高考数学一轮复习学案:9.9 第2课时 定点、定值、探索性问题(含答案)
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1、第第 2 课时课时 定点、定值、探索性问题定点、定值、探索性问题 题型一题型一 定点问题定点问题 典例 (2017 全国)已知椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0),四点 P1(1,1),P2(0,1),P3 1, 3 2 , P4 1, 3 2 中恰有三点在椭圆 C 上 (1)求 C 的方程; (2)设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A, B 两点 若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为1, 证明:l 过定点 (1)解 由于 P3,P4两点关于 y 轴对称,故由题设知椭圆 C 经过 P3,P4两点 又由 1 a2 1 b2 1 a2 3 4b2知,椭圆 C 不经过点
2、P1, 所以点 P2在椭圆 C 上 因此 1 b21, 1 a2 3 4b21, 解得 a24, b21. 故椭圆 C 的方程为x 2 4y 21. (2)证明 设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1,k2. 如果 l 与 x 轴垂直, 设 l: xt, 由题设知 t0, 且|t|0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1x2 8km 4k21,x1x2 4m24 4k21. 而 k1k2y11 x1 y21 x2 kx1m1 x1 kx2m1 x2 2kx1x2m1x1x2 x1x2 . 由题设知 k1k21, 故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0. 即(2k
3、1) 4m24 4k21(m1) 8km 4k210, 解得 km1 2 . 当且仅当 m1 时,0, 于是 l:ym1 2 xm, 即 y1m1 2 (x2), 所以 l 过定点(2,1) 思维升华 圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何 时没有关系,找到定点 (2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关 跟踪训练 (2017 长沙联考)已知椭圆x 2 a2 y2 b21(a0,b0)过点(0,1),其长轴、焦距和短轴的长 的平方依次成等差数列 直线 l 与 x 轴正半轴和 y 轴分
4、别交于点 Q, P, 与椭圆分别交于点 M, N,各点均不重合且满足PM 1MQ ,PN 2NQ . (1)求椭圆的标准方程; (2)若 123,试证明:直线 l 过定点并求此定点 (1)解 设椭圆的焦距为 2c,由题意知 b1, 且(2a)2(2b)22(2c)2, 又 a2b2c2,a23. 椭圆的方程为x 2 3y 21. (2)证明 由题意设 P(0,m),Q(x0,0),M(x1,y1), N(x2,y2),设 l 方程为 xt(ym), 由PM 1MQ 知(x1,y1m)1(x0x1,y1), y1my11,由题意 y10,1m y11. 同理由PN 2NQ 知 2m y21. 1
5、23,y1y2m(y1y2)0, 联立 x23y23, xtym, 得(t23)y22mt2yt2m230, 由题意知 4m2t44(t23)(t2m23)0, 且有 y1y2 2mt2 t23,y1y2 t2m23 t23 , 代入得 t2m232m2t20, (mt)21, 由题意 mtb0)的离心率为 3 2 ,且过点 A(2,1) (1)求椭圆 C 的方程; (2)若 P,Q 是椭圆 C 上的两个动点,且使PAQ 的角平分线总垂直于 x 轴,试判断直线 PQ 的斜率是否为定值?若是,求出该值;若不是,请说明理由 解 (1)因为椭圆 C 的离心率为 3 2 ,且过点 A(2,1), 所以
6、 4 a2 1 b21, c a 3 2 , 又 a2b2c2,所以 a28,b22, 所以椭圆 C 的方程为x 2 8 y2 21. (2)方法一 因为PAQ 的角平分线总垂直于 x 轴, 所以 PA 与 AQ 所在的直线关于直线 x2 对称 设直线 PA 的斜率为 k,则直线 AQ 的斜率为k. 所以直线 PA 的方程为 y1k(x2), 直线 AQ 的方程为 y1k(x2) 设点 P(xP,yP),Q(xQ,yQ),由 y1kx2, x2 8 y2 21, 得(14k2)x2(16k28k)x16k216k40. 因为点 A(2,1)在椭圆 C 上,所以 x2 是方程的一个根,则 2xP
7、16k 216k4 14k2 , 所以 xP8k 28k2 14k2 . 同理 xQ8k 28k2 14k2 . 所以 xPxQ 16k 14k2,xPxQ 16k24 14k2 . 又 yPyQk(xPxQ4) 8k 14k2, 所以直线 PQ 的斜率 kPQyPyQ xPxQ 1 2, 所以直线 PQ 的斜率为定值,该值为1 2. 方法二 设直线 PQ 的方程为 ykxb, 点 P(x1,y1),Q(x2,y2), 则 y1kx1b,y2kx2b, 直线 PA 的斜率 kPAy11 x12, 直线 QA 的斜率 kQAy21 x22. 因为PAQ 的角平分线总垂直于 x 轴,所以 PA 与
8、 AQ 所在的直线关于直线 x2 对称, 所以 kPAkQA,即y11 x12 y21 x22, 化简得 x1y2x2y1(x1x2)2(y1y2)40. 把 y1kx1b,y2kx2b 代入上式,化简得 2kx1x2(b12k)(x1x2)4b40. 由 ykxb, x2 8 y2 21, 得(4k21)x28kbx4b280, 则 x1x2 8kb 4k21,x1x2 4b28 4k21, 代入,得2k4b 28 4k21 8kbb12k 4k21 4b40, 整理得(2k1)(b2k1)0, 所以 k1 2或 b12k. 若 b12k,可得方程的一个根为 2,不符合题意 所以直线 PQ
9、的斜率为定值,该值为1 2. 思维升华 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 (1)求代数式为定值依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可 得出定值 (2)求点到直线的距离为定值利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件 化简、变形求得 (3)求某线段长度为定值利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即 可求得 跟踪训练 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 点 F 1 2,0 , 直线 l: x 1 2, 点 P 在直线 l 上移动,R 是线段 PF 与 y 轴的交点,RQFP,PQl. (1)求动点 Q 的轨迹 C 的方程; (2)设
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