高考数学一轮复习学案:10.3 二项式定理(含答案)
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1、 10.3 二项式定理二项式定理 最新考纲 考情考向分析 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简 单问题. 以理解和应用二项式定理为主,常考查二项 展开式,通项公式以及二项式系数的性质, 赋值法求系数的和也是考查的热点;本节内 容在高考中以选择题、填空题的形式进行考 查,难度中档. 1二项式定理 二项式定理 (ab)nC0nanC1nan 1b1Ck na nkbkCn nb n(nN*) 二项展开式 的通项公式 Tk1Cknan kbk,它表示第 k1 项 二项式系数 二项展开式中各项的系数 Ckn(k0,1,2,n) 2.二项式系数的性质 (1)C0n1,Cnn1. Cm n1C m1 n
2、 Cm n. (2)Cm nC nm n . (3)当 n 是偶数时, 1 2 n T 项的二项式系数最大;当 n 是奇数时, 1 2 n T 与 1 1 2 n T 1 项的二项式 系数相等且最大 (4)(ab)n展开式的二项式系数和:C0nC1nC2nCnn2n. 知识拓展 二项展开式形式上的特点 (1)项数为 n1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n,即 a 与 b 的指数的和为 n. (3)字母 a 按降幂排列,从第一项开始,次数由 n 逐项减 1 直到零;字母 b 按升幂排列,从第 一项起,次数由零逐项增 1 直到 n. (4)二项式的系数从 C0n,C1n,一直到 Cn 1
3、 n ,Cnn. 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)Cknan kbk 是二项展开式的第 k 项( ) (2)二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项( ) (3)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与 a,b 无关( ) (4)(ab)n的展开式第 k1 项的系数为 Cknan kbk.( ) (5)(x1)n的展开式二项式系数和为2n.( ) 题组二 教材改编 2P31 例 2(1)(12x)5的展开式中,x2的系数等于( ) A80 B40 C20 D10 答案 B 解析 Tk1Ck5(2x)kCk52kxk,当 k2 时,x2的系数为 C
4、25 2240. 3P31 例 2(2)若 x1 x n展开式的二项式系数之和为 64,则展开式的常数项为( ) A10 B20 C30 D120 答案 B 解析 二项式系数之和 2n64,所以 n6,Tk1Ck6 x6 k 1 x kCk 6x 62k,当 62k0,即当 k3 时为常数项,T4C3620. 4P41B 组 T5若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4,则 a0a2a4的值为( ) A9 B8 C7 D6 答案 B 解析 令 x1,则 a0a1a2a3a40,令 x1,则 a0a1a2a3a416,两式相 加得 a0a2a48. 题组三 易错自纠 5(xy)n的二项展开
5、式中,第 m 项的系数是( ) ACm n BCm 1 n CCm 1 n D(1)m 1Cm1 n 答案 D 解析 (xy)n二项展开式第 m 项的通项公式为 TmCm 1 n (y)m 1xnm1, 所以系数为 Cm 1 n (1)m 1. 6已知(x1)10a1a2xa3x2a11x10.若数列 a1,a2,a3,ak(1k11,kN*)是 一个单调递增数列,则 k 的最大值是( ) A5 B6 C7 D8 答案 B 解析 由二项式定理知,anCn 1 10(n1,2,3,11) 又(x1)10展开式中二项式系数最大项是第 6 项, 所以 a6C510,则 k 的最大值为 6. 7(x
6、yy x)4的展开式中,x3y3项的系数为_ 答案 6 解析 二项展开式的通项是 Tk1Ck4(x y)4 k (y x)k(1)kCk 4 42 22 kk xy , 令 4k 22 k 2 3,解得 k2,故展开式中 x3y3的系数为(1)2C246. 题型一题型一 二项展开式二项展开式 命题点 1 求二项展开式中的特定项或指定项的系数 典例 (1)(2017 全国) 11 x2 (1x)6的展开式中 x2项的系数为( ) A15 B20 C30 D35 答案 C 解析 因为(1x)6的通项为Ck6xk, 所以 1 1 x2 (1x)6的展开式中含x2的项为1 C26x2和 1 x2 C
7、4 6x 4. 因为 C26C462C26265 2130, 所以 11 x2 (1x)6的展开式中 x2项的系数为 30. 故选 C. (2)(x2xy)5的展开式中,x5y2项的系数为( ) A10 B20 C30 D60 答案 C 解析 方法一 利用二项展开式的通项公式求解 (x2xy)5(x2x)y5, 含 y2的项为 T3C25(x2x)3 y2. 其中(x2x)3中含 x5的项为 C13x4 xC13x5. 所以 x5y2项的系数为 C25C1330.故选 C. 方法二 利用组合知识求解 (x2xy)5为 5 个 x2xy 之积,其中有两个取 y,两个取 x2,一个取 x 即可,所
8、以 x5y2的 系数为 C25C23C1130.故选 C. 命题点 2 已知二项展开式某项的系数求参数 典例 (1)(2018 届海口调研)若(x2a) x1 x 10的展开式中 x6的系数为 30,则 a 等于( ) A.1 3 B. 1 2 C1 D2 答案 D 解析 由题意得 x1 x 10的展开式的通项公式是 T k1C k 10 x 10k 1 x kCk 10x 102k, x1 x 10的展 开式中含 x4(当 k3 时),x6(当 k2 时)项的系数分别为 C310,C210,因此由题意得 C310aC210 12045a30,由此解得 a2,故选 D. (2)(2016 山东
9、)若 ax2 1 x 5项的展开式中 x5项的系数为80,则实数 a_. 答案 2 解析 Tk1Ck5(ax2)5 k 1 x ka5kCk 5 5 10 2k x , 105 2k5,解得 k2,a 3C2 580,解得 a2. 思维升华 求二项展开式中的特定项,一般是化简通项公式后,令字母的指数符合要求(求常 数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等),解出项数 k1,代回通项公式即可 跟踪训练 (1)(2017 全国)(xy)(2xy)5的展开式中 x3y3的系数为( ) A80 B40 C40 D80 答案 C 解析 因为 x3y3x (x2y3),其系数为C35 2240, x3y
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