高考专题突破六：高考中的概率与统计问题（含答案）

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1、高考专题突破六高考专题突破六 高考中的概率与统计问题高考中的概率与统计问题 【考点自测】 1(2018 合肥模拟)某小区有 1 000 户，各户每月的用电量近似服从正态分布 N(300,102)，则 用电量在 320 度以上的户数约为( ) (参考数据： 若随机变量 服从正态分布 N(， 2)， 则 P(b2.由 题意知所有的基本事件有 9 个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)， 其中第一个数表示 a 的取值，第二个数表示 b 的取值 满足 a2b2的有 6 个基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)

2、，(3,1)，(3,2)， 所以所求事件的概率为6 9 2 3. (2)(2017 青岛模拟)如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为 2 的 大正方形， 若直角三角形中较小的锐角 6.现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖， 则 飞镖落在小正方形内的概率是_ 答案 2 3 2 解析 易知小正方形的边长为 31， 故小正方形的面积为 S1( 31)242 3， 又大正方形的面积为 S224，故飞镖落在小正方形内的概率 PS1 S 42 3 4 2 3 2 . 题型二题型二 求离散型随机变量的均值与方差求离散型随机变量的均值与方差 例 2 (2017 南京模拟) 最强大脑 是

3、江苏卫视推出的国内首档大型科学类真人秀电视节目 该 节目集结了国内外最顶尖的脑力高手，堪称脑力界的奥林匹克某校为了增强学生的记忆力 和辨识力也组织了一场类似最强大脑的 PK 赛，A，B 两队各由 4 名选手组成，每局两队 各派一名选手 PK，除第三局胜者得 2 分外，其余各局胜者均得 1 分，每局的负者得 0 分假 设每局比赛两队选手获胜的概率均为 0.5，且各局比赛结果相互独立 (1)求比赛结束时 A 队的得分高于 B 队的得分的概率； (2)求比赛结束时 B 队得分 X 的分布列和均值 解 (1)记第 i 局 A 队胜为事件 Ai(i1,2,3,4)， 比赛结束时 A 队得分高于 B 队得

4、分的事件记为 C， 则 P(C)P(A1A2A3A4)P(A3)1P( A1A2A4)1 2. (2)X 的可能取值为 0,1,2,3,4,5. 则 P(X0)P(A1A2A3A4) 1 16， P(X1)C13 1 2 43 16， P(X2)P(A1A2A3A4)C23 1 2 41 4， P(X4)C23 1 2 43 16， P(X5) 1 16， P(X3)1 1 16 3 16 1 4 1 16 3 16 1 4. X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P 1 16 3 16 1 4 1 4 3 16 1 16 E(X)0 1 161 3 162 1 43 1 44 3 16

5、5 1 16 5 2. 思维升华 离散型随机变量的均值和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量 的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型； 二是定性，对于特殊类型的均值和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机 变量，应先求其分布列然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率的对应 跟踪训练 2 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首 次出现故障的时间有关某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为 2 年现从该 厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取 50 辆，统计数据如下： 品牌 甲 乙 首次出

6、现故障时间 x(年) 0E(X2)，所以应生产甲品牌轿车 题型三题型三 概率与统计的综合应用概率与统计的综合应用 例 3 (2018 济南模拟)2018 年 6 月 14 日至 7 月 15 日， 第 21 届世界杯足球赛将于俄罗斯举行， 某大学为世界杯组委会招收志愿者，被招收的志愿者需参加笔试和面试，把参加笔试的 40 名大学生的成绩分组：第 1 组75,80)，第 2 组80,85)，第 3 组85,90)，第 4 组90,95)，第 5 组95,100，得到的频率分布直方图如图所示： (1)分别求出成绩在第 3,4,5 组的人数； (2)现决定在笔试成绩较高的第 3,4,5 组中用分层抽

7、样抽取 6 人进行面试 已知甲和乙的成绩均在第 3 组，求甲或乙进入第二轮面试的概率； 若从这 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受考官 D 的面试， 设第 4 组中有 X 名学生被考官 D 面试，求 X 的分布列和均值 解 (1)由频率分布直方图知： 第 3 组的人数为 50.064012. 第 4 组的人数为 50.04408. 第 5 组的人数为 50.02404. (2)利用分层抽样，在第 3 组、第 4 组、第 5 组中分别抽取 3 人、2 人、1 人 设“甲或乙进入第二轮面试”为事件 A，则 P(A)1C 3 10 C312 5 11， 所以甲或乙进入第二轮面试的概率为 5 11.

8、 X 的所有可能取值为 0,1,2， P(X0)C 2 4 C26 2 5，P(X1) C12C14 C26 8 15， P(X2)C 2 2 C26 1 15. 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 P 2 5 8 15 1 15 E(X)02 51 8 152 1 15 10 15 2 3. 思维升华 概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体， 已成为近几年高考的一大亮点和热 点它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性 跟踪训练3 经销商经销某种农产品， 在一个销售季度内， 每售出1 t该产品获得利润500元， 未售出的产品，每 1 t 亏损 300 元根据历

9、史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布 直方图， 如图所示 经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品 以X(单位： t,100X150) 表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利 润 (1)将 T 表示为 X 的函数； (2)根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率； (3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的 频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量 X100,110)，则取 X105，且 X 105 的概率等于需求量落入100,110)的频率)，求 T 的均值 解 (1)

10、当 X100,130)时， T500X300(130X)800X39 000. 当 X130,150时，T50013065 000. 所以 T 800X39 000，100X5.024， 所以在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下能认为科类的选择与性别有关 思维升华 统计以考查抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的计算为主，概率以考查概率 计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对 应起来，只有这样才能有效地解决问题 跟踪训练 4 电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了 100 名观众进行调查，其中女性有 55 名下面是根

11、据调查结果绘制的观众日均收看该体育节 目时间的频率分布直方图： 将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷” (1)根据已知条件完成下面的22列联表， 并据此资料是否可以认为“体育迷”与性别有关？ 非体育迷 体育迷 合计 男 女 10 55 合计 (2)将上述调查所得到的频率视为概率现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每 次抽取 1 名观众，抽取 3 次，记被抽取的 3 名观众中的“体育迷”人数为 X.若每次抽取的结 果是相互独立的，求 X 的分布列、均值 E(X)和方差 D(X) 附：K2 nadbc2 abcdacbd. P(K2k0) 0.10 0.05 0.0

12、1 k0 2.706 3.841 6.635 解 (1)由所给的频率分布直方图知，“体育迷”人数为 100(100.020100.005)25， “非体育迷”人数为 75，从而 22 列联表如下： 非体育迷 体育迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计 75 25 100 将 22 列联表的数据代入公式计算，得 k nadbc2 abcdacbd 10030104515 2 45557525 100 33 3.030. 因为 2.7063.0303.841， 所以有 90%的把握认为“体育迷”与性别有关 (2)由频率分布直方图知，抽到“体育迷”的频率为 0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取 一名“体育迷”的概率为1 4.由题意，XB 3，1 4 ，从而 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 27 64 27 64 9 64 1 64 E(X)np31 4 3 4， D(X)np(1p)31 4 3 4 9 16.