北京四中七年级上册数学正比例函数（提高）知识讲解

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1、第 1 页 共 4 页 正比例函数（正比例函数（提高提高） 【学习目标】【学习目标】 1. 理解正比例函数的概念，能正确画出正比例函数ykx的图象； 2. 能依据图象说出正比例函数的主要性质，解决简单的实际问题 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、要点一、正比例函数的定义正比例函数的定义 1 1、正比例函数的定义、正比例函数的定义 一般的，形如ykx （k为常数，且k0）的函数，叫做正比例函数.其中k叫做比 例系数. 2 2、正比例函数的等价形式、正比例函数的等价形式 （1） 、y是x的正比例函数； （2） 、y k x （k为常数且k0） ； （3） 、若y与x成正比例； （4） 、k x y

2、 （k为常数且k0）. 要点二、要点二、正比例函数的图象与性质正比例函数的图象与性质 正比例函数ykx（k是常数，k0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直 线ykx.当k0 时，直线ykx经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x的增大y 也增大；当k0 时，直线ykx经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反 而减小. 要点三、要点三、待定系数法求正比例函数的解析式待定系数法求正比例函数的解析式 由于正比例函数ykx（k为常数，k0 ） 中只有一个待定系数k， 故只要有一对x， y的值或一个非原点的点，就可以求得k值. 【典型例题】【典型例题】 类型一、正比例函数的定义类型一、正

3、比例函数的定义 1、若函数 22 432 mn yxmn 是y关于x的正比例函数，求m、n的值. 【思路点拨】【思路点拨】正比例函数的一般式为(0)ykx k，要特别注意定义满足0k ，x的指数 第 2 页 共 4 页 为 1 【答案与解析】【答案与解析】 解：由题意，得 221 320 mn mn 解得 1 1.5 m n 当1,1.5mn时，y是x的正比例函数. 【总结升华总结升华】 理解正比例函数的概念应抓住解析式中的两个主要特征： （1）k不等于零； （2） x的指数是 1. 2、设有三个变量x、y、z，其中y是x的正比例函数，z是y的正比例函数 （1）求证：z是x的正比例函数； （2

4、）如果z1，x4 时，求出z关于x的函数关系式. 【答案与解析】【答案与解析】 解： （1）由题意，设 11 (0)yk x k， 22 (0)zk y k， 12 ,kk为常数 1 2 zk k x 12 0,0kk 12 0k k 且为常数 z是x的正比例函数； 1 2 zk k x 1 2 (0)k k （2）当z1，x4 时，代入 1 2 zk k x 12 1 4 k k z关于x的函数关系式是 1 4 zx. 【总结升华总结升华】在本题中，按照题意，比例系数要设为不同的 12 ,kk，不要都设为k，产生混 淆. 举一反三：举一反三： 【变式】已知zmy，m是常数，y是x的正比例函数

5、，当x2 时，z1；当x3 时，z1，求z与x的函数关系 【答案】【答案】 解：由题意，ykx，zm kx , x2 时，z1；当x3 时，z1， 1m2k，1m3k 解得k2，m5 z2x5. 类型二、正比函数的图象和性质类型二、正比函数的图象和性质 3、如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数 1 yk x、 2 yk x、 3 yk x、 4 yk x 第 3 页 共 4 页 的图象分别为 1 l、 2 l、 3 l、 4 l，则下列关系中正确的是（ ） A 1 k 2 k 3 k 4 k B 2 k 1 k 4 k 3 k C 1 k 2 k 4 k 3 k D 2 k 1 k 3 k

6、4 k 【答案】【答案】B； 【解析】【解析】首先根据直线经过的象限，知： 2 k0， 1 k0， 4 k0， 3 k0，再根据直线越陡， |k|越大，知： 2 |k| 1 k|，| 4 k| 3 k|则 2 k 1 k 4 k 3 k 【总结升华总结升华】 此题主要考查了正比例函数图象的性质， 首先根据直线经过的象限判断k的符 号，再进一步根据直线的平缓趋势判断k的绝对值的大小，最后判断四个数的大小. 举一反三：举一反三： 【变式】已知正比例函数21ytx的图象上一点（ 1 x， 1 y） ，且 1 x 1 y0，那么t的取 值范围是（ ） A. t 1 2 Bt 1 2 Ct 1 2 或t

7、 1 2 D不确定 【答案】【答案】A； 提示：因为 1 x 1 y0，所以该点的横、纵坐标异号，即图象经过二、四象限，则 2t10，t 1 2 类型类型三三、正比例函数正比例函数的应用的应用 4、已知正比例函数4yx的图像上有一点 P(x,y)和一点 A(6，0)，O 为坐标原点， 且PAO 的面积等于 12，你能求出 P 点坐标吗？ 【思路点拨】【思路点拨】画出草图，可知三角形的底边长为|OA|6，高为 P 点纵坐标的绝对值，利用 面积等于 12 求解. 【答案与解析】【答案与解析】 解：依题意： 1 12 2 P SOA y O（0，0） ，A（6，0）OA6 4,44 pPP yyy 或 第 4 页 共 4 页 41,(1,4) P yxP当时，此时；41,( 1, 4) P yxP 当时，此时 P1 414综上： 点的坐标为（ ， ）或（- ，） 【总结升华总结升华】求点的坐标需要求点到坐标轴的垂线段的长，利用面积即可求出垂线段的长.