高考数学一轮复习学案：1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词（含答案）

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1、 1.3 简单的逻辑联结词简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词全称量词与存在量词 最新考纲 考情考向分析 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义 2.理解全称量词和存在量词的意义 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定 是高考的重点；命题的真假判断常以函数、 不等式为载体，考查学生的推理判断能力， 题型为选择、填空题，低档难度. 1简单的逻辑联结词 (1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词 (2)命题 p 且 q、p 或 q、非 p 的真假判断 p q p 且 q p 或 q 非 p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假

2、 假 假 真 2.全称量词和存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“”表 示 (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号 “”表示 3全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定 命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定 全称命题 对 M 中任意一个 x，有 p(x)成立 xM，p(x) x0M，綈 p(x0) 特称命题 存在 M 中的一个 x0， 使 p(x0)成立 x0M，p(x0) xM，綈 p(x) 知识拓展 1含有逻辑联结词的命题真假的判断规律 (1)pq：p，q 中有一个为真，则 pq 为真，即有真

3、为真 (2)pq：p，q 中有一个为假，则 pq 为假，即有假即假 (3)綈 p：与 p 的真假相反，即一真一假，真假相反 2含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论” 3 命题的否定和否命题的区别： 命题“若 p， 则 q”的否定是“若 p， 则綈 q”， 否命题是“若 綈 p，则綈 q” 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)命题“32”是真命题( ) (2)命题 p 和綈 p 不可能都是真命题( ) (3)若命题 p，q 中至少有一个是真命题，则 pq 是真命题( ) (4)“全等三角形的面积相等”是特称命题( ) (5)命题綈(pq)是假命题

4、，则命题 p，q 中至少有一个是真命题( ) 题组二 教材改编 2P18B 组已知 p：2 是偶数，q：2 是质数，则命题綈 p，綈 q，pq，pq 中真命题的个 数为( ) A1 B2 C3 D4 答案 B 解析 p 和 q 显然都是真命题，所以綈 p，綈 q 都是假命题，pq，pq 都是真命题 3P28T6(4)命题“正方形都是矩形”的否定是_ 答案 存在一个正方形，这个正方形不是矩形 题组三 易错自纠 4已知命题 p，q，“綈 p 为真”是“pq 为假”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由綈 p 为真知，p 为假，可得 pq

5、 为假；反之，若 pq 为假，则可能是 p 真 q 假， 从而綈 p 为假，故“綈 p 为真”是“pq 为假”的充分不必要条件，故选 A. 5(2017 贵阳调研)下列命题中的假命题是( ) Ax0R，lg x01 Bx0R，sin x00 CxR，x30 DxR，2x0 答案 C 解析 当 x10 时，lg 101，则 A 为真命题； 当 x0 时，sin 00，则 B 为真命题； 当 x0 时，x30，则 C 为假命题； 由指数函数的性质知，xR ，2x0，则 D 为真命题 故选 C. 6已知命题 p：xR，x2a0；命题 p：x0R，x202ax02a0.若命题“pq” 是真命题，则实数

6、 a 的取值范围为_ 答案 (，2 解析 由已知条件可知 p 和 q 均为真命题，由命题 p 为真得 a0，由命题 q 为真得 4a2 4(2a)0，即 a2 或 a1，所以 a2. 题型一题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断含有逻辑联结词的命题的真假判断 1(2018 济南调研)设 a，b，c 是非零向量已知命题 p：若 a b0，b c0，则 a c0；命 题 q：若 ab，bc，则 ac.则下列命题中的真命题是( ) Apq Bpq C(綈 p)(綈 q) Dp(綈 q) 答案 A 解析 如图所示， 若 aA1A ，bAB ，cB 1B ，则 a c0，命题 p 为假命题；显然命题 q

7、 为真命题，所以 pq 为真命题故选 A. 2(2017 山东)已知命题 p：x0，ln(x1)0；命题 q：若 ab，则 a2b2.下列命题为真 命题的是( ) Apq Bp(綈 q) C(綈 p)q D(綈 p)(綈 q) 答案 B 解析 x0，x11，ln(x1)ln 10. 命题 p 为真命题，綈 p 为假命题 ab，取 a1，b2，而 121，(2)24， 此时 a2b2， 命题 q 为假命题，綈 q 为真命题 pq 为假命题，p(綈 q)为真命题，(綈 p)q 为假命题，(綈 p)(綈 q)为假命题 故选 B. 3已知命题 p：若平面 平面 ，平面 平面 ，则有平面 平面 .命题

8、q：在空间中， 对于三条不同的直线 a，b，c，若 ab，bc，则 ac.对以上两个命题，有以下命题： pq 为真；pq 为假；pq 为真；(綈 p)(綈 q)为假 其中，正确的是_(填序号) 答案 解析 命题 p 是假命题，这是因为 与 也可能相交；命题 q 也是假命题，这两条直线也可 能异面，相交 思维升华 “pq”“pq”“綈 p”等形式命题真假的判断步骤 (1)确定命题的构成形式； (2)判断其中命题 p、q 的真假； (3)确定“pq”“pq”“綈 p”等形式命题的真假 题型二题型二 含有一个量词的命题含有一个量词的命题 命题点 1 全称命题、特称命题的真假 典例 下列四个命题： p

9、1：x0(0，)， 00 11 ( )( ) 23 xx ； p2：x0(0,1)， 1010 23 loglogxx ； p3：x(0，)， 1 2 x 1 2 log x； p4：x 0，1 3 ， 1 2 x 1 3 log x. 其中真命题是( ) Ap1，p3 Bp1，p4 Cp2，p3 Dp2，p4 答案 D 解析 对于 p1，当 x0(0，)时，总有 00 11 ( )( ) 23 xx 成立，故 p1是假命题； 对于 p2，当 x01 2时，有 1 1 2 1 log 2 1 3 1 log 3 1 3 1 log 2 成立，故 p2是真命题； 对于 p3，结合指数函数 y 1

10、 2 x与对数函数 y 1 2 log x在(0，)上的图象，可以判断 p3是 假命题； 对于 p4，结合指数函数 y 1 2 x 与对数函数 y 1 3 log x在 0，1 3 上的图象，可以判断 p4是真 命题 命题点 2 含一个量词的命题的否定 典例 (1)命题“xR， 1 3 x0”的否定是( ) Ax0R， 0 1 ( ) 3 x 0 BxR， 1 3 x0 CxR， 1 3 x0 Dx0R， 0 1 ( ) 3 x 0 答案 D 解析 全称命题的否定是特称命题，“”的否定是“” (2)(2017 河北五个一名校联考)命题“x0R，1f(x0)2”的否定形式是( ) AxR，1f(

11、x)2 Bx0R，1f(x0)2 Cx0R，f(x0)1 或 f(x0)2 DxR，f(x)1 或 f(x)2 答案 D 解析 特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“xR，f(x)1 或 f(x)2” 思维升华 (1)判定全称命题“xM，p(x)”是真命题，需要对集合 M 中的每一个元素 x， 证明 p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个 xx0，使 p(x0)成立 (2)对全(特)称命题进行否定的方法 找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词； 对原命题的结论进行否定 跟踪训练 (1)下列命题是假命题的是( ) A，R，使 cos(

12、)cos cos BR，函数 f(x)sin(2x)都不是偶函数 Cx0R，使 x30ax20bx0c0(a，b，cR 且为常数) Da0，函数 f(x)ln2xln xa 有零点 答案 B 解析 取 2， 4，cos()cos cos ，A 正确； 取 2，函数 f(x)sin 2x 2 cos 2x 是偶函数，B 错误； 对于三次函数 yf(x)x3ax2bxc，当 x时，y，当 x时，y， 又 f(x)在 R 上为连续函数，故x0R，使 x30ax20bx0c0，C 正确； 当 f(x)0 时，ln2xln xa0，则有 aln2xln x ln x1 2 21 4 1 4，所以a0，函

13、数 f(x)ln2xln xa 有零点，D 正确，综上可知，选 B. (2)(2017 福州质检)已知命题 p：“x0R， 0 exx010”，则綈 p 为( ) Ax0R， 0 exx010 Bx0R， 0 exx010 CxR，exx10 DxR，exx10 答案 C 解析 根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈 p 为“xR，exx10”，故选 C. 题型三题型三 含参命题中参数的取值范围含参命题中参数的取值范围 典例 (1)已知命题 p：关于 x 的方程 x2ax40 有实根；命题 q：关于 x 的函数 y2x2ax 4 在3，)上是增函数，若 pq 是真命题，则实数 a 的取值范围

14、是_ 答案 12，44，) 解析 若命题 p 是真命题，则 a2160， 即 a4 或 a4；若命题 q 是真命题， 则a 43，即 a12. pq 是真命题，p，q 均为真， a 的取值范围是12，44，) (2)已知 f(x)ln(x21)，g(x) 1 2 xm，若对x 10,3，x21,2，使得 f(x1)g(x2)， 则实数 m 的取值范围是_ 答案 1 4， 解析 当 x0,3时，f(x)minf(0)0，当 x1,2时， g(x)ming(2)1 4m，由 f(x)ming(x)min， 得 01 4m，所以 m 1 4. 引申探究 本例(2)中，若将“x21,2”改为“x21,

15、2”，其他条件不变，则实数 m 的取值范 围是_ 答案 1 2， 解析 当 x1,2时，g(x)maxg(1)1 2m， 由 f(x)ming(x)max，得 01 2m， m1 2. 思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求 解参数的取值范围(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义， 利用函数值域(或最值)解决 跟踪训练 (1)已知命题“x0R，使 2x20(a1)x01 20”是假命题，则实数 a 的取值范围 是( ) A(，1) B(1,3) C(3，) D(3,1) 答案 B 解析 原命题的否定为xR，2x2(a1)x

16、1 20，由题意知，其为真命题，即 (a1) 2 421 20，则2a12，即1a3. (2)(2017 洛阳模拟)已知 p：x 1 4， 1 2 ，2x4 5； 函数 f(x)4x2x 1m1(2x1)2m2， 令 f(x)0，得 2x 2m1， 若 f(x)存在零点， 则 2m10，解得 m1， 故当 q 为真时，m1. 若“p 且 q”为真命题，则实数 m 的取值范围是 4 5，1 . 常用逻辑用语 考点分析 有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等 问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难 度中等偏下解决这类问题应熟

17、练把握各类知识的内在联系 一、命题的真假判断 典例 1 (1)(2017 佛山模拟)已知 a，b 都是实数，那么“ a b”是“ln aln b”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 B 解析 由 ln aln bab0 a b，故必要性成立当 a1，b0 时，满足 a b， 但 ln b 无意义，所以 ln aln b 不成立，故充分性不成立 (2)(2017 江西红色七校联考)已知函数 f(x) 3x，x0， mx2，x0， 给出下列两个命题：命题 p： m(，0)，方程 f(x)0 有解，命题 q：若 m1 9，则 f(f(1)0，则下列

18、命题为真命 题的是( ) Apq B(綈 p)q Cp(綈 q) D(綈 p)(綈 q) 答案 B 解析 因为 3x0，当 m0 时，mx20， 所以命题 p 为假命题； 当 m1 9时，因为 f(1)3 11 3， 所以 f(f(1)f 1 3 1 9 1 3 20， 所以命题 q 为真命题， 逐项检验可知，只有(綈 p)q 为真命题，故选 B. 二、充要条件的判断 典例 2 (1)(2017 湖南五市十校联考)已知数列an的前 n 项和 SnAqnB(q0)，则“A B”是“数列an是等比数列”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 B 解析

19、 若 AB0，则 Sn0，数列an不是等比数列；若数列an是等比数列，则由 a1Aq B，a2Aq2Aq，a3Aq3Aq2及a3 a2 a2 a1，得 AB，故选 B. (2)(2017 湖北七市联考)已知圆 C：(x1)2y2r2(r0)设 p：0r3，q：圆 C 上至多有 2 个点到直线 x 3y30 的距离为 1，则 p 是 q 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 C 解析 圆 C：(x1)2y2r2的圆心(1,0)到直线 x 3y30 的距离 d|1 303| 2 2. 当 r(0,1)时，直线与圆相离，圆 C 上没有到直线的距离为

20、1 的点；当 r1 时，直线与圆相 离，圆 C 上只有 1 个点到直线的距离为 1；当 r(1,2)时，直线与圆相离，圆 C 上有 2 个点 到直线的距离为 1； 当 r2 时， 直线与圆相切， 圆 C 上有 2 个点到直线的距离为 1； 当 r(2,3) 时，直线与圆相交，圆 C 上有 2 个点到直线的距离为 1.综上，当 r(0,3)时，圆 C 上至多有 2 个点到直线的距离为 1，又由圆 C 上至多有 2 个点到直线的距离为 1，可得 0r3，故 p 是 q 的充要条件，故选 C. 三、求参数的取值范围 典例 3 (1)已知命题 p： x0,1， aex， 命题 q： x0R， x204x0a0， 若命题“pq” 是真命题，则实数 a 的取值范围是_ 答案 e,4 解析 命题“pq”是真命题，p 和 q 均是真命题当 p 是真命题时，a(ex)maxe；当 q 为 真命题时，164a0，a4，所以 ae,4 (2)已知函数 f(x)x4 x，g(x)2 xa，若x 1 1 2，3 ，x22,3使得 f(x1)g(x2)，则实数 a 的取值范围是_ 答案 (，0 解析 x 1 2，3 ， f(x)2 x 4 x4， 当且仅当 x2 时， f(x)min4， 当 x2,3时， g(x)min 22a4a，依题意知 f(x)ming(x)min，即 4a4，a0.