2020北师大版高中数学选修2-1《充分条件与必要条件》学案（含答案）

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1、 2 充分条件与必要条件充分条件与必要条件 学习目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条 件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明. 知识点一 充分条件与必要条件 命题真假 “若 p， 则 q”是真命题 “若 p， 则 q”是假命题 推出关系 pq pq 条件关系 p 是 q 的充分条件 q 是 p 的必要条件 p 不是 q 的充分条件 q 不是 p 的必要条件 知识点二 充要条件 如果既有 pq，又有 qp，就记作 pq.此时，我们说，p 是 q 的充分必要条件，简称充要 条件. 特别提醒：命题按条件和结论的

2、充分性、必要性可分为四类 (1)充分必要条件(充要条件)，即 pq 且 qp； (2)充分不必要条件，即 pq 且 qp； (3)必要不充分条件，即 pq 且 qp； (4)既不充分又不必要条件，即 pq 且 qp. 1.若 p 是 q 的充分条件，则 p 是唯一的.( ) 2.“若 p，则 q”是真命题，而“若 q，则 p”是假命题，则 p 是 q 的充分不必要条件.( ) 3.q 不是 p 的必要条件时，“pq”成立.( ) 4.若 p 是 q 的充要条件，则命题 p 和 q 是两个相互等价的命题.( ) 题型一 充分、必要、充要条件的判断 例 1 下列各题中，p 是 q 的什么条件？(指

3、充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不 必要条件) (1)p：x1 或 x2，q：x1 x1； (2)p：m0，q：x2xm0 有实根； (3)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形. 考点 充要条件的概念及判断 题点 充要条件的判断 解 (1)因为 x1 或 x2x1 x1，x1 x1x1 或 x2， 所以 p 是 q 的充要条件. (2)因为 m0方程 x2xm0 的判别式 14m0，即方程有实根， 方程 x2xm0 有实根， 即 14m0m0，所以 p 是 q 的充分不必要条件. (3)p 是 q 的既不充分又不必要条件. 反思感悟 充分条件、必要条件的两种判断方法 (1)定

4、义法： 确定谁是条件，谁是结论； 尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件； 尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件. (2)命题判断法： 如果命题：“若 p，则 q”为真命题，那么 p 是 q 的充分条件，同时 q 是 p 的必要条件； 如果命题：“若 p，则 q”为假命题，那么 p 不是 q 的充分条件，同时 q 也不是 p 的必要条 件. 跟踪训练 1 下列各题中，试分别指出 p 是 q 的什么条件. (1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (2)p：f(x)x，q：f(x)在(，)上为增函数； (3)p：AB，q

5、：ABA； (4)p：ab，q：acbc. 考点 充要条件的概念及判断 题点 充要条件的判断 解 (1)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等两个三角形相似， p 是 q 的必要不充分条件. (2)f(x)xf(x)在(，)上为增函数，但 f(x)在(，)上为增函数f(x)x，p 是 q 的充分不必要条件. (3)pq，且 qp，p 是 q 的充要条件. (4)pq，且 qp，p 是 q 的既不充分又不必要条件. 题型二 充分条件、必要条件、充要条件的应用 命题角度 1 由充分条件、必要条件求参数范围 例 2 已知 p：2x10，q：1mx1m(m0)，若 p 是 q 的必要不充分条件

6、，求实数 m 的取值范围. 考点 充分、必要条件的综合应用 题点 由充分、必要条件求参数的范围 解 p：2x10，q：1mx1m(m0). 因为 p 是 q 的必要不充分条件， 所以 q 是 p 的充分不必要条件， 即x|1mx1mx|2x10， 故有 1m2， 1m2， 1m10， 解得 m3. 又 m0，所以实数 m 的取值范围为m|00). 因为 p 是 q 的充分不必要条件， 设 p 代表的集合为 A，q 代表的集合为 B，所以 AB. 所以 1m2， 1m10 或 1m9 或 m9， 所以 m9， 即实数 m 的取值范围是9，). 2.若本例中 p，q 不变，是否存在实数 m 使 p

7、 是 q 的充要条件？若存在，求出 m 的值；若不 存在，说明理由. 解 因为 p：2x10，q：1mx1m(m0). 若 p 是 q 的充要条件，则 21m， 101m， m 不存在. 反思感悟 由条件关系求参数的取值(范围)的步骤 (1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系. (2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解. 跟踪训练 2 (1)“不等式(ax)(1x)2. (2)已知 Px|a4ax 对于一切实数 x 都成立， 等价于对于方程 ax2ax10 中， a0， 1，q：实数 x，y 满足 xy2，则 p 是 q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.

8、充要条件 D.既不充分又不必要条件 考点 充分、必要条件的判断 题点 充分不必要条件的判断 答案 A 解析 由 x1 且 y1 可得到 xy2， 而 xy2x1 且 y1， 比如 x3，y0 虽满足 xy2 但得不到 y1， 故 p 是 q 的充分不必要条件. 3.函数 f(x)x2mx1 的图像关于直线 x1 对称的充要条件是( ) A.m2 B.m2 C.m1 D.m1 考点 充要条件的概念及判断 题点 寻求充要条件 答案 A 解析 当 m2 时，f(x)x22x1，其图像关于直线 x1 对称，反之也成立，所以 f(x) x2mx1 的图像关于直线 x1 对称的充要条件是 m2. 4.“关于 x 的不等式 x22axa0，xR 恒成立”的一个必要不充分条件是( ) A.0a1 B.0a1 C.0a0，xR 恒成立时，应有 4a24a0，解得 0a1， 所以一个必要不充分条件是 0a1. 5.设 p：|x|1，q：x2 或 x1，则 q 是 p 的_条件.(填“充分不必要”“必要不 充分”“既不充分又不必要”“充要”) 考点 充分条件、必要条件的判断 题点 充分、必要条件的判断 答案 充分不必要 解析 由已知，得 p：x1 或 x1，则 q 是 p 的充分不必要条件.