G 所以有261151658ADEG (人)摘了山莓； 有16人同时摘了三种水果； 有26人只摘了山莓； 有20人摘了李子和草莓，而没有摘山莓； 有9人只摘了草莓. 4.

38、五一班有五一班有 28 位同学位同学，每人至少参加数学每人至少参加数学、语文语文、自然课外小组中的一个自然课外小组中的一个其中仅参加数学与语其中仅参加数学与语 文小组的人数等于仅参加数学小组的人数文小组的人数等于仅参加数学小组的人数，没有同学仅参加语文或仅参加自然小组没有同学仅参加语文或仅参加自然小组，恰有恰有 6 个个 同学参加数学与自然小组但不参加语文小组同学参加数学与自然小组但不参加语文小组，仅参加语文与自然小组的人数是仅参加语文与自然小组的人数是 3 个小组全参加个小组全参加 的人数的的人数的 5 倍倍，并且知道并且知道 3 个小组全参加的人数是一个不为个小组全参加的人数是一个不为 0

39、 的偶数的偶数，那么仅参加数学和语文那么仅参加数学和语文 小组的人有多少人小组的人有多少人？ 【分析分析】参加 3 个小组的人数是一个不为 0 的偶数，如果该数大于或等于 4，那么仅参加语文与自 然小组的人数则大于等于 20，而仅参加数学与自然小组的人有 6 个，这样至少应有30 人， 与题意矛盾，所以参加 3 个小组的人数为 2仅参加语文与自然小组的人数为10，于是仅 参加语文与自然、仅参加数学与自然和参加 3 个小组的人数一共是 18 人，剩下的 10 人是 仅参加数学与语文以及仅参加数学的由于这两个人数相等，所以仅参加数学和语文小组 的有 5 人 1.在在 1 至至 100 这这 100

40、 个自然数中个自然数中，既不能被既不能被 5 整除也不能被整除也不能被 9 整除的数整除的数共有共有_个个 【分析分析】能被 5 或 9 整除的数共有 100100100 2011229 5945 个不能被 5 或 9 整除的 数共 100- 29=71 个 2.甲甲、乙乙、丙同时给丙同时给 100 盆花浇水盆花浇水已知甲浇了已知甲浇了 78 盆盆，乙浇了乙浇了 68 盆盆，丙浇了丙浇了 58 盆盆，那么那么 3 人都人都 浇过的花最少有多少盆浇过的花最少有多少盆? 家庭作业家庭作业 12第 9级上超常体系 教师版 【分析分析】78+68+58- 100 2=4 盆 3.参加语文竞赛的有参加语

41、文竞赛的有 5人人， 参加数学竞赛的有参加数学竞赛的有 9 人人， 参加英语竞赛的有参加英语竞赛的有 21 人人， 每人最多参加两科每人最多参加两科， 那么至少有那么至少有人参加这次竞赛人参加这次竞赛 【分析分析】由于每人最多参加两科，也就是说有参加 2 科的，有参加 1 科的，要求参加的人最少，那 么尽可能让每人都参加两科，所以理论上至少有(5921)217.5 人参加竞赛，但参加 英语竞赛的有 21 人，因此至少应该有 21 人参加竞赛。 4.一根一根 101 厘米长的木棒厘米长的木棒，从同一端开始从同一端开始，第一次每隔第一次每隔 2 厘米画一个刻度厘米画一个刻度，第二次每隔第二次每隔

42、3 厘米画厘米画 一个刻度一个刻度，第三次每隔第三次每隔 5厘米画一个刻度厘米画一个刻度，如果按刻度把木棒截断如果按刻度把木棒截断，那么可以截出那么可以截出_段段 【分析分析】要求出截出的段数，应当先求出木棒上的刻度数， 而木棒上的刻度数，相当于 1、2、 3、 、 100、101 这 101 个自然数中 2 或 3 或 5 的倍数的个数，为： 101101101101101101101 74 23523253 523 5 ，故木棒上共有 74 个刻 度，可以截出75 段 5.体育课上体育课上，60 名学生面向老师站成一行名学生面向老师站成一行，按老师口令按老师口令，从左到右报数从左到右报数：

43、1，2，3，60，然后然后， 老师让所报的数是老师让所报的数是 4 的倍数的同学向后转的倍数的同学向后转，接着又让所报的数是接着又让所报的数是 5 的倍数的同学向后转的倍数的同学向后转，最后最后 让所报的数是让所报的数是 6 的倍数的同学向后转的倍数的同学向后转，现在面向老师的学生有现在面向老师的学生有_人人 G F E D C B A 【分析分析】面向老师的学生就是向后转 2 次或转 0 次的学生，如图A圆圈表示 4 的倍数的个数，B圆 圈表示 5 的倍数的个数，C圆圈表示 6 的倍数的个数，D、E、F部分表示向后转两次的 学生个数，G部分表示向后转 3 次学生的个数，4,520，4,612

44、，5,630， 4,5,660，60415 ，60512 ，60610 ，60203，60125，60302， 60601，所以向后转两次学生的个数为3521 37 （人） ，根据容斥原理求得向 后转 1 次，2 次，3 次学生共有151210352128 （人） ，所以向后转 0 次的学生 有602832（人） ，所以最后面向老师的学生有32739 (人) 6.学而思的一场竞赛选拔考试学而思的一场竞赛选拔考试，试卷一共有试卷一共有 5 道题道题，规定答对规定答对 3 道及道及 3 道以上的人能通过考试道以上的人能通过考试。 发卷子时发卷子时，张老师说张老师说：“ 这次考试一共有这次考试一共有

45、 5 个班的个班的 100 位同学参加位同学参加，答对第答对第 1 题到第题到第 5 题的依次题的依次 有有 80、92、86、78、74 人人。在公布每位同学的成绩之前在公布每位同学的成绩之前，我想我想问大家一个问题问大家一个问题：这次考试最少这次考试最少 有多少位同学能通过呢有多少位同学能通过呢？最多有多少位同学通过呢最多有多少位同学通过呢？” 【分析分析】因为要算至少有多少人能通过考试， 所以应该让答对 2 题的尽量多， 且答对 5题的尽量多， 然后是答对 4 题的也尽量多。因为80+92+86+78+74=410（道） ，去掉每人2 道，还有 410- 1002=210（道） ，而 2105- 2 =7074，所以至少有 70 人能通过考试。 因 为 要 算 至 多 有 多 少 人 能 通 过 考 试 ， 所 以 应 该 让 答 对 3 题 的 尽 量 多 ， 因 为 80+92+86+78+74=410（道） ，显然可以做到每人对 3 道题，因此最多有 100 人能通过考试。 7.新年联欢会上新年联欢会上，共有共有 90 人参加了跳舞人参加了跳舞、合唱合唱、演奏三种节目的演出演奏三种节目的演出如果只参加跳舞的人数三如果只参加跳舞的人数三 倍于只参加合唱的人数倍于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参