著名机构五年级数学暑假讲义第12讲.分组与配对.超常体系

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1、1第 9级上 超常体系教师版 第 12 讲 四年级秋季 等差数列进阶 四年级春季 统筹与最优化 五年级暑假 分组与配对 五年级秋季 几何计数进阶 五年级春季 从反面情况考虑 高斯求和；分组配对思想；计算，数论，计数等问题中的分 组与配对 漫画释义漫画释义 知识站牌知识站牌 第十二第十二讲讲 分组与配对分组与配对 2第 9级上超常体系 教师版 我国历史上有许多以弱胜强的著名战例，齐魏马陵之战就是其中之一公元前 344 年，魏国大 举进攻韩国，齐王派田忌和孙膑率兵救援韩国孙膑并不直接出兵韩国，却采取了“围魏救赵”的 策略，驱军直逼魏国的都城魏将庞涓不得不回师迎战齐军魏军一路追击齐军，庞涓看见齐军宿

2、 营地的灶一天天在减少，根据灶的数目可以推算出齐军的数目，断定齐军已经严重减员便轻骑冒 进，猛打穷追殊不知这原来是孙膑的“增兵减灶”之计，结果庞涓中了齐军的埋伏，全军覆灭 如果不是孙膑制造假象设下陷阱，庞涓的思想是正确的例如若一口灶供 10 人造饭，齐军有 3 万灶， 便可推知齐军有 30 万人生活中， 我们习惯将牙刷与牙膏放在一起、将菜刀和砧板放在一起、 将茶具和茶叶放在一起，当我们要使用这些东西的时候就会非常方便；而在数学中，我们习惯把 1 和 9 加到一起，把 3 和 7 加到一起，把 2 和 5 先相乘，那么计算起来也会非常便捷其实上面这些 例子体现了我们数学中一个非常重要的思想分组与

3、配对 之前学习等差数列的时候， 我们曾经介绍过高斯将1 至 100 按照 （1,100） ， （2,99） ， ， （50,51） 分成 50 组，每组相加都为 101，再通过 501015050 来得出 12100 的和，高斯其实就是 利用了分组配对的思想快速解决了复杂的计算 1.掌握分组与配对的思想 2.灵活运用分组与配对，解决计数，数论等问题 1. 计算中将一些和、差、积是整十、整百、整千的数分成一组一组优先计算可以提高我们计算 的速度以及准确度 2. 在一些数论或者组合问题中，将一些具有相同特征的对象分到一组一起考虑可以让思路更加清 晰 模块模块 1：例例 1- 4：计算与计数中的分组

4、配对计算与计数中的分组配对 模块模块 2：例例 5：应用题中的分组配对应用题中的分组配对 模块模块 3：例例 6- 8：数论中的分组配对数论中的分组配对 经典精讲经典精讲 例题思路例题思路 课堂引入课堂引入 教学目标教学目标 3第 9级上 超常体系教师版 第 12 讲 计算计算： ( (1) )1000999- 998- 997996995- 994- 993108107- 106- 105104103- 102- 101 ( (2) )1351989 -2461988 （） （） ( (3) ) 222222222222 100999897969594934321 ( (4) ) 22222

5、222 1005099499848511 ( (学案对应学案对应：超常超常 1) ) 【分析分析】(1)原式 =1000999998997996995994993104103102101900 （）（）（） (2)1351989 -2461988 （） （） 13- 25- 41989- 1988 1 11989- 12 1994 995 （）（）（） （） (3)原式= 222222222222 100999897969594934321 = 100999897969594934321 =425=100 (4)法 1：直接配公式 原式= 2222222222 1009998515049125

6、0491 =100 101 201 5051 101 2 66 =33835085850=252500 法 2：配对思想 原式= 22222222 1005099499848511 =100505099+495098485051 150 =(10099981)50505050252500 法 3：配对思想 原式= 2222222222 10099198 - 297351 - 4950 = 2 10098 10096 10094 1002 1002500 =(1009896942) 1002500 =2550002500=252500 如下图所示的表中有如下图所示的表中有 55 个数个数，那么它

7、们的和等于多少那么它们的和等于多少？ 17131925313743495561 28142026323844505662 39152127333945515763 410162228344046525864 511 172329354147535965 ( (学案对应学案对应：带号带号1) ) 【分析分析】法 1： 用基本公式算所给数列的和， 可以一行行算， 或者一列列算， 然后把所得的和相加（比 较慢，这里不写具体过程） 例 2 例 1 4第 9级上超常体系 教师版 法 2：先算出 1到 65 的自然数和，再减去数列 6，12，18，60 的和： 1656526601022145330181

8、5 （）（） 法 3：每一行或者每一列的和均构成一个等差数列，利用等差数列和中间项项数 第 6 列作为中间项，求和再乘以项数：3132333435111815 （） 第 3 行为中间数列，求和再乘以项数： 3915212733394551576351815 （） 法 4：分组与配对(1，65)，(2，64)，(32，34)，(33)，每组的平均数均为 33，因此和 33551815 由数字由数字 1，2，3，4，5，6，7，8，9 可以可以组成组成多少个多少个没有重复数字的四位数没有重复数字的四位数？这些四位数的和是多这些四位数的和是多 少少？ ( (学案对应学案对应：超常超常2，带号带号 2

9、) ) 【分析分析】9 个数字共可构成 9876=3024 个不同的四位数当存在符合条件的四位数abcd时， 也一定存在另一符合条件的四位数(10)(10)(10)(10)abcd， 而这两个数之和为 11110， 因此所有符合条件的数之和为3024211110=16798320 从从 1，2，3，4，5，6 这这 6 个不同的数个不同的数中选中选出出 1 个或若干个数个或若干个数，使使选出的所有数选出的所有数的和为的和为 3 的倍数的倍数共共 有多少种不同的选法有多少种不同的选法 【分析分析】1+2+3+4+5+6=21，21 是 3 的倍数因此选出和为 3 的方法与选出和为 18 的方法相

10、同；和 为 6 的方法与和为 15 的方法相同；和为 9的选法与和为 12 的方法相同 (1)和为 3的选法有 1+2，3 共 2 种； (2)和为 6的选法有 1+2+3，1+5，2+4，6 共 4 种； (3)和为 9的选法有 1+2+6，1+3+5，2+3+4，3+6，4+5 共 5 种； (4)和为 21 的选法有1 种 共 2(2+4+5)+1=23 种不同的选法 【铺垫铺垫】用用 30 枚枚 2 分的硬币和分的硬币和 8 枚枚 5分硬币不能构成的分硬币不能构成的 1 分到分到 1 元之间的币值有多少种元之间的币值有多少种？ 高斯的恩人 在成长过程中，幼年的高斯主要得力于母亲和舅舅：

11、高斯的母亲罗捷雅和舅舅弗利德里希 （Friederich） 。弗利德里希富有智慧，为人热情而又聪明能干，投身于纺织贸易颇有成就。他 发现姐姐的儿子聪明伶俐，因此他就把一部分精力花在这位小天才身上，用生动活泼的方式开 发高斯的智力。若干年后，已成年并成就显赫的高斯回想起舅舅为他所做的一切，深感对他成 才之重要。当舅舅去世后，高斯不无伤感地说: “舅舅去世使我们失去了一位天才”。正是由 于弗利德里希慧眼识英才，经常劝导姐夫让孩子向学者方面发展，才使得高斯没有成为园丁或 者泥瓦匠。 例 4 例 3 5第 9级上 超常体系教师版 第 12 讲 【分析分析】302+85=100 分最多能构成 100 分

12、的在 1 到 100 中，若不能构成 a 分，则同样不能 构成(100-a)分因此只需要考虑 50 以内不能构成的币值即可 显然 1， 3 两种币值不能构成 50 以内的偶数均可构成 而这些数加 5 后可构成 5， 7， 9， ， 49 中间的所有奇数因此 50 以内不能构成的币值为 1，3 分50 以上不能构成的币值为 100-1=99 和 100-3=97 分 共有 4 种不能构成的币值 【巩固巩固】从从 1、2、3、4、5、6、 7、 8、 9 中选出中选出 7 个数个数，使得它们的和是使得它们的和是 3的倍数的倍数，共有共有_ 种不同选法种不同选法. . 【分析分析】因为1239192

13、 945 ，所以这 9 个数的和是 3 的倍数，因此，只需要剩 下 2 个数之和是 3 的倍数即可. 从 3、6、9 中任选 2 个有3 种不同选法. 从 1、2、4、5、7、8 中选2 个，其和为 3 的倍数的有 12，、15，、18，、24，、27，、45，、48，、57，、78，即有 9 种不同选法. 有四人的体重都是整千克数有四人的体重都是整千克数，他们两两合称体重他们两两合称体重，共称了五次共称了五次，称得的千克数分别称得的千克数分别 99、113、125、 130、144. .其中有两人没有一起称过其中有两人没有一起称过，那么这两人中较重的那个人的体重是多少千克那么这两人中较重的那

14、个人的体重是多少千克？ ( (学案对应学案对应：超常超常3) ) 【分析分析】本题考查配对思想.设四个人的体重为, , ,a b c d不妨设abcd ， 则()()()()()()abcdacbdadbc 注意到99144113130243，由于四人两两称重最多称出 6 个体重（前提是 4 人体重 两两不同） ，于是第六次称重的结果为243125118 144 130 113 99 ab ac bd cd ，还剩ad与bc的取值，由前面的方程组得，31ad 为奇数，所以 125ad ，解得78,47ad，从而66,52bc，两人没一起称过，显然是和为 118的 两人，这只能是, b c，所以

15、，这两人中较重的那人的体重是 66 千克. 某大型活动共发行了某大型活动共发行了 100 万张彩票万张彩票，编号分别从编号分别从 000000 至至 999999，如果彩票的前三位数字之和与如果彩票的前三位数字之和与 后三位数字之和相等后三位数字之和相等，则称这张彩票是则称这张彩票是“幸运的幸运的” 如如：123006. .证明证明：所有所有“幸运的幸运的”彩票编号之彩票编号之 和是和是 13 的倍数的倍数 ( (学案对应学案对应：带号带号3) ) 【分析分析】设abcdef是“幸运的” ，则(9)(9)(9)(9)(9)(9)abcdef也是“幸运的” ，而这两个 数的和为 999999.另

16、外999999 不能拆成 2 个相同的数之和，即不存在同组中的两个数相等 的情况因此所有“幸运的”编号之和为 999999 的倍数999999 是 13 的倍数因此所有 “幸运的”彩票之和是 13 的倍数 例 6 例 5 6第 9级上超常体系 教师版 分母为分母为 328 的所有最简的所有最简真真分数之和是多少分数之和是多少？ 【分析分析】当 328 a 为最简分数时， 328 328 a 也是最简分数而这两个数之和为 1.因此此题变为先求出 分子与 328 互质的数有多少个，再除以 2 即可 3 328241,与 328 互质且小于 328 的数 有 328328 160 2241 个所以和

17、为1602=80. 已知有一个最简分数可以写成已知有一个最简分数可以写成 131 1 3 1 2 1 1 n m ，试说明试说明m是质数是质数137的倍数的倍数. . ( (学案对应学案对应：超常超常4，带号带号 4) ) 【分析分析】我们要凑到137.于是我们想到 131 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 n m 类似的 69 1 68 1 130 1 7 1 131 1 6 1 60 137 n m 进而我们有 6968 137 1307 137 1316 137 60 137 n m ，等式两边同时乘以n!131. Mnm137!131，其中M是自然数.由于137是

18、一个质数，且(131!,137)1，所以m是 137的倍数. 例 7 例 8 高斯智断瓶中线高斯智断瓶中线 卡尔弗利德里希高斯（17771855 年）是德国 19 世纪著名的数学家、物理学家。 高斯不到 20 岁时，在许多学科上就已取得了不小的成就。对于高斯接二连三的成功，邻居 的几个小伙子很不服气，决心要为难他一下。一个阳光明媚的中午，小伙子们聚到一起冥 思苦想，终于想出了一道难题。他们用一根细棉线系上一块银币，然后再找来一个非常薄 的玻璃瓶，把银币悬空垂放在瓶中，瓶口用瓶塞塞住，棉线的另一头也系在瓶塞上。准备 好以后，他们小心翼翼地捧着瓶子，在大街上拦住高斯，用挑衅的口吻说道， “你一天到

19、晚 捧着书本，拿着放大镜东游西逛，一副蛮有学问的样子，你那么有本事，能不碰破瓶子， 不去掉瓶塞，把瓶中的棉线弄断吗？”你知道高斯是怎么弄到瓶中线吗？ 答案：高斯无意地看到明媚的阳光，又望了望那个瓶子，从口袋里拿出一面放大镜， 对着瓶子里的棉线照着，一分钟、两分钟.人们好奇地睁大了眼，随着钱币“铛”的一声掉 落瓶底，大家发现棉线被烧断了。 7第 9级上 超常体系教师版 第 12 讲 1. 计算中将一些和、差、积是整十、整百、整千的数分成一组一组优先计算可以提高我们计算 的速度以及准确度 2. 在一些数论或者组合问题中，将一些具有相同特征的对象分到一组一起考虑可以让思路更加清 晰 1.100 个连

20、续自然数的和是个连续自然数的和是 8450,取其中第取其中第 1 个个,第第 3 个个,第第 5 个个,第第 99 个个( (按从小到大的顺序取按从小到大的顺序取) ), 再把这再把这 50 个数相加个数相加,和是多少和是多少？ 【分析分析】连续自然数中相邻两数差为 1，100 个数可以分成 50 组，第 2，4，6，100 个数之和比 第 1， 3， 5， ， 99 个数之和大 50， 由和差问题可知， 第奇数个数之和为(8450-50)2=4200 2.下列数阵中有下列数阵中有 100 个数个数，它们的和是多少它们的和是多少？ 1112131920 1213142021 131415212

21、2 2021222829 【分析分析】法 1： 用基本公式算所给数列的和， 可以一行行算， 或者一列列算， 然后把所得的和相加（比 较慢，这里不再写具体过程） 法 2：每一行或者每一列的和均构成一个等差数列，利用等差数列求和计算 首项11 12201120102155 （）， 末项2021292029102245 （）或者15510110245 （）这 100 个数 之和1552451022000 （）按列算同上 法 3：从右上到左下的对角线上的数都是 20，沿此对角线对折，上下重叠的两数之和都是 40，所以这 100 个数的平均数是 20，这 100 个数之和20 1002000 3.将自然

22、数将自然数 1，2，3，100 依次依次无间隔地写成一个多位数无间隔地写成一个多位数：1234599100，求这个多位数的所求这个多位数的所 有数字之和有数字之和 【分析分析】求数字和时，凑“9”是个关键的想法分组如下：(1，98)，(2，97)，(3，96)，(49， 50)，(99)，(100)这样前 50 组每组的数字和均为 18，最后一组和为 1，数字之和为 50 18+1=901 4.从从 1，2，3，4，5，6 中选取若干个数中选取若干个数（至少至少选一个选一个） ，使得它们的和是使得它们的和是 3 的倍数的倍数，但不是但不是 5 的的 倍数倍数那么共有那么共有种不同的选取方法种不

23、同的选取方法 【分析分析】1+2+3+4+5+6=21，21 是 3 的倍数因此选出和为 3 的方法与选出和为 18 的方法相同；和 为 6 的方法与和为 15 的方法相同；和为 9的选法与和为 12 的方法相同 (1)和为 3的选法有 1+2，3 共 2 种； (2)和为 6的选法有 1+2+3，1+5，2+4，6 共 4 种； 知识点总结知识点总结 家庭作业家庭作业 8第 9级上超常体系 教师版 (3)和为 9的选法有 1+2+6，1+3+5，2+3+4，3+6，4+5 共 5 种； (4)和为 21 的选法有1 种 但要求不是 5 的倍数因此 共 2(2+5)+4+1=19 种不同的选法

24、 5.有五个重量都互不相同的箱子有五个重量都互不相同的箱子，每个的重量都小于每个的重量都小于 100 kg，将这些箱子两两组合一起称重将这些箱子两两组合一起称重，得得 到的结果分别为到的结果分别为 113, 116, 110, 117, 112, 118, 114, 121, 120 与与 115 kg. .请问最重的箱子的重量请问最重的箱子的重量 为多少为多少 kg？ 【分析分析】设五个箱子的重量分别为 a,b,c,d,e，且abcde 因为每个箱子都被算了4 次，因此 五个箱子的重量之和为 113116110117112118114121 1201151156 289 44 另外，由题意可

25、知 110 120 121 ab ce de ，因此c=289-110-121=58,进而得 e=120-58=62 因此最重的箱子重量为 62kg. 6.某大型活动共发行了某大型活动共发行了 9999 张彩票张彩票，编号编号分别从分别从 0001 至至 9999，如果彩票的如果彩票的编号能被编号能被 99 整除整除，则则 称这张彩票是称这张彩票是“幸运的幸运的” 如如：0198. .求求所有所有“幸运的幸运的”彩票编号之和彩票编号之和 【分析分析】在 1-9999中共有 9999 101 99 个 99的倍数 其中0099+9900=0198+9801=4999+5000=9999. 因此所

26、以“幸运的”彩票编号之和为(50+1)9999=509949 7.分母为分母为 1996的所有最简的所有最简真真分数之和是多少分数之和是多少？ 【分析分析】当 1996 a 为最简分数时，1996 1996 a 也是最简分数 而这两个数之和为 1.因此此题变为先求出 分子与 1996 互质的数有多少个， 再除以 2即可1996 含有的质因数有 2 和 499.与 1996 互 质的数为奇数， 且不能是 499 和 4993， 因此共有 19962-2=996 个 所以此题结果为 996 2=498. 8.已知有一个最简分数可以写成已知有一个最简分数可以写成 2010 1 3 1 2 1 1 n

27、 m ，试说明试说明m是质数是质数2011的倍数的倍数. . 【分析分析】把分数首尾两两结合，使得相加后分子为2011.即： 10061005 2011 20083 2011 20092 2011 20101 2011 1006 1 1005 1 2009 1 2 1 2010 1 1 n m 等式两边同时乘以n!2010， 可得Mnm2011!2010， 其中M是一个自然数.由于2011 是一个质数，且(2010!,2011)1，所以m是2011的倍数. 【超常班学案超常班学案 1】定义如下运算定义如下运算：,= baba a ba b baba ，那么那么 (1 2)(3 4)(5 6)(

28、2011 2012)(1 2)(3 4)(5 6)(2011 2012) =_ 超常班学案超常班学案 9第 9级上 超常体系教师版 第 12 讲 【分析分析】由题中定义的运算我们可以得到()()1 baba a ba b baba ，那么根据乘法可以交换顺 序，我们将所要求的算式中形如()a b，()a b的配成一对，先相乘，可以得到 原 式 = (1 2)(1 2)(3 4)(3 4)(5 6)(5 6)(2011 2012)(2011 2012) 每个中括号中的结果都是 1，那么原式的结果也为 1 【超常班学案超常班学案 2】将自然数将自然数 1，2，3，369 依次无间隔地写成一个多位数

29、依次无间隔地写成一个多位数：12345368369，求求 这个多位数的所有数字之和这个多位数的所有数字之和. . 【分析分析】求数字和时，凑“9”是个关键的想法此题中可将数分成两部分，129 单独计算，分组 如下(1，28)，(2，27)，(3，26)，(14，15)，(29)；30-369 分组如下：(30，369)， (31，368)，(32，367)，(199，200).这样所有数字之和为 1511+21170=3735 【超常班学案超常班学案 3】 有四人的体重都是整千克数有四人的体重都是整千克数,他们两两合称体重他们两两合称体重,共称了共称了 6 次次,称得的千克数分别称得的千克数分

30、别 88、 121、129、143、154、187.但是其中有一个数计错了但是其中有一个数计错了,那么这那么这四人的体重从小到大分别是多少四人的体重从小到大分别是多少? ?请写出请写出 所有可能所有可能 【分析分析】设 这 四 人 的 体 重 分 别 是, , ,A B C D, 任 取 两人 称 量 的 方 法 数 为 2 4 6C 种 . 恰 好 为 ,AB AC AD BC BD CD这六个数就是 88、121、129、143、154、187（但 其中有一个是错误的）.我们发现 ABCDADBCACBD. 所 以 ,88 、 121 、 129 、 143 、 154 、 187 中 应

31、 有 两 对 数 的 和 是 相 等 的 , 经 检 验 88187121 154275.不妨设ABCD ,则有： 88 187 121 154 AB CD AC BD 从上面可发现 C- B=121- 88=33, 所以 C+B 必为奇数进而可知 129,143 中必有一个是 C+B 的和(若 129 或 143 错,则对的数为偶数,奇偶矛盾)以下分两种情况考虑： 若 B+C=129,由和差可得到B=48,C=81,进而可得 A=40,D=106. 若 B+C=143,由和差可得到B=55,C=88,进而可得 A=33,D=99. 综上所述,一共有两种可能：40、48、81、106 或 33

32、、55、88、99. 【超常班学案超常班学案 4】试说明试说明：将和将和 40 1 3 1 2 1 1写成一个最简分数写成一个最简分数 n m 时时，m不会是不会是5的倍数的倍数. . 【分析分析】我们将原式通分发现公分母中只有25能被 2 5整除，因此通分后，公分母是A 2 5，A是不 能被5整除的自然数（事实上3731292319171311732 35 A） ，并且除去其 中的 25 1 通分之后变为 A A 25 ，其他的分数的分子都是5的倍数. 于是原式 个个15 4026 24 2421 25 5 25 5 2525 5 25 5 25 5 A x A x A A A x A x

33、A x ， 其中 i x25.40,2 , 1ii不是 5的倍数. 进而有原式 A AB 25 5 ，其中B是一个自然数.而A是不能被5整除的自然数，所以 AB 5化简之后的m也不能被5整除. 10第 9级上超常体系 教师版 【超常超常 123 班学案班学案 1】下面方阵中所有数的和是多少下面方阵中所有数的和是多少？ 1901 1902190319041950 19021903190419051951 19031904190519061952 19481949195019511997 194919501951 19521998 【分析分析】法 1：我们不难看出，每一行、每一列都是一个等差数列，

34、通过观察，每一列的相邻两个 数都相差 1，由于每一行都有 50 个数，所以每行的和构成公差为 50 的等差数列 第一行的和我们可以求出，为：1901 195050296275 （） 一共有19491901 1（）行，每行的和构成首项为 96275，公差为 50，项数为 49 的等差数 列，那么最后一行的和为：962755049198675 （），所以，方阵中所有数的总和为 96275986754924776275 （） 法 2：此题是 4950 的方阵将(1901，1998)，(1902，1997)，(1949，1950)当成一组， 则每组的和均为 3899，这样原来所有数的和为 495023

35、899=4776275 【超常超常 123 班学案班学案 2】从自然数从自然数 1，2，3，4，5，6，7，8，9 中每次取出所有可能的中每次取出所有可能的 1 个数个数，2 个数个数， 3 个数个数，9 个数个数，先求每次取出数的和先求每次取出数的和，再求出所有和的总和再求出所有和的总和则这个总和是多少则这个总和是多少？ 【分析分析】当取出 1 个数时,还剩下 8 个数,这 8 个数会在之后取出,因此可以将取 1 个数与取8 个数分 组配对这样每取一次,和为 45.分组配对如下：(取 0 个数仅为和取 9 个数配对,方便计算) (0,9),(1,8),(2,7),(3,6),(4,5) 从取

36、 0 个数到取9 个数,共取了 0123456789 9999999999 2(193684126)512CCCCCCCCCC (或 9 2512) 次总和为 512245=11520 【超常超常 123 班学案班学案 3】某大型活动共发行了某大型活动共发行了100 万张彩票万张彩票，编号分别从编号分别从 000000 至至 999999，如果彩票如果彩票 的前三位数字的前三位数字与后三位数字与后三位数字相相同同( (包括顺序包括顺序) )，则称这张彩票是则称这张彩票是“幸运的幸运的” 如如：125125. .求求所有所有“幸幸 运的运的”彩票编号之和彩票编号之和 【分析分析】设abcabc是

37、“幸运的” ，则(9)(9)(9)(9)(9)(9)abcabc也是“幸运的” ，而这两个 数的和为 999999.另外999999 不能拆成 2 个相同的数之和，即不存在同组中的两个数相等 的情况因此所有“幸运的”编号之和为 999999 的倍数abc可以从 000 到 999 共 1000 种选择，因此所有“幸运的”彩票之和是 99999910002=499999500 【超常超常 123 班学案班学案 4】设设p为奇质数为奇质数，正整数正整数mn、满足满足 111 1 231 m np .证明证明：p m. 【分析分析】 11111 1 1111 122 2222 m npp pp 123 班学案班学案 11第 9级上 超常体系教师版 第 12 讲 1 122 1111122 2222 1 !1 !1 ! = 1 ! p ppp pp pp kp k pk p ppp Kp p 其中 i k表示通分后除去p以外的乘数（ 1 1 2 p i ）. 而设 121 2 p Kkkk .这样可得1 !m pnKp 由于p是一个奇质数，那么p与1 !p 互质，则有p m