高考数学一轮复习学案：空间几何体的结构、三视图和直观图（含答案）

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1、 8.1 空间几何体的结构空间几何体的结构、三视图和直观图三视图和直观图 最新考纲 考情考向分析 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征， 并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱 柱等的简易组合)的三视图， 能识别上述三视图所表示 的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图. 3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直 观图，了解空间图形的不同表示形式. 空间几何体的结构特征、三视 图、直观图在高考中几乎年年 考查主要考查根据几何体的 三视图求其体积与表面积对 空间几何体的结构特征、三视 图、直观图的考查，以选择题 和填

2、空题为主. 1多面体的结构特征 2旋转体的形成 几何体 旋转图形 旋转轴 圆柱 矩形 任一边所在的直线 圆锥 直角三角形 任一直角边所在的直线 圆台 直角梯形 垂直于底边的腰所在的直线 球 半圆 直径所在的直线 3.空间几何体的三视图 (1)三视图的名称 几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图 (2)三视图的画法 在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线 三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察到的几 何体的正投影图 4空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是 (1)原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x轴

3、，y轴的夹角为 45 或 135 ，z 轴与 x轴和 y轴所在平面垂直 (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于 x 轴和 z 轴的线段在直 观图中保持原长度不变；平行于 y 轴的线段在直观图中长度变为原来的一半 知识拓展 1常见旋转体的三视图 (1)球的三视图都是半径相等的圆 (2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形 (3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形 (4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形 2斜二测画法中的“三变”与“三不变” “三变” 坐标轴的夹角改变 与y轴平行的线段的长度变为原来的一半 图形改变 “三不变” 平行

4、性不改变 与x，z轴平行的线段的长度不改变 相对位置不改变 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱( ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥( ) (3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台( ) (4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同( ) (5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱( ) (6)菱形的直观图仍是菱形( ) 题组二 教材改编 2P19T2下列说法正确的是( ) A相等的角在直观图中仍然相等 B相等的线段在直观图中仍然

5、相等 C正方形的直观图是正方形 D若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行 答案 D 解析 由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行性不变 3P8T1在如图所示的几何体中，是棱柱的为_(填写所有正确的序号) 答案 题组三 易错自纠 4某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( ) A圆柱 B圆锥 C四面体 D三棱柱 答案 A 解析 由三视图知识知，圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱 的正视图不可能为三角形 5(2018 珠海质检)将正方体(如图 1 所示)截去两个三棱锥，得到如图 2 所示的几何体，则该 几何体的侧视图为( ) 答案

6、 B 解析 侧视图中能够看到线段 AD1，应画为实线，而看不到 B1C，应画为虚线由于 AD1与 B1C 不平行，投影为相交线，故选 B. 6.正三角形 AOB 的边长为 a，建立如图所示的直角坐标系 xOy，则它的直观图的面积是 _ 答案 6 16a 2 解析 画出坐标系 xOy， 作出OAB 的直观图OAB(如图)， D为OA的中点 易知 DB1 2DB(D 为 OA 的中点)， SOAB1 2 2 2 SOAB 2 4 3 4 a2 6 16a 2. 题型一 空间几何体的结构特征 1给出下列命题： 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； 直角三角形绕其任一边所在

7、直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； 棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等 其中正确命题的个数是( ) A0 B1 C2 D3 答案 A 解析 不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；不一定， 当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不 是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；错误，棱台的 上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是 侧棱长不一定相等 2(2018 青岛模拟)以下命题： 以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面； 一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台 其中正确命

8、题的个数为( ) A0 B1 C2 D3 答案 B 解析 由圆台的定义可知错误， 正确 对于命题， 只有平行于圆锥底面的平面截圆锥， 才能得到一个圆锥和一个圆台，不正确 思维升华 (1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通 过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一反例即可 (2)圆柱、 圆锥、 圆台的有关元素都集中在轴截面上， 解题时要注意用好轴截面中各元素的关系 (3)既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解 题策略 题型二 简单几何体的三视图 命题点 1 已知几何体，识别三视图 典例 (2017

9、 贵州七校联考)如图所示，四面体 ABCD 的四个顶点是长方体 的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体 ABCD 的三视图 是(用代表图形)( ) A B C D 答案 B 解析 正视图应该是边长为 3 和 4 的矩形， 其对角线左下到右上是实线， 左上到右下是虚线， 因此正视图是，侧视图应该是边长为 5 和 4 的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到 右上是虚线，因此侧视图是；俯视图应该是边长为 3 和 5 的矩形，其对角线左上到右下是 实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是. 命题点 2 已知三视图，判断几何体的形状 典例 (2017 全国)某多面体的三视图如图所示， 其中正

10、视图和侧视图都由正方形和等腰直角 三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个 是梯形，这些梯形的面积之和为( ) A10 B12 C14 D16 答案 B 解析 观察三视图可知，该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直 三棱柱的底面是直角边长为 2 的等腰直角三角形，侧棱长为 2.三棱锥的底面 是直角边长为 2 的等腰直角三角形，高为 2，如图所示因此该多面体各个 面中有两个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为 2，下底长为 4，高 为 2，故这两个梯形的面积之和为 21 2(24)212.故选 B. 命题点 3 已知三视图中的两个视图，判断第三个

11、视图 典例 (2017 汕头模拟)一个锥体的正视图和侧视图如图所示， 下列选项中， 不可能是该锥体的 俯视图的是( ) 答案 C 解析 A，B，D 选项满足三视图作法规则，C 不满足三视图作法规则中的宽相等，故 C 不可 能是该锥体的俯视图 思维升华 三视图问题的常见类型及解题策略 (1)由几何体的直观图求三视图注意观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部 分用虚线表示 (2)由几何体的三视图还原几何体的形状要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形 成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图 (3)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观 图的可能

12、形状，然后再找其剩下部分三视图的可能形状当然作为选择题，也可将选项逐项 代入，再看看给出的部分三视图是否符合 跟踪训练 (1)(2017 全国)如图， 网格纸上小正方形的边长为 1， 粗实线画出的是某几何体的 三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( ) A90 B63 C42 D36 答案 B 解析 方法一 (割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱 截去上面虚线部分所得，如图所示 将圆柱补全，并将圆柱从点 A 处水平分成上下两部分由图可知，该几 何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的1 2，所以该几 何体的体积 V3243261 263.故

13、选 B. 方法二 (估值法)由题意知， 1 2V 圆柱V几何体V圆柱， 又 V圆柱321090， 45V几何体90. 观察选项可知只有 63 符合故选 B. (2)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个锥体的侧视图和俯视图，则该锥 体的正视图可能是( ) 答案 A 解析 由俯视图和侧视图可知原几何体是四棱锥，底面是长方形，内侧的侧面垂直于底面， 所以正视图为 A. 题型三 空间几何体的直观图 典例 (2018 福州调研)已知等腰梯形 ABCD，上底 CD1，腰 ADCB 2，下底 AB3， 以下底所在直线为 x 轴，则由斜二测画法画出的直观图 ABCD的面积为_ 答案 2 2 解析

14、 如图所示，作出等腰梯形 ABCD 的直观图 因为 OE 2211，所以 OE1 2，EF 2 4 ， 则直观图 ABCD的面积 S13 2 2 4 2 2 . 思维升华 用斜二测画法画直观图的技巧 在原图形中与 x 轴或 y 轴平行的线段在直观图中与 x轴或 y轴平行， 原图中不与坐标轴平 行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在 直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出 跟踪训练 (2017 贵阳联考)有一块多边形的菜地， 它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是 直角梯形(如图所示)，ABC45 ，ABAD1，DCBC，则这块菜地的面积为_ 答案 2 2 2 解析 如图 1，在直观图中，过点 A 作 AEBC，垂足为 E. 在 RtABE 中，AB1，ABE45 ，BE 2 2 . 又四边形 AECD 为矩形，ADEC1， BCBEEC 2 2 1， 由此还原为原图形如图 2 所示，是直角梯形 ABCD. 在梯形 ABCD中，AD1，BC 2 2 1，AB2. 这块菜地的面积 S1 2(ADBC) AB 1 2 11 2 2 22 2 2 .