2020北师大版高中数学选修2-1《第一章 常用逻辑用语》章末复习学案（含答案）

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1、章末复习章末复习 学习目标 1.理解命题及四种命题间的相互关系.2.掌握充分条件、必要条件的判定方法.3. 理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的真假.4.理解全称量词、存在量词的 含义，会判断全称命题、特称命题的真假，会求全称命题和特称命题的否定. 1.命题及其关系 (1)判断一个语句是否为命题，关键是： 为陈述句； 能判断真假. (2)互为逆否命题的两个命题的真假性相同. (3)四种命题之间的关系如图所示. 2.充分条件与必要条件 (1)如果 pq，那么称 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件. (2)分类： 充要条件：pq 且 qp，记作 pq； 充分不必要条件：p

2、q，qp； 必要不充分条件：qp，pq； 既不充分又不必要条件：pq，且 qp. 3.简单的逻辑联结词与量词 (1)常见的逻辑联结词有“且”“或”“非”. (2)短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中通常称为全称量词. (3)短语“有一个”“有些”“存在一个”“至少一个”等表示部分的量词在逻辑中通常称 为存在量词. 4.含有全称量词的命题叫作全称命题，含有存在量词的命题叫作特称命题. 1.命题“若 x0 且 y0，则 xy0”的否命题是假命题.( ) 2.“所有奇数都是质数”的否定“至少有一个奇数不是质数”是真命题.( ) 3.命题“若 p，则 q”与命题“若綈 p，则綈 q”

3、的真假性一致.( ) 4.已知命题 p：存在 xR，x20，命题 q：任意 xR，x2x，则命题 p 或(綈 q)是假命题. ( ) 题型一 命题及其关系 例 1 (1)有下列命题： “若 xy0，则 x0 且 y0”的否命题； “矩形的对角线相等”的否命题； “若 q1，则 x22xq0 有实根”的逆否命题； “非等边三角形的三个内角相等”. 其中是真命题的是( ) A. B. C. D. 考点 四种命题的概念 题点 判断四种命题的真假 答案 D (2)设 a， b， c 是非零向量， 已知命题 p： 若 a b0， b c0， 则 a c0； 命题 q： 若 ab， bc， 则 ac.则下

4、列命题中真命题是( ) A.p 或 q B.p 且 q C.(綈 p)且(綈 q) D.p 或(綈 q) 考点 四种命题的概念 题点 四种命题定义的应用 答案 A 解析 由向量数量积的几何意义可知，命题 p 为假命题；命题 q 中，当 b0 时，a，c 一定 共线，故命题 q 是真命题.故 p 或 q 为真命题. 反思感悟 (1)互为逆否命题的两命题真假性相同. (2)“p 与綈 p”一真一假，“p 或 q”一真即真，“p 且 q”一假就假. 跟踪训练 1 (1)命题“若 x21，则 x1”的逆否命题是( ) A.若 x21，则1x1 B.若1x1，则 x21 C.若11 考点 四种命题的概念

5、 题点 四种命题定义的应用 答案 B (2)设命题 p： 函数 ysin 2x 的最小正周期为 2； 命题 q： 函数 ycos x 的图像关于直线 x 2对 称.则下列判断正确的是( ) A.p 为真 B.q 为真 C.p 且 q 为假 D.p 或 q 为真 考点 “或”“且”“非”的综合问题 题点 判断复合命题的真假 答案 C 解析 由题意知 p 是假命题，q 是假命题，因此只有 C 正确. 题型二题型二 充要条件充要条件 例 2 (1)设 xR，则“x23x0”是“x4”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 考点 对充分条件与必要条件的

6、理解及判断 题点 充分条件与必要条件 答案 B 解析 解 x23x0，得 x3， 所以 x3x4， 而 x4x3， 故 x23x0 是 x4 的必要不充分条件. (2)已知直线 a，b 分别在两个不同的平面 ， 内，则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 和 平面 相交”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 考点 对充分条件与必要条件的理解及判断 题点 充分条件与必要条件 答案 A 解析 当两个平面内的直线相交时，这两个平面有公共点，即两个平面相交； 但当两个平面相交时，两个平面内的直线不一定有交点. 反思感悟 分清条件与结论，准确判断 p

7、q，还是 qp. 跟踪训练 2 已知 p： 1x1 3 2，q：x22x1m20(m0)，若綈 p 是綈 q 的必要不充 分条件，求实数 m 的取值范围. 考点 逻辑中的等价转化思想 题点 等价命题的转化 解 由 x22x1m20(m0)， 得 1mx1m. 由 1x1 3 2，得2x10. 由綈 p 是綈 q 的必要不充分条件知， p 是 q 的充分不必要条件， m0， 1m2， 1m10， 且不等式组中的等号不能同时成立，得 m9. 题型三 逻辑联结词与量词的综合应用 例 3 已知 p：存在 xR，mx220.q：任意 xR，x22mx10，若 p 或 q 为假命题， 则实数 m 的取值范

8、围是( ) A.1，) B.(，1 C.(，2 D.1，1 考点 简单逻辑联结词的综合应用 题点 由含量词的复合命题的真假求参数的范围 答案 A 解析 因为 p 或 q 为假命题，所以 p 和 q 都是假命题. 由 p：存在 xR，mx220 为假，得任意 xR，mx220，所以 m0. 由 q：任意 xR，x22mx10 为假，得存在 xR，x22mx10， 所以 (2m)240m21m1 或 m1. 由和得 m1. 反思感悟 解决此类问题首先理解逻辑联结词的含义，掌握简单命题与含有逻辑联结词的命 题的真假关系.其次要善于利用等价关系，如：p 真与綈 p 假等价，p 假与綈 p 真等价，将问

9、 题转化，从而谋得最佳解决途径. 跟踪训练 3 已知命题 p：关于 x 的不等式 ax1(a0，且 a1)的解集是x|x1(a0，且 a1)的解集是x|x0， 14a21 2. 因为 p或 q 为真命题， p且q 为假命题， 所以p 和 q一真一假， 即“p 假q 真”或“p 真 q假”， 故 a1， a1 2 或 01”的否命题为“若 x21，则 x1” B.命题“存在 xR，x21”的否定是“任意 xR，x21” C.命题“若 xy，则 cos xcos y”的逆否命题为假命题 D.命题“若 xy，则 cos xcos y”的逆命题为假命题 考点 四种命题的概念 题点 判断四种命题的真假

10、答案 D 解析 A 中，命题“若 x21，则 x1”的否命题为“若 x21，则 x1”，A 错误. B 中，命题“存在 xR，x21”的否定是“任意 xR，x21”，B 错误. C 中，“若 xy，则 cos xcos y”为真命题，则其逆否命题也为真命题，C 错误. D 中，命题“若 xy，则 cos xcos y”的逆命题“若 cos xcos y，则 xy”为假命题，D 正确. 2.命题“若 a3， 则 a6”以及它的逆命题、 否命题、 逆否命题中假命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 考点 四种命题的概念 题点 判断四种命题的真假 答案 B 解析 原命题正确， 从而其逆否

11、命题也正确； 其逆命题为“若 a6， 则 a3”是假命题， 从而其否命题也是假命题.因此 4 个命题中有 2 个假命题. 3.已知条件 p：xy2，条件 q：x，y 不都是1，则 p 是 q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 考点 充分、必要条件的判断 题点 充分不必要条件的判断 答案 A 解析 因为 p：xy2，q：x，y 不都是1，则 pq， 但 qp，如 x3 2，y 1 2不都为1，可是 xy2. 4.已知命题 p：任意 mR，x2mx10 有解，命题 q：存在 xN，x2x10，则下列 选项中是假命题的为( ) A.p 且 q

12、B.p 且(綈 q) C.p 或 q D.p 或(綈 q) 考点 “或”“且”“非”的综合问题 题点 判断复合命题的真假 答案 B 解析 p：m240，故为真命题， q：当 x1 时，满足 x2x10， 所以 q 也为真命题， 则 p 且(綈 q)为假命题. 5.已知命题 p：|xa|0，若 p 是 q 的必要不充分条件，则实数 a 的 取值范围是_. 考点 充分、必要条件的综合应用 题点 由充分、必要条件求参数的范围 答案 2，5 解析 p：a4xa4，q：1x2， 因为 p 是 q 的必要不充分条件， 所以(1，2)(a4，a4)， 即 a41， a42 且等号不能同时取得， 所以 a 的取值范围是2，5. 1.判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是正确理解“或”“且”“非”的含义，应根据 命题中所出现的逻辑联结词进行命题结构的分析与真假的判断. 2.条件的充要关系的常用判断方法 (1)定义法：直接判断若 p 则 q，若 q 则 p 的真假. (2)等价法：利用 pq 与綈 q綈 p，qp 与綈 p綈 q，pq 与綈 q綈 p 的等价关系，对 于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法. (3)利用集合间的包含关系判断：Ax|p(x)，Bx|q(x)，若 AB，则 p 是 q 的充分条件或 q 是 p 的必要条件；若 AB，则 p 是 q 的充要条件.