高考数学一轮复习学案:5.4 平面向量的综合应用(含答案)
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1、 5.4 平面向量的综合应用平面向量的综合应用 最新考纲 考情考向分析 1.会用向量方法解决某些简单的平面几 何问题 2.会用向量方法解决简单的力学问题及 其他一些实际问题. 主要考查平面向量与函数、三角函数、不等式、数 列、解析几何等综合性问题,求参数范围、最值等 问题是考查的热点,一般以选择题、填空题的形式 出现,偶尔会出现在解答题中,属于中档题. 1向量在平面几何中的应用 (1)用向量解决常见平面几何问题的技巧: 问题类型 所用知识 公式表示 线平行、点共线等问题 共线向量定理 ababx1y2x2y10, 其中 a(x1,y1),b(x2,y2),b0 垂直问题 数量积的运算性质 ab
2、a b0x1x2y1y20, 其中 a(x1,y1),b(x2,y2),且 a,b 为 非零向量 夹角问题 数量积的定义 cos a b |a|b|( 为向量 a,b 的夹角),其中 a,b 为非零向量 长度问题 数量积的定义 |a| a2 x2y2,其中 a(x,y),a 为 非零向量 (2)用向量方法解决平面几何问题的步骤: 平面几何问题 设向量 向量问题 运算 解决向量问题 还原 解决几何问题 2向量在解析几何中的应用 向量在解析几何中的应用,是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述它主要强调向量 的坐标问题,进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答,坐标的运算是考查的 主体 3
3、平面向量在物理中的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解与合成与向量的加法和减法相似, 可以用向量的知识来解决 (2)物理学中的功是一个标量,是力 F 与位移 s 的数量积,即 WF s|F|s|cos ( 为 F 与 s 的夹角) 4向量与相关知识的交汇 平面向量作为一种工具,常与函数(三角函数)、解析几何结合,常通过向量的线性运算与数 量积,向量的共线与垂直求解相关问题 知识拓展 1若 G 是ABC 的重心,则GA GB GC 0. 2若直线l 的方程为AxByC0,则向量(A,B)与直线l 垂直,向量(B,A)与直线l 平行 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确
4、(请在括号中打“”或“”) (1)若AB AC,则 A,B,C 三点共线( ) (2)在ABC 中,若AB BC0),则其准线方程为 xp 2. 曲线 E 的方程可化为(x3)2(y2)216, 则有 3p 24,解得 p2,所以抛物线 M 的方程为 y 24x,F(1,0)设 A y20 4,y0 ,则OA y20 4,y0 ,AF 1y 2 0 4,y0 ,所以OA AF y20 4 1y 2 0 4 y204,解得 y0 2.所以点 A 的坐 标为(1,2)或(1,2) 题型一题型一 向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用 典例 (1)在平行四边形 ABCD 中,AD1,BAD60
5、 ,E 为 CD 的中点若AC BE1,则 AB_. 答案 1 2 解析 在平行四边形 ABCD 中,取 AB 的中点 F, 则BE FD ,BE FD AD 1 2AB , 又AC AD AB , AC BE(AD AB ) AD 1 2AB AD 21 2AD AB AD AB 1 2AB 2 |AD |21 2|AD |AB |cos 60 1 2|AB |2 11 2 1 2|AB |1 2|AB |21. 1 2|AB | |AB|0,又|AB|0,|AB|1 2. (2)已知 O 是平面上的一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个动点,若动点 P 满足OP OA (AB AC),(
6、0,),则点 P 的轨迹一定通过ABC 的( ) A内心 B外心 C重心 D垂心 答案 C 解析 由原等式, 得OP OA(ABAC), 即AP(ABAC), 根据平行四边形法则, 知ABAC是 ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量AD 的2倍,所以点P的轨迹必过ABC的重心 引申探究 本例(2)中, 若动点 P 满足OP OA AB |AB | AC |AC | , (0, ), 则点 P 的轨迹一定通过ABC 的_ 答案 内心 解析 由条件,得OP OA AB |AB | AC |AC | ,即AP AB |AB | AC |AC | ,而 AB |AB |和 AC |AC |分别
7、表示平行 于AB , AC的单位向量, 故AB |AB | AC |AC |平分BAC, 即AP 平分BAC, 所以点 P 的轨迹必过ABC 的内心 思维升华 向量与平面几何综合问题的解法 (1)坐标法 把几何图形放在适当的坐标系中,则有关点与向量就可以用坐标表示,这样就能进行相应的 代数运算和向量运算,从而使问题得到解决 (2)基向量法 适当选取一组基底,沟通向量之间的联系,利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解 跟踪训练 (1)在ABC中, 已知向量AB 与AC满足 AB |AB | AC |AC | BC 0, 且AB |AB | AC |AC | 1 2, 则ABC 为( ) A
8、等边三角形 B直角三角形 C等腰非等边三角形 D三边均不相等的三角形 答案 A 解析 AB |AB |, AC |AC |分别为平行于AB , AC的单位向量, 由平行四边形法则可知AB |AB | AC |AC |为BAC 的平分线因为 AB |AB | AC |AC | BC 0,所以BAC 的平分线垂直于 BC,所以 ABAC. 又 AB |AB | AC |AC | AB |AB | AC |AC | cosBAC1 2,所以 cosBAC 1 2,又 0BAC,故BAC 3, 所以ABC 为等边三角形 (2)(2017 湖南长沙长郡中学临考冲刺训练)如图,在平行四边形 ABCD 中,
9、AB1,AD2, 点 E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,AD 边上的中点,则EF FG GH HE 等于( ) A.3 2 B3 2 C.3 4 D3 4 答案 A 解析 取 HF 中点 O, 则EF FG EF EH EO 2OH2 1 1 2 23 4, GH HE GH GF GO 2OH 2 1 1 2 23 4, 因此EF FG GH HE 3 2,故选 A. 题型二题型二 向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用 典例 (1)已知向量OA (k,12),OB (4,5),OC (10,k),且 A,B,C 三点共线,当 k0 时, 若 k 为直线的斜率,则过点(2,1)
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