高考数学一轮复习学案：4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数（含答案）

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1、 4.1 任意角任意角、弧度制及任意角的三角函数弧度制及任意角的三角函数 最新考纲 考情考向分析 1.了解任意角的概念和弧度制 的概念. 2.能进行弧度与角度的互化. 3.理解任意角三角函数(正弦、 余弦、正切)的定义. 以理解任意角三角函数的概念、能进行弧 度与角度的互化和扇形弧长、面积的计算 为主，常与向量、三角恒等变换相结合， 考查三角函数定义的应用及三角函数的化 简与求值，考查分类讨论思想和数形结合 思想的应用意识题型以选择题为主，低 档难度. 1角的概念 (1)任意角：定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成 的图形；分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角

2、 (2)所有与角 终边相同的角， 连同角 在内， 构成的角的集合是 S|k 360 ， kZ (3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第 几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一 个象限 2弧度制 (1)定义： 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角， 用符号 rad 表示， 读作弧度 正 角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0. (2)角度制和弧度制的互化：180 rad,1 180 rad，1 rad 180 . (3)扇形的弧长公式：l| r，扇形的面积公式：S1

3、2lr 1 2| r 2. 3任意角的三角函数 任意角 的终边与单位圆交于点 P(x，y)时， 则 sin y，cos x，tan y x(x0) 三个三角函数的性质如下表： 三角 函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 sin R cos R tan |k 2， kZ 4.三角函数线 如下图，设角 的终边与单位圆交于点 P，过 P 作 PMx 轴，垂足为 M，过 A(1,0)作单位圆 的切线与 的终边或终边的反向延长线相交于点 T. 三角函数线 有向线段 MP 为正弦线；有向线段 OM 为余弦线；有向 线段 AT 为正切线 知识拓展 1三角函数值的符号规律 三角

4、函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦 2任意角的三角函数的定义(推广) 设 P(x，y)是角 终边上异于顶点的任一点，其到原点 O 的距离为 r，则 sin y r，cos x r， tan y x(x0) 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角( ) (2)角 的三角函数值与其终边上点 P 的位置无关( ) (3)不相等的角终边一定不相同( ) (4)若 为第一象限角，则 sin cos 1.( ) 题组二 教材改编 2P10A 组 T7角225 _弧度，这个角在第_象限 答案 5 4 二 3P1

5、5T2设角 的终边经过点 P(4，3)，那么 2cos sin _. 答案 11 5 解析 由已知并结合三角函数的定义，得 sin 3 5，cos 4 5，所以 2cos sin 2 4 5 3 5 11 5 . 4P10A 组 T6一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为_弧度 答案 3 题组三 易错自纠 5(2018 秦皇岛模拟)下列与9 4 的终边相同的角的表达式中正确的是 ( ) A2k45 (kZ) Bk 360 9 4 (kZ) Ck 360 315 (kZ) Dk5 4 (kZ) 答案 C 解析 与9 4 的终边相同的角可以写成 2k9 4 (kZ)， 但是角度制与弧度制不能

6、混用， 所以只 有答案 C 正确 6集合 k 4k 2，kZ 中的角所表示的范围(阴影部分)是( ) 答案 C 解析 当 k2n(nZ)时，2n 42n 2，此时 表示的范围与 4 2表示的范围一 样；当 k2n1 (nZ)时，2n 42n 2，此时 表示的范围与 4 2表示的范围一样，故选 C. 7已知角 (1 2， cos x1 2， 如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，原函数的定义域为 2k 3，2k 5 6 (kZ) 思维升华 (1)利用三角函数的定义，已知角 终边上一点 P 的坐标可求 的三角函数值；已 知角 的三角函数值，也可以求出点 P 的坐标 (2)利用三角函数线解

7、不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围 跟踪训练 (1)(2017 济南模拟)已知点 P(tan ，cos )在第三象限，则角 的终边在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案 B 解析 tan 0，cos 0， 在第二象限 (2)(2017 石家庄模拟)若3 4 2，从单位圆中的三角函数线观察 sin ，cos ，tan 的大 小是( ) Asin tan cos Bcos sin tan Csin cos tan Dtan sin cos 答案 C 解析 如图，作出角 的正弦线 MP，余弦线 OM，正切线 AT， 观察可知 sin cos tan .

8、 数形结合思想在三角函数中的应用 典例 (1)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一 点 P 的位置在(0,0)，圆在 x 轴上沿正向滚动当圆滚动到圆心位于 C(2,1)时，OP 的坐标为 _ (2)(2017 合肥调研)函数 ylg(34sin2x)的定义域为_ 思想方法指导 在坐标系中研究角就是一种数形结合思想，利用三角函数线可直观得到有关 三角函数的不等式的解集 解析 (1)如图所示，过圆心 C 作 x 轴的垂线，垂足为 A，过 P 作 x 轴的垂线与过 C 作 y 轴的 垂线交于点 B.因为圆心移动的距离为 2，所以劣弧PA2，即圆心角PCA2， 则PCB2 2，所以 PBsin 2 2 cos 2， CBcos 2 2 sin 2，设点 P(xP，yP)， 所以 xP2CB2sin 2，yP1PB1cos 2， 所以OP (2sin 2,1cos 2) (2)因为 34sin2x0， 所以 sin2x3 4， 所以 3 2 sin x 3 2 . 利用三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)， 所以 x k 3，k 3 (kZ) 答案 (1)(2sin 2,1cos 2) (2) k 3，k 3 (kZ)